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摘 要：“茎叶图法”在普通高中课程标准实验教科书（A版）数学3.2.2.1用样本的频率分布估计总体分布(P.70)中，对这部分内容，篇幅较少，学生和教师不易引起重视，往往忽略了其在统计中的重要地位和作用。本文笔者结合教授这部分内容的经验，展示了教学要点和注意事项，与读者共同切磋、琢磨、提高。
关键词：茎叶图 统计 中学数学
一、什么是茎叶图
茎叶图又称“枝叶图”，由统计学家约翰托奇设计，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数、每个数具体是多少。
茎叶图有三列数：左边的一列数（frequency）给出每根茎上叶子的频数，也可以省略不写；中间的一列表示茎，也就是变化不大的位数；右边的是数组中的变化位，它是按照一定的间隔将数组中的每个变化的数一一列出来，像一条枝上抽出的叶子一样，所以人们形象地叫它茎叶图。
茎叶图是一个与直方图相类似的特殊工具，但又与直方图不同，茎叶图保留着原始资料的资讯，直方图则失去了原始资料的讯息。将茎叶图茎和叶逆时针方向旋转90度，实际上就是一个直方图，可以从中统计出次数、计算出各数据段的频率或百分比，从而可以看出分布是否与正态分布或单峰偏态分布逼近。
二、怎样画茎叶图
画茎叶图的方法和步骤：
现在有一堆30个数据：
41 52 6 19 92 10 40 55 60 75
22 15 31 61 9 70 91 65 69 16
94 85 89 79 57 46 1 24 71 5
画出的茎叶图如下：
4 | 0 | 1569
4 | 1 | 0569
2 | 2 | 24
1 | 3 | 1
3 | 4 | 016
3 | 5 | 257
4 | 6 | 0159
4 | 7 | 0159
2 | 8 | 59
3 | 9 | 124
比如第二行的数字如下：
4 | 1 | 0569
则代表数据集中有10、15、16、19四个数字。
利用茎叶图对考试成绩进行评估：
1.班级内成绩评估
（1）将茎叶图茎和叶逆时针方向旋转90度，实际上就是一个班级成绩带有数字的直方图，可以从中统计出次数，计算出各分数段的频率或百分比，从而可以看出班级成绩的分布是否与正态分布或单峰偏态分布逼近。
（2）若茎叶图成绩表扁而宽(如图1)，说明该班整体成绩较集中，成绩差异不大；如果茎叶图长而窄，说明该班成绩较分散，标准差较大，高分低分差距大。这可使教师或校管理部门对学生成绩有所了解。
（3）异常成绩的发现及处置。茎叶图成绩表中若有少数成绩远离中位数，如图2中右侧，说明这类学生与一般学生有质的区别，对于优秀的学生应加以培养，对于差的学生应找出根源加以帮助。这些异常值在计算标准差时可剔除，如图2右侧，x=77.1，标准差σ=12.6，剔除异常值后，x=78.3，σ=10.8，这样可更科学地反映平均成绩。
（4）科学反映学生在班级中的名次。茎叶图成绩表中的成绩被带有方框的字分成4个区域，依次代表四个不同的水平，各层次学生都占总数的25％。例如，图2对应的某一学生考了75分，在右侧的二班是中等水平，而在左侧的一班只属下等水平，这样比较避免了以绝对分数来判定学生的成绩。
2.班级间学生的评估
要对平行班同一课程的成绩比较，可将两个班的成绩作为叶长在同一茎上，分别自左右两侧扩张，如图2，对照起来，简明多了。若要对多个班级成绩进行比较，可将茎叶垂直方向平行移动，作为茎叶图。先将茎叶图看成直方图观察两班成绩整体分布状况。若两班成绩图形均接近正态分布且中位数接近，说明两班的成绩差别不大；若两侧的峰值相距较远，中位数差别大，说明两班总体成绩相差较大。
（1）若对同一教师任教的平行班茎叶图表进行比较，先看1/4、3/4分位数和中位数，如果两个班的中位数较接近，说明其成绩没有显著性差异，如果中位数接近，而茎叶图的形状有较大差异，从总体上来看成绩差异不大，但图形长而窄的班级两极分化较大，教学难度大。
（2）计算出左右两侧的H-散布，即1/4位数与3/4位数的差。图(2)中左H-散布为10分，右H-散布为16分，由此看到左侧中等水平的学生成绩差距并不大，竞争激烈，而右图中的中等水平之间差距较大，教学有一定的难度。
三、茎叶图的优、缺点
1.用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录、随时添加，方便记录与表示。
2.茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观、清晰。
参考文献
1.袁璐 数理统计的茎叶图法及其应用.青岛远洋船员学院学报，2002年，4期。
2.商务与经济统计第七版。
3.普通高中课程标准实验教科书.数学3.2.2.1用样本的频率分布估计总体分布。
4.学海导航.高中新课标同步攻略，数学必修3。
关键词：茎叶图 统计 中学数学
一、什么是茎叶图
茎叶图又称“枝叶图”，由统计学家约翰托奇设计，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数、每个数具体是多少。
茎叶图有三列数：左边的一列数（frequency）给出每根茎上叶子的频数，也可以省略不写；中间的一列表示茎，也就是变化不大的位数；右边的是数组中的变化位，它是按照一定的间隔将数组中的每个变化的数一一列出来，像一条枝上抽出的叶子一样，所以人们形象地叫它茎叶图。
茎叶图是一个与直方图相类似的特殊工具，但又与直方图不同，茎叶图保留着原始资料的资讯，直方图则失去了原始资料的讯息。将茎叶图茎和叶逆时针方向旋转90度，实际上就是一个直方图，可以从中统计出次数、计算出各数据段的频率或百分比，从而可以看出分布是否与正态分布或单峰偏态分布逼近。
二、怎样画茎叶图
画茎叶图的方法和步骤：
现在有一堆30个数据：
41 52 6 19 92 10 40 55 60 75
22 15 31 61 9 70 91 65 69 16
94 85 89 79 57 46 1 24 71 5
画出的茎叶图如下：
4 | 0 | 1569
4 | 1 | 0569
2 | 2 | 24
1 | 3 | 1
3 | 4 | 016
3 | 5 | 257
4 | 6 | 0159
4 | 7 | 0159
2 | 8 | 59
3 | 9 | 124
比如第二行的数字如下：
4 | 1 | 0569
则代表数据集中有10、15、16、19四个数字。
利用茎叶图对考试成绩进行评估：
1.班级内成绩评估
（1）将茎叶图茎和叶逆时针方向旋转90度，实际上就是一个班级成绩带有数字的直方图，可以从中统计出次数，计算出各分数段的频率或百分比，从而可以看出班级成绩的分布是否与正态分布或单峰偏态分布逼近。
（2）若茎叶图成绩表扁而宽(如图1)，说明该班整体成绩较集中，成绩差异不大；如果茎叶图长而窄，说明该班成绩较分散，标准差较大，高分低分差距大。这可使教师或校管理部门对学生成绩有所了解。
（3）异常成绩的发现及处置。茎叶图成绩表中若有少数成绩远离中位数，如图2中右侧，说明这类学生与一般学生有质的区别，对于优秀的学生应加以培养，对于差的学生应找出根源加以帮助。这些异常值在计算标准差时可剔除，如图2右侧，x=77.1，标准差σ=12.6，剔除异常值后，x=78.3，σ=10.8，这样可更科学地反映平均成绩。
（4）科学反映学生在班级中的名次。茎叶图成绩表中的成绩被带有方框的字分成4个区域，依次代表四个不同的水平，各层次学生都占总数的25％。例如，图2对应的某一学生考了75分，在右侧的二班是中等水平，而在左侧的一班只属下等水平，这样比较避免了以绝对分数来判定学生的成绩。
2.班级间学生的评估
要对平行班同一课程的成绩比较，可将两个班的成绩作为叶长在同一茎上，分别自左右两侧扩张，如图2，对照起来，简明多了。若要对多个班级成绩进行比较，可将茎叶垂直方向平行移动，作为茎叶图。先将茎叶图看成直方图观察两班成绩整体分布状况。若两班成绩图形均接近正态分布且中位数接近，说明两班的成绩差别不大；若两侧的峰值相距较远，中位数差别大，说明两班总体成绩相差较大。
（1）若对同一教师任教的平行班茎叶图表进行比较，先看1/4、3/4分位数和中位数，如果两个班的中位数较接近，说明其成绩没有显著性差异，如果中位数接近，而茎叶图的形状有较大差异，从总体上来看成绩差异不大，但图形长而窄的班级两极分化较大，教学难度大。
（2）计算出左右两侧的H-散布，即1/4位数与3/4位数的差。图(2)中左H-散布为10分，右H-散布为16分，由此看到左侧中等水平的学生成绩差距并不大，竞争激烈，而右图中的中等水平之间差距较大，教学有一定的难度。
三、茎叶图的优、缺点
1.用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录、随时添加，方便记录与表示。
2.茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观、清晰。
参考文献
1.袁璐 数理统计的茎叶图法及其应用.青岛远洋船员学院学报，2002年，4期。
2.商务与经济统计第七版。
3.普通高中课程标准实验教科书.数学3.2.2.1用样本的频率分布估计总体分布。
4.学海导航.高中新课标同步攻略，数学必修3。