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一、内心疑惑：等底等高圆锥的体积真是圆柱的[13]吗
小学阶段的一些数学概念不能或无法根据学生的已有知识经验从数理上进行直观推理或直接验证，如“等底等高圆锥的体积是圆柱的[13]”。对于诸如此类的数学概念的理解，学生虽然在教师的所谓“引导”之下知道了数学结论，但在学生的内心深处，却留下了疑惑。教师在教学时，一定要让学生充分经历过程，参与活动，使学生在活动中感知，在过程中感悟，使内心的疑惑得到化解，知识得以内化。
在教学“圆锥体积计算公式的推导”时，课堂上经常看到的现象就是：教师通过实际操作演示或课件演示“告知”学生等底等高圆锥的体积是圆柱的[13]，然后引導学生进行操作验证。殊不知课堂上如果像这样直接告知验证，会导致学生心中生成如下两个疑惑：（1）直接做这样的实验太唐突，老师为什么会想到要做这样的实验操作？（2）这样的操作只能使学生直观观察感受到等底等高圆锥的体积大约是圆柱的[13]，怎样让学生确信一定是[13]呢？会不会也存在像“圆的周长大约是直径的3倍”这样的数学现象呢？
因此，在平时的教学实践中，教师要从学生的“心灵”现实出发，关注学生的认知经验和思维现实，关注学生在探索数学知识过程中可能产生的疑惑，可作如下引导学生猜想：三角形的面积计算公式是怎样推导的？它与等底等高平行四边形的面积之间有怎样的关系？这样就会促使学生激活“转化”的认知经验。教师趁热打铁：圆锥可以转化为已学过的图形吗？学生通过观察直观感知，不怎么好转化，教师追问：那能不能找到与已学过图形之间的关系呢？这样就促使学生很自然地猜想到与圆柱体积之间的关系上来，顺应了学生的认知特点和思维特征。此时教师进一步引导：圆锥的体积怎样计算呢？它与等底等高的圆柱的体积之间有什么联系呢？在如此的追问与引导之下，学生才会产生动手操作实践的欲望，继而让学生在操作观察中发现，等底等高圆锥的体积是圆柱的[13]。如此引导才能激发学生探究的欲望，激发学生的认知兴趣。一旦每小组参与操作的学生在操作过程中发现等底等高圆锥的体积大约是圆柱的[13]，这时教师因势利导加以说明：“我们在操作过程中一定有误差，其实等底等高圆锥的体积就是圆柱的[13]。”因为它们二者之间的关系是学生自己发现的，而不是教师告知的。因此学生此时对老师明确的这一数学结论就不会产生“是大约[13]，还是一定是[13]”的疑惑，而且会对圆锥体积计算公式深信不疑，理解深刻。
二、内心思考：倒数不会是倒过来的数吧
学生的内心世界充满了幻想与想象。而到了小学中高年级，这种内心想象会随着学生思维的发展和学习经验的积累逐步趋于数学猜想，而这种数学猜想总是基于学生的学习经验和已有知识作为思维支撑，从而形成学生的内心思考。因此，一线教师在引导学生理解数学概念时，一定要关注学生的内心思考，使内心思考不断助推学生开展数学思维活动。
例如，教学“倒数的认识”。在学生的内心深处，学生首先猜想到：倒数不会是倒过来的数吧？是把什么数倒过来呢？是把数的什么倒过来呢？如果教师在设计课堂教学时，无视学生的这些内心思考，直接告诉学生“倒数”的数学定义，学生不但对“倒数”概念的理解模糊，而且也不能激发学生对“倒数”知识的内容产生研究兴趣，同时也扼杀了学生的数学猜想，使学生体会不到学习“倒数”知识的必要性和数学价值。
因此，教学时需要从学生的“心灵”现实出发，引导学生猜想“倒数”的数学概念：（1）回忆一下，你已认识了哪些数？如：整数、小数、分数、因数、倍数等。你还听说过小学阶段还会学到哪些数？如：百分数、倒数等。（2）你能从“倒数”这个概念上去猜一猜，“倒数”可能是一个怎样的数？（3）在你认识的数中，什么数倒过来仍然成为一个数呢？（4）倒过来的数和原来的数有什么关系？（5）根据你的理解能用自己的语言概括“倒数”的数学定义吗？在教学实践中发现，学生不仅能说出分子和分母位置互倒的两个数互为倒数，也说出了乘积为1的两个数互为倒数。因此，关注学生的内心思考，引导学生围绕学习内容和教学目标展开数学猜想，这样教师不仅为学生营造了一个主动探索、自主建构的空间与平台，也使学生在经历数学概念的形成过程中，提升了数学猜想能力，感悟了基本的数学思想。
三、内心需求：写这个比干吗
教师在设计教学活动和安排教学环节时，要关注学生的内心需求，否则学生会对教师预设的教学内容毫无兴趣，亦无热情，无法产生数学猜想，从而造成学生课堂参与度不高，课堂教学效率低下，不能高效达成预期的教学目标。
例如，教学“正比例的意义”。在听课过程中发现，一线教师总是直接出示例题中的表格，并直接给出教材的要求和问题：“写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值。你发现了什么？”然后在学生求出比值的基础上，硬拉着学生套用教材中正比例意义的数学概念概括路程、时间和速度三者之间的变化关系，并让学生进行练说和记忆。
如果教学时直接抛出教材中这个问题，学生感到很“诧异”和“意外”，并且在内心深处会立刻产生疑团：写这个比干吗？因为此时学生在审题时，并不认为例题表格中的信息是为了写比而提供的，没有产生写比的需求，更不会去猜想写这个比的必要性和目的。一旦学生在心灵深处有了这样的心理活动和想法，学生就根本无暇顾及路程、时间和速度这三个数量之间的变化关系。因此学生此时心中总是在猜疑今天老师会带领我们学习什么内容？要我们写出路程与时间的比干吗？所以，引导学生“发现什么”，不是教师机械地套用教材强加给学生，而是要激发学生的内心需求，引导学生“静悄悄地”进入数学猜想：（1）观察例题表格中的信息，猜一猜里面可能会隐藏什么规律？（2）你是怎么发现其中的规律的？你想怎样表达你所发现的规律？引导学生用比表示出表格中路程与时间的关系，并追问比的什么变了？什么没变？（3）你会用一个简洁的方式表示出这个规律吗？比一比谁能用最简洁最具代表的方式表示此规律？（4）在学生交流汇报的基础上引导：规律总是在变化中探寻不变的东西，猜一猜可以用哪个数量关系式来表示这一数学现象？从而引导学生写出“[路程时间]=速度（一定）”的数量关系式。（5）谁能用自己的语言说一说对这个规律的发现？学生经历了如此的体验和思考过程，就会很自然地感悟到路程和时间是两种相关联的量，而且很直观地体会到时间变化，路程也随着变化，它们的比值（速度）总是一定的，这样学生在头脑里就会自然建构正比例意义的数学概念。即使学生不能用教材中简洁规范的数学语言描述正比例意义的数学定义，但学生在课堂上都能用自己的语言说出正比例意义的数学含义，说明正比例数学概念的意义在学生的头脑中得到内化与建立。因此，学生的内心深处一旦产生学习需求，就会产生数学猜想与数学思考的欲望，继而促进学生主动探求新的知识。所以，新知的引入要显得自然，要关注学生的内心需求，让学生体验到所学内容的必要性和目的性，这样的教学才能行云流水，水到渠成。
综上所述，数学课堂理应从学生的心灵实际出发，关注学生的内心疑惑、内心思考和内心需求，数学课堂才会成为学生“心灵的舞场、思维的操场、智慧的牧场”。
（作者单位： 江苏省扬州市江都区实验小学）
小学阶段的一些数学概念不能或无法根据学生的已有知识经验从数理上进行直观推理或直接验证，如“等底等高圆锥的体积是圆柱的[13]”。对于诸如此类的数学概念的理解，学生虽然在教师的所谓“引导”之下知道了数学结论，但在学生的内心深处，却留下了疑惑。教师在教学时，一定要让学生充分经历过程，参与活动，使学生在活动中感知，在过程中感悟，使内心的疑惑得到化解，知识得以内化。
在教学“圆锥体积计算公式的推导”时，课堂上经常看到的现象就是：教师通过实际操作演示或课件演示“告知”学生等底等高圆锥的体积是圆柱的[13]，然后引導学生进行操作验证。殊不知课堂上如果像这样直接告知验证，会导致学生心中生成如下两个疑惑：（1）直接做这样的实验太唐突，老师为什么会想到要做这样的实验操作？（2）这样的操作只能使学生直观观察感受到等底等高圆锥的体积大约是圆柱的[13]，怎样让学生确信一定是[13]呢？会不会也存在像“圆的周长大约是直径的3倍”这样的数学现象呢？
因此，在平时的教学实践中，教师要从学生的“心灵”现实出发，关注学生的认知经验和思维现实，关注学生在探索数学知识过程中可能产生的疑惑，可作如下引导学生猜想：三角形的面积计算公式是怎样推导的？它与等底等高平行四边形的面积之间有怎样的关系？这样就会促使学生激活“转化”的认知经验。教师趁热打铁：圆锥可以转化为已学过的图形吗？学生通过观察直观感知，不怎么好转化，教师追问：那能不能找到与已学过图形之间的关系呢？这样就促使学生很自然地猜想到与圆柱体积之间的关系上来，顺应了学生的认知特点和思维特征。此时教师进一步引导：圆锥的体积怎样计算呢？它与等底等高的圆柱的体积之间有什么联系呢？在如此的追问与引导之下，学生才会产生动手操作实践的欲望，继而让学生在操作观察中发现，等底等高圆锥的体积是圆柱的[13]。如此引导才能激发学生探究的欲望，激发学生的认知兴趣。一旦每小组参与操作的学生在操作过程中发现等底等高圆锥的体积大约是圆柱的[13]，这时教师因势利导加以说明：“我们在操作过程中一定有误差，其实等底等高圆锥的体积就是圆柱的[13]。”因为它们二者之间的关系是学生自己发现的，而不是教师告知的。因此学生此时对老师明确的这一数学结论就不会产生“是大约[13]，还是一定是[13]”的疑惑，而且会对圆锥体积计算公式深信不疑，理解深刻。
二、内心思考：倒数不会是倒过来的数吧
学生的内心世界充满了幻想与想象。而到了小学中高年级，这种内心想象会随着学生思维的发展和学习经验的积累逐步趋于数学猜想，而这种数学猜想总是基于学生的学习经验和已有知识作为思维支撑，从而形成学生的内心思考。因此，一线教师在引导学生理解数学概念时，一定要关注学生的内心思考，使内心思考不断助推学生开展数学思维活动。
例如，教学“倒数的认识”。在学生的内心深处，学生首先猜想到：倒数不会是倒过来的数吧？是把什么数倒过来呢？是把数的什么倒过来呢？如果教师在设计课堂教学时，无视学生的这些内心思考，直接告诉学生“倒数”的数学定义，学生不但对“倒数”概念的理解模糊，而且也不能激发学生对“倒数”知识的内容产生研究兴趣，同时也扼杀了学生的数学猜想，使学生体会不到学习“倒数”知识的必要性和数学价值。
因此，教学时需要从学生的“心灵”现实出发，引导学生猜想“倒数”的数学概念：（1）回忆一下，你已认识了哪些数？如：整数、小数、分数、因数、倍数等。你还听说过小学阶段还会学到哪些数？如：百分数、倒数等。（2）你能从“倒数”这个概念上去猜一猜，“倒数”可能是一个怎样的数？（3）在你认识的数中，什么数倒过来仍然成为一个数呢？（4）倒过来的数和原来的数有什么关系？（5）根据你的理解能用自己的语言概括“倒数”的数学定义吗？在教学实践中发现，学生不仅能说出分子和分母位置互倒的两个数互为倒数，也说出了乘积为1的两个数互为倒数。因此，关注学生的内心思考，引导学生围绕学习内容和教学目标展开数学猜想，这样教师不仅为学生营造了一个主动探索、自主建构的空间与平台，也使学生在经历数学概念的形成过程中，提升了数学猜想能力，感悟了基本的数学思想。
三、内心需求：写这个比干吗
教师在设计教学活动和安排教学环节时，要关注学生的内心需求，否则学生会对教师预设的教学内容毫无兴趣，亦无热情，无法产生数学猜想，从而造成学生课堂参与度不高，课堂教学效率低下，不能高效达成预期的教学目标。
例如，教学“正比例的意义”。在听课过程中发现，一线教师总是直接出示例题中的表格，并直接给出教材的要求和问题：“写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值。你发现了什么？”然后在学生求出比值的基础上，硬拉着学生套用教材中正比例意义的数学概念概括路程、时间和速度三者之间的变化关系，并让学生进行练说和记忆。
如果教学时直接抛出教材中这个问题，学生感到很“诧异”和“意外”，并且在内心深处会立刻产生疑团：写这个比干吗？因为此时学生在审题时，并不认为例题表格中的信息是为了写比而提供的，没有产生写比的需求，更不会去猜想写这个比的必要性和目的。一旦学生在心灵深处有了这样的心理活动和想法，学生就根本无暇顾及路程、时间和速度这三个数量之间的变化关系。因此学生此时心中总是在猜疑今天老师会带领我们学习什么内容？要我们写出路程与时间的比干吗？所以，引导学生“发现什么”，不是教师机械地套用教材强加给学生，而是要激发学生的内心需求，引导学生“静悄悄地”进入数学猜想：（1）观察例题表格中的信息，猜一猜里面可能会隐藏什么规律？（2）你是怎么发现其中的规律的？你想怎样表达你所发现的规律？引导学生用比表示出表格中路程与时间的关系，并追问比的什么变了？什么没变？（3）你会用一个简洁的方式表示出这个规律吗？比一比谁能用最简洁最具代表的方式表示此规律？（4）在学生交流汇报的基础上引导：规律总是在变化中探寻不变的东西，猜一猜可以用哪个数量关系式来表示这一数学现象？从而引导学生写出“[路程时间]=速度（一定）”的数量关系式。（5）谁能用自己的语言说一说对这个规律的发现？学生经历了如此的体验和思考过程，就会很自然地感悟到路程和时间是两种相关联的量，而且很直观地体会到时间变化，路程也随着变化，它们的比值（速度）总是一定的，这样学生在头脑里就会自然建构正比例意义的数学概念。即使学生不能用教材中简洁规范的数学语言描述正比例意义的数学定义，但学生在课堂上都能用自己的语言说出正比例意义的数学含义，说明正比例数学概念的意义在学生的头脑中得到内化与建立。因此，学生的内心深处一旦产生学习需求，就会产生数学猜想与数学思考的欲望，继而促进学生主动探求新的知识。所以，新知的引入要显得自然，要关注学生的内心需求，让学生体验到所学内容的必要性和目的性，这样的教学才能行云流水，水到渠成。
综上所述，数学课堂理应从学生的心灵实际出发，关注学生的内心疑惑、内心思考和内心需求，数学课堂才会成为学生“心灵的舞场、思维的操场、智慧的牧场”。
（作者单位： 江苏省扬州市江都区实验小学）