等差数列前n项和公式应用广泛,是中学数学中重要公式之一下面结合例题谈谈等差数列求和公式的变形及其应用
　　 T3一、n=An2+ n的应用
　　由n=na1+n a-12d,变形得n=d2n2+ a1-d2n,即n=An2+ n
　　例等差数列 an}中,0=100, 20=300,求 30
　　分析 把表达式n=An2+ n看作函数,已知n=10和n=20的函数值,代入即可求出A、 的值; 30就是n=30的函数值
　　解 由n=An2+ n及0=100, 20=300,得3 100A+10 =100,400A+20 =300 ∴ A=12, =5 ∴ 30=900×12+30×5=600
　　评注 数列是一种特殊的函数,等差数列前n项和的表达式是形如n=An2+ n的形式,而等差数列的通项公式是形如an=pn+q的形式
　　 T3二、 2n-1= 2n-1an的应用
　　在等差数列 an}中,an=a1+a 2n-12=a1+a 2n-12× 2n-1×12n-1,而 2n-1= a1+a 2n-1 2n-12,因此得 2n-1= 2n-1an
　　例 2等差数列 an}中,设前n项和为n,且mn=m2-2mn2-2n m≠2,n≠2,求aman的表达式
　　分析 由mn=m2-2mn2-2n,利用 2n-1= 2n-1an即可求出aman的表达式
　　解 由 2n-1= 2n-1an,得an= 2n-12n-1∴aman= 2m-12m-1 2n-12n-1=
　　 2m-1\ 2m-1-22m-1
　　 2n-1\ 2n-1-22n-1=2m-32n-3
　　评注 公式 2n-1= 2n-1an是由an是a1与a 2n-1是等差中项推出的不要死记公式,用时推出即可
　　三、等差数列 an}有2n-1项,则奇-偶=an,奇偶=nn-1
　　利用等差数列的性质:p+l=m+n(p,l,m,n∈N),则ap+al=am+an可得到以上两个公式
　　例 3项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求项数及其中间项
　　分析 利用上面的公式就可求出项数及其中间项
　　解 设中间项为an,由奇数项之和为44,偶数项之和为33,得44-33=an,∴an=11;4433=nn-1,∴n=4∴2n-1=7因此,此数列有7项,中间项为11
　　评注 等差数列 an}有2n项时,有 2n=n a1+a 2n=…=n an+a n+1,偶-奇=nd;奇偶=ana n+1
　　四、设等差数列 an}和 bn}的前n项和分别为n和Tn,则ambn=2n-12m-1• 2m-1T 2n-1
　　因为 an}和 bn}都是等差数列,而ambn= a1+a 2m-12 b1+b 2n-123=2n-12m-1• 2m-1 a1+a 2m-12 2n-1 b1+b 2n-12,所以ambn=2n-12m-1• 2m-1T 2n-1这是两个等差数列中的项与和之间的关系
　　例 4设等差数列 an}和 bn}的前n项和分别为n和′n,且n′n=4n+19n+3,求它们第20项之比a 20b 20
　　分析 这类题,实际上是求和问题的逆问题显然是以上公式中m=n时的情况,代入求解即可
　　解 a 20b 20= 39′ 39=4×39+19×39+1=157354
　　评注 利用公式解题时,一定要注意an的下标与k的下标的关系,一般情况下,它们不是相等的
　　 T3五、正确理解n、 2n及 3n的关系
　　一般地,在等差数列中,n、 2n及 3n不成等差数列由等差数列的性质可知:A=a1+a2+…+an, =a n+1+a n+2+…+a 2n,C=a 2n+1+a 2n+2+…+a 3n成等差数列
　　例 5等差数列 an}的前m项之和为30,前2m项之和为100,则它的前3m项之和为 
　　分析 把条件适当变形,利用上面得到的等差数列的性质求解
　　解 设等差数列 an}的前m项之和为m,则m, 2m- m, 3m- 2m成等差数列∴m+( 3m- 2m)=2( 2m-m)=210,即故选C
　　评注 解此题容易犯的错误是,误认为m、 2m及 3m成等差数列,求得 3m=170
　　 T3六、整体求和法
　　有些求和问题,可以通过整体的适当变形求解
　　例 6设数列 an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+a7+…+a 97=50,则a3+a6+a9+…+a 99=()
　　A-182DW -78DWC-148DWD-82
　　分析 观察条件和a3+a6+a9+…+a 99的关系,利用等差数列通项公式,把a3+a6+a9+…+a 99用公差和a1+a4+a7+…+a 97=50表示,即可求解
　　解 a3+a6+a9+…+a 99= a1+2d+ a4+2d+ a7+2d+…+ a 97+2d= a1+a4+a7+…+a 97+66d=50+66×(-2)=-82选D
　　评注 整体求和,思路清晰、过程简捷
　　以上求和公式都是由等差数列的通项公式、前n项和公式及等差数列的性质,经过适当的变形得到的由以上例题可知,根据条件,把公式适当变换形式后再使用,可简化解题过程,使问题易于解决
　　(作者:史立霞、秦振,山东省枣庄市第三中学西校)