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一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1． 已知集合A={1,2,a2－3a+1},B={2,5,a+1},且A∩B={2,5},则a= .
2． 已知i是虚数单位，复数z=1+2i3－4i，则|z|= .
3． 当m>1时，4m+1m－1的最小值为 .
4. 设m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若mβ，α⊥β，则m⊥α；
②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；
③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；
④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β．
上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）.
5． 如图是一个算法的流程图，则最后输出的S= .
6. 为了调查高中学生眼睛的近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表（单位：人）若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访，则这2人都来自高三年级的概率是 .
年级近视眼患者人数抽取人数
高一18x
高二362
高三54y
7． 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30+S10＝(210+1)S20，则数列{an}的公比 .
8. 点A在曲线C：x2＋(y+2)2＝1上，点M(x,y)在平面区域2x－y+2≥0，x+y－2≤0，2y－1≥0上，则AM的最小值是 .
9. 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为 .
10. 在△ABC中,已知BC=2,AB•AC=1,则△ABC面积的最大值是 .
11. 已知A，B，P是双曲线x2a2－y2b2=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA,PB的斜率乘积kPA•kPB=23，则该双曲线的离心率为 .
12. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a,b,c成等比数列，且cosB=34，则tanBtanA+tanBtanC的值为 .
13． 设函数f(x)=x|x－a|，若对于任意的x1,x2∈［2,+∞)，x1≠x2，不等式f(x1)－f(x2)x1－x2>0恒成立，则实数a的取值范围是 .
14. 已知x,y∈－π4,π4，x3+sinx－2a=0，4y3+sinycosy+a=0，则tan(x+2y)= .
二、 解答题（本大题共6小题，共90分,解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15． （本小题满分14分）
设△ABC的内角A,B,C所对边的长为a,b,c,且(2b－3c)cosA=3acosC.
(1) 求角A的大小；
(2) 若∠B=π6，BC边上的中线AM=7，求△ABC的面积.
16. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，点D在边BC上，AD⊥C1D.
(1) 求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2) 如果点E是B1C1的中点，求证：A1E∥平面ADC1.
17. （本小题满分15分）
如图，在边长为10的正三角形纸片ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形纸片后，顶点A正好落在边BC上(设为P)，在这种情况下，求AD的最小值．
18. （本小题满分15分）
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，圆O:x2+y2=b2，点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点.
(1) 若P(－1,3),PA是圆O的切线,求椭圆的方程；
(2) 是否存在这样的椭圆C,使得PAPF为常数？如果存在,求椭圆C的离心率；如果不存在,说明理由.
19. （本小题满分16分）
已知f(x)=xlnx，g(x)=x3+ax2－x+2．
(1) 若a=1，求函数y=g(x)的图象过点P(－1,3)的切线方程；
(2) 对一切的x∈(0,+∞)，2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围．
20. （本小题满分16分）
对于给定数列{cn}，如果存在实常数p、q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”．
(1) 若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p,q，若不是，请说明理由；
(2) 若数列{an}满足a1=2，an+an+1=3•2n(n∈N*)．
①求数列{an}前2 009项的和；
②已知数列{an}是“M类数列”，求an.
1． 已知集合A={1,2,a2－3a+1},B={2,5,a+1},且A∩B={2,5},则a= .
2． 已知i是虚数单位，复数z=1+2i3－4i，则|z|= .
3． 当m>1时，4m+1m－1的最小值为 .
4. 设m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若mβ，α⊥β，则m⊥α；
②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；
③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；
④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β．
上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）.
5． 如图是一个算法的流程图，则最后输出的S= .
6. 为了调查高中学生眼睛的近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表（单位：人）若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访，则这2人都来自高三年级的概率是 .
年级近视眼患者人数抽取人数
高一18x
高二362
高三54y
7． 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30+S10＝(210+1)S20，则数列{an}的公比 .
8. 点A在曲线C：x2＋(y+2)2＝1上，点M(x,y)在平面区域2x－y+2≥0，x+y－2≤0，2y－1≥0上，则AM的最小值是 .
9. 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为 .
10. 在△ABC中,已知BC=2,AB•AC=1,则△ABC面积的最大值是 .
11. 已知A，B，P是双曲线x2a2－y2b2=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA,PB的斜率乘积kPA•kPB=23，则该双曲线的离心率为 .
12. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a,b,c成等比数列，且cosB=34，则tanBtanA+tanBtanC的值为 .
13． 设函数f(x)=x|x－a|，若对于任意的x1,x2∈［2,+∞)，x1≠x2，不等式f(x1)－f(x2)x1－x2>0恒成立，则实数a的取值范围是 .
14. 已知x,y∈－π4,π4，x3+sinx－2a=0，4y3+sinycosy+a=0，则tan(x+2y)= .
二、 解答题（本大题共6小题，共90分,解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15． （本小题满分14分）
设△ABC的内角A,B,C所对边的长为a,b,c,且(2b－3c)cosA=3acosC.
(1) 求角A的大小；
(2) 若∠B=π6，BC边上的中线AM=7，求△ABC的面积.
16. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，点D在边BC上，AD⊥C1D.
(1) 求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2) 如果点E是B1C1的中点，求证：A1E∥平面ADC1.
17. （本小题满分15分）
如图，在边长为10的正三角形纸片ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形纸片后，顶点A正好落在边BC上(设为P)，在这种情况下，求AD的最小值．
18. （本小题满分15分）
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，圆O:x2+y2=b2，点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点.
(1) 若P(－1,3),PA是圆O的切线,求椭圆的方程；
(2) 是否存在这样的椭圆C,使得PAPF为常数？如果存在,求椭圆C的离心率；如果不存在,说明理由.
19. （本小题满分16分）
已知f(x)=xlnx，g(x)=x3+ax2－x+2．
(1) 若a=1，求函数y=g(x)的图象过点P(－1,3)的切线方程；
(2) 对一切的x∈(0,+∞)，2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围．
20. （本小题满分16分）
对于给定数列{cn}，如果存在实常数p、q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”．
(1) 若an=2n，bn=3•2n，n∈N*，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p,q，若不是，请说明理由；
(2) 若数列{an}满足a1=2，an+an+1=3•2n(n∈N*)．
①求数列{an}前2 009项的和；
②已知数列{an}是“M类数列”，求an.