看似无“圆”却有“圆”

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  摘 要:高中数学试题的解答过程中,分析条件,挖掘其潜在信息,是较为重要的阶段.而有些有用条件常常隐藏在题目已有的题设中,具有一定的隐蔽性,需要冷静分析挖掘,才能“透明化”.在直线和圆的考查中,“圆”往往藏于条件中,此类“圆”称作“隐形圆”,本文将就几类常见的“隐形圆”问题进行归纳总结,并对如何解决这类问题作初步的探讨.
  关键词:高中数学;隐形圆;探讨
  在近几年的江苏高考和各地模拟题中,很多试题把圆藏于函数、向量、軌迹、不等式等条件中,这就需要我们通过综合运用各类知识点,找出相关隐形圆,再利用数形结合等思想进行解答直线与圆、圆与圆等问题,目前常见的主要有以下几类找寻隐形圆的方法:
  题型一:用定义法寻找“隐圆”
  “隐圆”的寻找最基本的方式是利用圆的定义去进行,所以在解某些题目时,我们可以找准题中的定点,定长,由定的条件来确定动点的轨迹方程,进而将动点具体化.
  题型二:用定点与动点之间张角寻找“隐圆”
  用定点与动点之间张角寻找“隐圆”,在近几年的高考中较热门.在圆中,“直径所对的圆周角是直角”这一条件是一常用条件,其往往会作为寻找“隐圆”有利条件,找准直径所在端点,进而确定动点位置.
  点评:本题考查的是圆与圆的位置关系.解本题的关键是了解张角∠MPN恒为锐角的等价条件,以∠MPN=90°时作为临界状态,找到以∠MPN为圆周角的“隐圆”,再由∠MPN恒为锐角可知,P需要在圆A外,故圆A与点P所在圆无公共点,即两圆外离.本题关键还是需要利用起“直径所对的圆周角为直角”这一结论。所以,在题中动点如出现在直角顶点位置,例如:现成的直角三角形,两向量,两直线斜率,我们可以密切关注顶点P是否在圆上.
  题型三:由对称性寻找“隐圆”
  数形结合,由对称性找寻隐形圆,将对称点具体化到对称圆上也是常见题型.
  点评:以上两个小题都是将对称点铺设开,找到其所在的对称隐圆,由于点的存在,必然带来“隐圆”与题目所给直线(圆)有公共点.这种解题方式是从全局出发,类似于寻找点所在的轨迹,再利用轨迹探求问题本质.
  直线与圆在高中数学中是C级要求,是数形结合思想的最好体现,笔者从近几年的高考中发现,对直线(圆)与圆的考查,遵循“位置关系”这一基本主线,命题形式开始多样化,保持着与函数、向量、轨迹以及不等式等相结合的原则,呈现出知识点间的综合贯通,充分彰显高中数学各个模块的交汇价值.所以,这就要求学生一定要具备扎实的功底,做到前后知识的融会贯通,能够灵活地采取一定的措施将函数、向量、轨迹和不等式等转化为与圆方程相关的问题,这样定能突破瓶颈,柳暗花明.
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