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【摘要】直观想象素养是教育部提出的核心素养内容之一，在数学的学习中有着非常重要的作用，落实核心素养培养的主阵地是我们的课堂，教师在课堂中创设合适的教学情境、学习活动等，将直观想象素养的养成渗透到课堂教学中，文章以“抛物线及其标准方程”的教学设计为例，阐述如何在高中数学课堂中培养学生直观想象的核心素养。
【关键词】直观想象素养 数学课堂 抛物线 培养
【中图分类号】G633.6
【文献标识码】A
【文章编号】1992-7711（2020）31-065-03
在六大核心素养中，直观想象素养是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。直观想象建立起了数与形的桥梁，随着时代的发展，在教学中，对提升学生直观想象素养也提出了更高的要求。现在高中生利用直观想象能力解决实际问题的能力非常有限，所以我们要重视学生直观想象素养的培养，落实核心素养培养的主阵地是我们的课堂，在数学课堂上如何将培养直观想象素养落在实处？这是一线教师都非常关心的问题，本文以人教A版《数学》（选修2-1）“抛物线及其标准方程”（第一课时）教学设计为例，阐述如何将培养直观想象素养落实在高中数学课堂。
一、创设合适的教学情境，提升数学素养
活动1：直观感知生活中的抛物线。（1）图片展示：上海卢浦大桥、彩虹、喷泉、卫星接收天线。（2）动画演示投篮时篮球的运行轨迹是抛物线。
设计意图：通过生活实例，吸引学生注意力，让学生直观感知生活中的抛物线，并认识到学习抛物线的重要性，激发学习热情。
活动2：理性思考数学中的抛物线。老师先让学生回忆二次函数图象，如y=x2，y=ax2+bx+c（a≠0）等图象是怎样的，接着提出问题，为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？
活动3：利用几何画板演示不同开口朝向、大小的抛物线，让学生观察，并提问：这些都是抛物线吗？为什么？
设计意图：活動2和活动3通过问题的引入激发学生的学习欲望，明确我们需要用抛物线的定义来判断，理性思考数学中的抛物线。几何画板的演示让抛物线“活”了起来，避免学生对抛物线开口死板的感性认识。
剖析：彩虹、喷泉体现了自然之美，上海浦东大桥、卫星接收天线又体现了人类的智慧，篮球更是本班男生的至爱，现实情境的引入，让学生感受数学与生活的联系，熟悉的情境能迅速吸引学生的注意，进而调整好状态进入课堂的学习。因此教师在数学课堂中要重视创设合适的教学情境，学生的内心被触动了，会更积极动脑进行类比归纳总结，挖掘数学本质，为进一步上升到理论认识做准备，这一过程也同时提升了学生的直观想象素养。
二、合理运用现代信息技术，培养直观想象素养
活动1：几何画板动态演示抛物线的形成过程。教师一边利用几何画板演示抛物线的作图过程，一边介绍作图规则。用《几何画板》作图，如图1，点F是定点，l是不过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作l的垂线MH，作线段FH的垂直平分线m，MH与直线m交于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，思考点M满足的几何条件。
设计意图：抛物线的画法较为复杂，可以通过几何画板动态演示，让学生直观观察抛物线的形成过程，使他们真正看到了“轨迹”，这样易于理解，记忆深刻，这种直观、生动的教学是化静为动的变化过程。能将复杂问题简单化，有助于学生提升直观想象素养。
活动2：归纳总结抛物线的定义与对定义的解读。
师：能结合刚才的演示给抛物线下个定义吗？
生：到一个定点F与到一条定直线l距离相等的点的轨迹.
师：那定点F和一条定直线l的位置关系如何？点F能在直线l上吗？
生：（有点迟疑）有学生回答不能。
师：为什么？若点F在直线l上，平面内满足条件的点的轨迹是什么呢？
生：若点F在直线l上，则轨迹为过定点F垂直于直线l的直线l'.
师生共同归纳定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫作抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
设计意图：以学生为主体，让学生观察抛物线的形成过程，并找到其几何特征，进而归纳定义，着重培养学生分析、归纳等能力，并加深学生对抛物线定义中的条件“不过”的理解，培养学生的严谨。
剖析：教师利用几何画板演示抛物线的作图过程，直观生动，也利用学生自己归纳抛物线的定义。北京师范大学教育学部课程与教学论研究院张瑜教授提到：“直观想象是实现数学抽象的思维基础，是人在思维的过程中逐渐形成的思想方法和思考能力”。在教学中教师合理运用现代信息技术，让学生直观的感知，有助于将复杂问题简单化，同时让学生体会图形动静变化过程，从而找到解决问题的本质和思路，促进直观想象素养的发展，同时这一过程也是直观想象到数学抽象的升华。
三、引导学生增强数形结合意识，推导数学问题
活动1：抛物线方程的推导。
师：根据抛物线的定义，怎样探究出抛物线的方程？现在我们已知一定点F和一条定直线l。
生：根据求曲线方程的步骤：建系—设点—列式—化简。
师：很好，那怎样建系？如何建系更合理？
生1：过点F且垂直于直线l的直线为x轴，准线所在直线为y轴建系（如图2）
生2：过点F且垂直于直线l的直线为x轴，过F点作垂直于x轴的直线为y轴建系（如图3）
生3：过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，以KF的中垂线为y轴建系更为简单（如图4）.
师：同学们积极思考，充分讨论，我们找到的建系方法共有三种，我们现在的任务就是分别求出不同建系方法下的抛物线方程，接下来我们分小组完成。 汇总这三种建系方式下的抛物线方程依次为：y2=2px-p2，y2=2px+p2，y2=2px，不难得出第三种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第三种建系方式最好。所以我们得出了开口向右的抛物线的标准方程为y2=2px，其中把定点F（ ，0）叫作抛物线的焦点，定直线l：x=- 叫作抛物线的准线。
设计意图：教师通过引导，鼓励学生自主探索，小组合作交流，充分体现了学生的主体地位，学生分工求出三种建系下的方程，充分展现了知识形成的过程，学生动手实践，并进一步体会建立恰当的坐标系对方程形式的积极意义，为标准方程的理解打下了基础，从抛物线定义到抛物线标准方程的求法，强化了数形结合，这是从“形”到“数”的转变，是解析几何基本思想的体现。
活动2：类比得到四种标准方程。
思考问题：（1）大家能否根据开口向右的抛物线的标准方程y2=2px，写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？（2）是不是每一种开口方向都要通过建系去推导？
教师要求学生先独立思考，再讨论交流。
生：通过旋转，旋转可以从图形上得到不同开口的抛物线
（其实在前面已经利用几何画板演示过不同开口不同大小的抛物线，这里提出要找另外三种开口的抛物线方程就相当的自然了）。
师：的确把抛物线对折、旋转后生成开口不同的抛物线，但没有旋转公式，所以无法直接通过旋转得到方程。
生：可以用坐标代换来解决这个问题。
师：很好，接着请同学们完成书上的表格内容，把另外三种开口的抛物线的方程，焦点坐标和准线方程写出来。
设计意图：前面几何画板的演示，合理地解释了抛物线开口的任意性，学生易于接受消化，也为这里的问题的提出作了很好的铺垫，通过焦点在x轴正半轴上的标准方程，坐标代换得到其余三种情况，以加深学生对抛物线标准方程的理解。通过四种情况的观察、对比，引导学生发现抛物线的标准方程与图形之间的内在联系，从而得到一般的规律。
活动3：实例分析，深化理解抛物线
例1. 根据下面抛物线的方程说出它的开口方向，并写出焦点坐标和准线方程。
（1）y2=16x （2）x2=- y （3）y= x2
例2.根据焦点坐标和准线方程，写出抛物线的标准方程.
（1）焦点：F（-2，0） （2）准线：y=1
变式1：已知抛物线过点A（-3，2），求其标准方程。
变式2：已知抛物线的焦点到准线的距离为6，求其标准方程。
设计意图：例1根据方程判断开口，确定焦点位置和准线，体现了由数到形，例2是由形到数。让学生在数形之间不断转化，增强理解，巩固提高。变式1中点的坐标在第二象限，根据抛物线的图象，开口向左或者向上，会经该点，通过数形结合，把方程设出来，代入点A即可写出方程，所以这个题根据条件应该写出两个标准方程。变式2，开口可以向上，向下，向左，向右，应该写出四个标准方程。题目思维量不大，但要注意图形在解题过程中的作用，渗透数形结合的思想。
剖析：华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”活动1、活动2和活动3充分体现了这个数学理念。数形结合是直观想象主要表现之一，通过图形解决问题或者通过数字符号画出图形，通过数形结合的思想方法建立形与数的联系，这是学习数学必须具备的素养。建构主义认为，学习是一个过程，在这个过程中学生根据自己本身已经具有的知识来主动建构新的知识。在课堂教学中，要引导学生将自己已有的知识和新获得的知识进行重组，建构出新的知识体系。将直观想象素养提升的目标落实在具体的题目中，通过问题分析等途径，引导学生增强数形结合、数形转化的能力，发展理性思维，同时这个过程也為学生提升直观想象素养提供了场所。所以我们让学生根据他们的基础去发展构建属于他们自身的直观想象素养，在这样的教学过程中培养学生的直观想象素养。
直观想象素养在数学新知识的学习中有着非常重要的作用，重视学生直观想象素养的培养，有助于学生理解和掌握数学结论，有助于提升学生数形结合等能力，但直观素养是不能强加给学生的，是老师在课堂上根据学生的具体实际情况，通过创设合适的教学情境、学习活动等逐步培养的，所以我们老师备课时要钻研教材，根据学情设计好每一节课，提升学生的直观想象素养。
【参考文献】
[1] 姚婷.深化自主探究 落实核心素养——“抛物线及其标准方程”教学与反思[J].数学之友，2019（4）：210001
[2]李现勇. 聚焦核心素养，优化课堂教学——以“椭圆及其标准方程”为例[J].中学数学教学参考，2019 （1-2）：0029-04
[3] 郑灼姬. 数学核心素养理念下的平面解析几何教学的实践与思考[J].教育与教学研究，2018（6）：012
[4] 廖金祥.双“核心”融入高中数学 课堂教学的实践与思考[J]. 数学教学通讯，2019（3）：361009
[5]徐秋华.探究“抛物线的标准方程”，渗透数学核心素养[J]. 中学数学月刊，2017（11）：21521
[6]曾霞.剖析数学核心素养，促进学生全面发展 ——谈高中解析几何教学中数学核心素养的发展[J]课程教育研究， 2019 （ 17 ）： 735211
【关键词】直观想象素养 数学课堂 抛物线 培养
【中图分类号】G633.6
【文献标识码】A
【文章编号】1992-7711（2020）31-065-03
在六大核心素养中，直观想象素养是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。直观想象建立起了数与形的桥梁，随着时代的发展，在教学中，对提升学生直观想象素养也提出了更高的要求。现在高中生利用直观想象能力解决实际问题的能力非常有限，所以我们要重视学生直观想象素养的培养，落实核心素养培养的主阵地是我们的课堂，在数学课堂上如何将培养直观想象素养落在实处？这是一线教师都非常关心的问题，本文以人教A版《数学》（选修2-1）“抛物线及其标准方程”（第一课时）教学设计为例，阐述如何将培养直观想象素养落实在高中数学课堂。
一、创设合适的教学情境，提升数学素养
活动1：直观感知生活中的抛物线。（1）图片展示：上海卢浦大桥、彩虹、喷泉、卫星接收天线。（2）动画演示投篮时篮球的运行轨迹是抛物线。
设计意图：通过生活实例，吸引学生注意力，让学生直观感知生活中的抛物线，并认识到学习抛物线的重要性，激发学习热情。
活动2：理性思考数学中的抛物线。老师先让学生回忆二次函数图象，如y=x2，y=ax2+bx+c（a≠0）等图象是怎样的，接着提出问题，为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？
活动3：利用几何画板演示不同开口朝向、大小的抛物线，让学生观察，并提问：这些都是抛物线吗？为什么？
设计意图：活動2和活动3通过问题的引入激发学生的学习欲望，明确我们需要用抛物线的定义来判断，理性思考数学中的抛物线。几何画板的演示让抛物线“活”了起来，避免学生对抛物线开口死板的感性认识。
剖析：彩虹、喷泉体现了自然之美，上海浦东大桥、卫星接收天线又体现了人类的智慧，篮球更是本班男生的至爱，现实情境的引入，让学生感受数学与生活的联系，熟悉的情境能迅速吸引学生的注意，进而调整好状态进入课堂的学习。因此教师在数学课堂中要重视创设合适的教学情境，学生的内心被触动了，会更积极动脑进行类比归纳总结，挖掘数学本质，为进一步上升到理论认识做准备，这一过程也同时提升了学生的直观想象素养。
二、合理运用现代信息技术，培养直观想象素养
活动1：几何画板动态演示抛物线的形成过程。教师一边利用几何画板演示抛物线的作图过程，一边介绍作图规则。用《几何画板》作图，如图1，点F是定点，l是不过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作l的垂线MH，作线段FH的垂直平分线m，MH与直线m交于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，思考点M满足的几何条件。
设计意图：抛物线的画法较为复杂，可以通过几何画板动态演示，让学生直观观察抛物线的形成过程，使他们真正看到了“轨迹”，这样易于理解，记忆深刻，这种直观、生动的教学是化静为动的变化过程。能将复杂问题简单化，有助于学生提升直观想象素养。
活动2：归纳总结抛物线的定义与对定义的解读。
师：能结合刚才的演示给抛物线下个定义吗？
生：到一个定点F与到一条定直线l距离相等的点的轨迹.
师：那定点F和一条定直线l的位置关系如何？点F能在直线l上吗？
生：（有点迟疑）有学生回答不能。
师：为什么？若点F在直线l上，平面内满足条件的点的轨迹是什么呢？
生：若点F在直线l上，则轨迹为过定点F垂直于直线l的直线l'.
师生共同归纳定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫作抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
设计意图：以学生为主体，让学生观察抛物线的形成过程，并找到其几何特征，进而归纳定义，着重培养学生分析、归纳等能力，并加深学生对抛物线定义中的条件“不过”的理解，培养学生的严谨。
剖析：教师利用几何画板演示抛物线的作图过程，直观生动，也利用学生自己归纳抛物线的定义。北京师范大学教育学部课程与教学论研究院张瑜教授提到：“直观想象是实现数学抽象的思维基础，是人在思维的过程中逐渐形成的思想方法和思考能力”。在教学中教师合理运用现代信息技术，让学生直观的感知，有助于将复杂问题简单化，同时让学生体会图形动静变化过程，从而找到解决问题的本质和思路，促进直观想象素养的发展，同时这一过程也是直观想象到数学抽象的升华。
三、引导学生增强数形结合意识，推导数学问题
活动1：抛物线方程的推导。
师：根据抛物线的定义，怎样探究出抛物线的方程？现在我们已知一定点F和一条定直线l。
生：根据求曲线方程的步骤：建系—设点—列式—化简。
师：很好，那怎样建系？如何建系更合理？
生1：过点F且垂直于直线l的直线为x轴，准线所在直线为y轴建系（如图2）
生2：过点F且垂直于直线l的直线为x轴，过F点作垂直于x轴的直线为y轴建系（如图3）
生3：过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，以KF的中垂线为y轴建系更为简单（如图4）.
师：同学们积极思考，充分讨论，我们找到的建系方法共有三种，我们现在的任务就是分别求出不同建系方法下的抛物线方程，接下来我们分小组完成。 汇总这三种建系方式下的抛物线方程依次为：y2=2px-p2，y2=2px+p2，y2=2px，不难得出第三种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第三种建系方式最好。所以我们得出了开口向右的抛物线的标准方程为y2=2px，其中把定点F（ ，0）叫作抛物线的焦点，定直线l：x=- 叫作抛物线的准线。
设计意图：教师通过引导，鼓励学生自主探索，小组合作交流，充分体现了学生的主体地位，学生分工求出三种建系下的方程，充分展现了知识形成的过程，学生动手实践，并进一步体会建立恰当的坐标系对方程形式的积极意义，为标准方程的理解打下了基础，从抛物线定义到抛物线标准方程的求法，强化了数形结合，这是从“形”到“数”的转变，是解析几何基本思想的体现。
活动2：类比得到四种标准方程。
思考问题：（1）大家能否根据开口向右的抛物线的标准方程y2=2px，写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？（2）是不是每一种开口方向都要通过建系去推导？
教师要求学生先独立思考，再讨论交流。
生：通过旋转，旋转可以从图形上得到不同开口的抛物线
（其实在前面已经利用几何画板演示过不同开口不同大小的抛物线，这里提出要找另外三种开口的抛物线方程就相当的自然了）。
师：的确把抛物线对折、旋转后生成开口不同的抛物线，但没有旋转公式，所以无法直接通过旋转得到方程。
生：可以用坐标代换来解决这个问题。
师：很好，接着请同学们完成书上的表格内容，把另外三种开口的抛物线的方程，焦点坐标和准线方程写出来。
设计意图：前面几何画板的演示，合理地解释了抛物线开口的任意性，学生易于接受消化，也为这里的问题的提出作了很好的铺垫，通过焦点在x轴正半轴上的标准方程，坐标代换得到其余三种情况，以加深学生对抛物线标准方程的理解。通过四种情况的观察、对比，引导学生发现抛物线的标准方程与图形之间的内在联系，从而得到一般的规律。
活动3：实例分析，深化理解抛物线
例1. 根据下面抛物线的方程说出它的开口方向，并写出焦点坐标和准线方程。
（1）y2=16x （2）x2=- y （3）y= x2
例2.根据焦点坐标和准线方程，写出抛物线的标准方程.
（1）焦点：F（-2，0） （2）准线：y=1
变式1：已知抛物线过点A（-3，2），求其标准方程。
变式2：已知抛物线的焦点到准线的距离为6，求其标准方程。
设计意图：例1根据方程判断开口，确定焦点位置和准线，体现了由数到形，例2是由形到数。让学生在数形之间不断转化，增强理解，巩固提高。变式1中点的坐标在第二象限，根据抛物线的图象，开口向左或者向上，会经该点，通过数形结合，把方程设出来，代入点A即可写出方程，所以这个题根据条件应该写出两个标准方程。变式2，开口可以向上，向下，向左，向右，应该写出四个标准方程。题目思维量不大，但要注意图形在解题过程中的作用，渗透数形结合的思想。
剖析：华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”活动1、活动2和活动3充分体现了这个数学理念。数形结合是直观想象主要表现之一，通过图形解决问题或者通过数字符号画出图形，通过数形结合的思想方法建立形与数的联系，这是学习数学必须具备的素养。建构主义认为，学习是一个过程，在这个过程中学生根据自己本身已经具有的知识来主动建构新的知识。在课堂教学中，要引导学生将自己已有的知识和新获得的知识进行重组，建构出新的知识体系。将直观想象素养提升的目标落实在具体的题目中，通过问题分析等途径，引导学生增强数形结合、数形转化的能力，发展理性思维，同时这个过程也為学生提升直观想象素养提供了场所。所以我们让学生根据他们的基础去发展构建属于他们自身的直观想象素养，在这样的教学过程中培养学生的直观想象素养。
直观想象素养在数学新知识的学习中有着非常重要的作用，重视学生直观想象素养的培养，有助于学生理解和掌握数学结论，有助于提升学生数形结合等能力，但直观素养是不能强加给学生的，是老师在课堂上根据学生的具体实际情况，通过创设合适的教学情境、学习活动等逐步培养的，所以我们老师备课时要钻研教材，根据学情设计好每一节课，提升学生的直观想象素养。
【参考文献】
[1] 姚婷.深化自主探究 落实核心素养——“抛物线及其标准方程”教学与反思[J].数学之友，2019（4）：210001
[2]李现勇. 聚焦核心素养，优化课堂教学——以“椭圆及其标准方程”为例[J].中学数学教学参考，2019 （1-2）：0029-04
[3] 郑灼姬. 数学核心素养理念下的平面解析几何教学的实践与思考[J].教育与教学研究，2018（6）：012
[4] 廖金祥.双“核心”融入高中数学 课堂教学的实践与思考[J]. 数学教学通讯，2019（3）：361009
[5]徐秋华.探究“抛物线的标准方程”，渗透数学核心素养[J]. 中学数学月刊，2017（11）：21521
[6]曾霞.剖析数学核心素养，促进学生全面发展 ——谈高中解析几何教学中数学核心素养的发展[J]课程教育研究， 2019 （ 17 ）： 735211