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新的教材，新的理念，新的改革将在我们的手中开始实践。面对着压力与挑战，我以极大的热情投入这次的学习中，与同行交流，与专家探讨，并积极进行反思，我相信，在新课改这条路上，我一定能走出自己的步伐。
一：如何认识函数
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。为了帮助学生更好的认识和理解函数概念，新教材中做了许多尝试，从丰富的背景实例出发，引导学生经历数学概念的概括过程，使学生看到函数概念，就能够在头脑中浮现出一批函数的实例，促进学生对函数本质的理解。这在我们教学中也是随处可见的。
案例1：
一位教师在处理初中一年级教材《探索规律》时，设置了如下的教学情境：
1只青蛙1张嘴，2只眼睛，4条腿，
2只青蛙2张嘴，4只眼睛，8条腿，
……
n只青蛙（）张嘴，（）只眼睛，（）条腿？
教师以一首学生熟悉的儿歌入手，引导学生分别得出n，2n，4n这样的结论，使学生体会到了现实生活中存在的规律，以及用代数式表示现实规律的可行性，这实际上就是函数在生活中运用的一个简单实例。
高中数学新教材中，在引入函数的一般概念时，也选取了生活中的生活中的大量实例：炮弹的高度与时间的关系；南极臭氧空洞面积从1979年到2001年的变化的图像；“八五”以来我国城镇居民恩格尔系数变化数据表等等。教科书在每一次知识的转折点上，都力求提出具有启发性，挑战性的问题，引导学生经历观察，思考，探究，交流，反思的过程，逐步获得对抽象概念的理解。
我们都见过天气预报中的气温图，这个图反映了一天中气温岁时间变化而变化的情形。象这样的一个量（如气温）随另一个量（如时间）的变化而变化的现象，就属于函数要研究的内容。高中教材是这样定义函数的：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A里的任意一个数x，在集合B里都有唯一确定的数f（x）与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）。由此可知，函数本身就用来描述变化过程。生活中象这样的一个量随着另一个量的变化而变化的现象俯拾皆是：如工作时间与工作效率的关系、销售利润与进货数量的关系、手机话费与通话时间的关系等等。函数知识来源于实际生活，又对实际生活其指导作用。函数的思想方法和应用，将贯穿于高中新课程的始终。
二：如何应用函数
案例2：
在一节有关储蓄问题的数学课上，教师向同学们讲了这样一个小故事：公元1797年，当拿破仑参观卢森堡一所国立小学时，赠送了一束价值12000法郎的玫瑰花，并许诺说：“只要法兰西共和国存在一天，我将每年赠送一束价值相等的玫瑰花，做为两国友谊的象征。”而此后，连年征战的拿破仑忘记了这一诺言。到了公元1894年，卢森堡国王郑重的向法兰西共和国提出“玫瑰花悬案”，要求政府兑现诺言。老师随即提问，若以每年5℅的年利率，且每年的利息记入下一年本金，法国政府应该为此支付多少法郎？问题一经提出就引起了学生的极大兴趣，同学们在老师的的引导下推导出复利公式y=a（1+p），然后借助计算器得到了结果，赔付竟高达136万多法郎！通过自己动手动脑得到解答，同学们显得异常兴奋，不但加深了对复利计算公式的理解，而且领悟了数学源于生活并服务生活的本质，动手动脑能力得到了一次很好的锻炼。
案例3：
在进行指对数函数的学习中，教科书安排了这样的问题：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能够将人口年平均增长率控制在1℅，那么20年后，我国的人口约为多少？学生们回顾初中学习的整数指数幂的知识，在教师的指导下归纳出关系式y=13×1.01，就可以算出任意一个年头x的人口总数。反之，如果问“那一年的人口数约为18亿，20亿，30亿……？”这就要用到对数的有关知识了。这样的问题可以使学生看到指数函数，对数函数源于社会生活、生产的需要，可以促进学生在解决问题的过程中理解知识。
当然，对于函数的应用不仅仅体现在对对数，指数函数的应用上，我们在实际生活的很多方面都用到了函数这一重要工具。例如：足球比赛中运动员挑射后足球运动路线的绘制，建筑学上某些桥梁、建筑物大门的设计，都是借助了二次函数这一基本模型的图像和性质。又如：物理学中压力一定时，压强和受力面积的关系P=F/S（P指压强，S指受力面积），因P与S满足反比例关系的函数式，它形象的说明了当压力一定时，受力面积越小，压力越大这一事实，便于人们理解和应用。再如：科学家们发现，所有简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线，人们可以利用正余弦函数公式y=Asin（）或y=Acos（），来讨论简谐运动的周期、频率、振幅、相位等变化，从而进一步研究简谐运动。函数对自然科学和社会科学的影响在于：函数提供了一系列的基本的数学模型，如一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，三角函数等等，它们都具有特定的图像和性质，我们可以通过对基本模型图像和性质的研究，达到研究科学的目的。
三：如何进行数学建模
我们知道了函数是一系列的基本的数学模型，那么，生活中的数学问题千变万化，我们是否都能够把它转化成我们熟悉的函数来解决？这就需要我们经过分析研究划归，进行数学建模了。新课改特地把数学建模加入教科书，让高中学生体会收集数据并建立函数模型这一过程，其意义是深刻的。
案例4：
兰州一所学校的高中学生进行了一个对卖报问题的课题研究。问题的起因是这样的：米嘉的奶奶离休在家，无事可做，便利用业余时间卖报纸，可是，收益并不理想，经常出现报纸堆积在家中或报纸卖完了却还要有人买的现象。因为报社规定，销售报纸的人在一个月内每天必须订购相同的报纸份数，那么，米嘉的奶奶每月到底应该订多少份报纸，才能够获得最高收益？
这个问题在数学中，其实就是一个典型的数学建模过程。在老师的指导下，同学们进行了一个月的数据收集工作，记录每天的进报数量，卖出数量，不足多少，余额多少，将其一一记录，他们发现，总计需要的报纸数量多集中在130～160之间，所以近似的认为，在一个月31天中，每日卖报的总数为130～160的情况个出现一天。设每个月固定进报纸X份，将每一天因卖报纸未卖完而亏损的金额，和因卖报纸卖完而亏损的金额一一累加，列出函数关系式，处理最值，并综合考虑批发商批量与价格，剩余回收处理价等不变和可变因素，最后得出一个月的进货量应该是145份或者接近145份便可以获得最大利润。米嘉的奶奶终于可以放心了！
这个案例，是中学生解决实际问题的一个很好的实例。中学生数学建模通常遵循以下过程：采集数据→建立模型→数学推理→得出结论→解决问题。类似这样的问题还有很多，教科书从不同的侧面出发，为学生设计了素材广泛，内容新颖的问题：例如行程问题是学生接触较多的，但要说明速度与时间关系图中的部分面积的实际含义，对学生来说却是新颖的；以往学生主要是建立路程、速度、时间的函数关系式，现在，教材要求他们建立汽车里程表读数与时间的分段函数，这对学生来说具有挑战性，很容易提起他们的兴趣。又如桶装水的定价问题，将学生置入一个现实环境中，让他们以一个经营者的身份对身边的经营问题进行决策，这有利于学生自觉地将自己所学知识用于解决实际的问题。在中学阶段学习函数，就是为了培养中学生对有限个数据进行分析归纳，数学建模，找出变量之间函数关系式的能力，从而到达分析问题，解决问题的能力。
学习数学的最终目的，是提高学生的数学素养，培养学生用数学的意识。参加新课改培训，这还仅仅只是一个开始，如何把我所想所悟应用到实际教学中，我还有很长的路要走。路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。愿我们全体教师一起努力，将新课程改革做到更好！
一：如何认识函数
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。为了帮助学生更好的认识和理解函数概念，新教材中做了许多尝试，从丰富的背景实例出发，引导学生经历数学概念的概括过程，使学生看到函数概念，就能够在头脑中浮现出一批函数的实例，促进学生对函数本质的理解。这在我们教学中也是随处可见的。
案例1：
一位教师在处理初中一年级教材《探索规律》时，设置了如下的教学情境：
1只青蛙1张嘴，2只眼睛，4条腿，
2只青蛙2张嘴，4只眼睛，8条腿，
……
n只青蛙（）张嘴，（）只眼睛，（）条腿？
教师以一首学生熟悉的儿歌入手，引导学生分别得出n，2n，4n这样的结论，使学生体会到了现实生活中存在的规律，以及用代数式表示现实规律的可行性，这实际上就是函数在生活中运用的一个简单实例。
高中数学新教材中，在引入函数的一般概念时，也选取了生活中的生活中的大量实例：炮弹的高度与时间的关系；南极臭氧空洞面积从1979年到2001年的变化的图像；“八五”以来我国城镇居民恩格尔系数变化数据表等等。教科书在每一次知识的转折点上，都力求提出具有启发性，挑战性的问题，引导学生经历观察，思考，探究，交流，反思的过程，逐步获得对抽象概念的理解。
我们都见过天气预报中的气温图，这个图反映了一天中气温岁时间变化而变化的情形。象这样的一个量（如气温）随另一个量（如时间）的变化而变化的现象，就属于函数要研究的内容。高中教材是这样定义函数的：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A里的任意一个数x，在集合B里都有唯一确定的数f（x）与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）。由此可知，函数本身就用来描述变化过程。生活中象这样的一个量随着另一个量的变化而变化的现象俯拾皆是：如工作时间与工作效率的关系、销售利润与进货数量的关系、手机话费与通话时间的关系等等。函数知识来源于实际生活，又对实际生活其指导作用。函数的思想方法和应用，将贯穿于高中新课程的始终。
二：如何应用函数
案例2：
在一节有关储蓄问题的数学课上，教师向同学们讲了这样一个小故事：公元1797年，当拿破仑参观卢森堡一所国立小学时，赠送了一束价值12000法郎的玫瑰花，并许诺说：“只要法兰西共和国存在一天，我将每年赠送一束价值相等的玫瑰花，做为两国友谊的象征。”而此后，连年征战的拿破仑忘记了这一诺言。到了公元1894年，卢森堡国王郑重的向法兰西共和国提出“玫瑰花悬案”，要求政府兑现诺言。老师随即提问，若以每年5℅的年利率，且每年的利息记入下一年本金，法国政府应该为此支付多少法郎？问题一经提出就引起了学生的极大兴趣，同学们在老师的的引导下推导出复利公式y=a（1+p），然后借助计算器得到了结果，赔付竟高达136万多法郎！通过自己动手动脑得到解答，同学们显得异常兴奋，不但加深了对复利计算公式的理解，而且领悟了数学源于生活并服务生活的本质，动手动脑能力得到了一次很好的锻炼。
案例3：
在进行指对数函数的学习中，教科书安排了这样的问题：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能够将人口年平均增长率控制在1℅，那么20年后，我国的人口约为多少？学生们回顾初中学习的整数指数幂的知识，在教师的指导下归纳出关系式y=13×1.01，就可以算出任意一个年头x的人口总数。反之，如果问“那一年的人口数约为18亿，20亿，30亿……？”这就要用到对数的有关知识了。这样的问题可以使学生看到指数函数，对数函数源于社会生活、生产的需要，可以促进学生在解决问题的过程中理解知识。
当然，对于函数的应用不仅仅体现在对对数，指数函数的应用上，我们在实际生活的很多方面都用到了函数这一重要工具。例如：足球比赛中运动员挑射后足球运动路线的绘制，建筑学上某些桥梁、建筑物大门的设计，都是借助了二次函数这一基本模型的图像和性质。又如：物理学中压力一定时，压强和受力面积的关系P=F/S（P指压强，S指受力面积），因P与S满足反比例关系的函数式，它形象的说明了当压力一定时，受力面积越小，压力越大这一事实，便于人们理解和应用。再如：科学家们发现，所有简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线，人们可以利用正余弦函数公式y=Asin（）或y=Acos（），来讨论简谐运动的周期、频率、振幅、相位等变化，从而进一步研究简谐运动。函数对自然科学和社会科学的影响在于：函数提供了一系列的基本的数学模型，如一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，三角函数等等，它们都具有特定的图像和性质，我们可以通过对基本模型图像和性质的研究，达到研究科学的目的。
三：如何进行数学建模
我们知道了函数是一系列的基本的数学模型，那么，生活中的数学问题千变万化，我们是否都能够把它转化成我们熟悉的函数来解决？这就需要我们经过分析研究划归，进行数学建模了。新课改特地把数学建模加入教科书，让高中学生体会收集数据并建立函数模型这一过程，其意义是深刻的。
案例4：
兰州一所学校的高中学生进行了一个对卖报问题的课题研究。问题的起因是这样的：米嘉的奶奶离休在家，无事可做，便利用业余时间卖报纸，可是，收益并不理想，经常出现报纸堆积在家中或报纸卖完了却还要有人买的现象。因为报社规定，销售报纸的人在一个月内每天必须订购相同的报纸份数，那么，米嘉的奶奶每月到底应该订多少份报纸，才能够获得最高收益？
这个问题在数学中，其实就是一个典型的数学建模过程。在老师的指导下，同学们进行了一个月的数据收集工作，记录每天的进报数量，卖出数量，不足多少，余额多少，将其一一记录，他们发现，总计需要的报纸数量多集中在130～160之间，所以近似的认为，在一个月31天中，每日卖报的总数为130～160的情况个出现一天。设每个月固定进报纸X份，将每一天因卖报纸未卖完而亏损的金额，和因卖报纸卖完而亏损的金额一一累加，列出函数关系式，处理最值，并综合考虑批发商批量与价格，剩余回收处理价等不变和可变因素，最后得出一个月的进货量应该是145份或者接近145份便可以获得最大利润。米嘉的奶奶终于可以放心了！
这个案例，是中学生解决实际问题的一个很好的实例。中学生数学建模通常遵循以下过程：采集数据→建立模型→数学推理→得出结论→解决问题。类似这样的问题还有很多，教科书从不同的侧面出发，为学生设计了素材广泛，内容新颖的问题：例如行程问题是学生接触较多的，但要说明速度与时间关系图中的部分面积的实际含义，对学生来说却是新颖的；以往学生主要是建立路程、速度、时间的函数关系式，现在，教材要求他们建立汽车里程表读数与时间的分段函数，这对学生来说具有挑战性，很容易提起他们的兴趣。又如桶装水的定价问题，将学生置入一个现实环境中，让他们以一个经营者的身份对身边的经营问题进行决策，这有利于学生自觉地将自己所学知识用于解决实际的问题。在中学阶段学习函数，就是为了培养中学生对有限个数据进行分析归纳，数学建模，找出变量之间函数关系式的能力，从而到达分析问题，解决问题的能力。
学习数学的最终目的，是提高学生的数学素养，培养学生用数学的意识。参加新课改培训，这还仅仅只是一个开始，如何把我所想所悟应用到实际教学中，我还有很长的路要走。路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。愿我们全体教师一起努力，将新课程改革做到更好！