所谓数形结合，就是在研究数学问题时，由数思形、以形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
　　数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，只是为了方便，人们才分别将数量关系和空间形式从现实世界中单独抽取出来进行研究，因而形成了代数与几何。但是，事物本身是同时兼备数与形两种属性的，当数学发展到一定阶段时必然要将数形结合起来，充分地运用数形结合、数形转化的方法来解决各种数学问题，解析几何就数形结合的典范。运用数形结合方法研究数学问题，对于沟通代数、三角与几何的联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合方法，有助于增强学生的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。下面举例说明。
　　例1、已知x，y满足　欲使不等　恒成立，求实数c的取值范围。
　　分析：欲使　恒成立，即　恒成立，　于是，问题转化为求圆　上一点，使x+y有最小值问题。由图可知，当直线1，平行x+y=O且与　相切于下方时，x＋y有最小值　故　(此题还可以用三角代换等方法)
　　例2、已知　且两方程　都有实数根。求a+b的取值范围。
　　解：依题意，得　即　。则满足(#)的点(a，b)在图中所示的阴影区域内。
　　设z=a+b，则z=a+b所表示的直线系中，过点A(4，2)的直线在b轴上的截距即为满足(#)的z的最小值。
　　例3、(1)已知点A(3，2)，F(2，0)，在双曲线　求一点P，其坐标为____时，使　最小。
　　(2)平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足PA—　为AB的中点，则　的最小值是( )
　　
　　分析：这是两道典型的数形结合求最小值的题目，方法：(1)借助圆锥曲线的第二定义；(2)借助第一定义。
　　解：(1)如图1，易知A点在双曲线的右支内，则据双曲线的第二定义知，若　最小，只要PAl+d最小，过点A作右准线的垂线AD，则　与双曲线右支的交点　即为所求点。
　　(2)根据双曲线的第一定义知，P点轨迹是双曲线的一支，如图2，P点为双曲线的顶点时，　最小，即　的最小值为双曲线的实半轴长，故选B。
　　形与数相比较，有着直观上的优势。中学生相对于抽象思维，普遍更喜欢形象思维，对图形的记忆也总强于对文字、数式的记忆。我们应注意到学生思维方式上的这些特点，在讲授有关的数学知识时，尽可能数形结合、形数对照，使学生对所学内容更易于理解和记忆。而在解决实际问题时，同样应教给学生数形结合的思想方法，启发他们学会对一些数量关系作出“形”的解释，发掘其中“形”的因素，以增加解决问题的有效途径。如：实数x、y满足　求y的最大值。
　　华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，应用数形结合的思想就能发扬这两种方法之长，避免呆板单调解法之短。在解决有关问题时，数形结合思想方法所表现出来的思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化是一目了然的。因此，作为中学生所应掌握的一种重要思想方法，我们除了在课堂教学时注意数形结合的应用外，还需有意识地对学生加强这一思想方法的灌输和训练，以逐步提高他们的数学思维水平。
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。