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摘要：课堂学习是学生对知识的不确定性到知识确定性的渐进过程，这一过程中包含着不断严密的论证过程，这也是数学的主要特色和中心问题，那么围绕这个过程的指向有两个方面：“证实”；“证伪”。“证实”思想在大部分小学数学课堂中是常见的，而“证伪”思想是一种否定性思维，它基本在小学数学课堂中很少见到。但是，“证伪”思想在小学数学课堂中也不可缺少，因为它有助于帮助学生科学地超越自身，找到知识新的生长点和突破口。本文试图以笔者对“证伪”思想的理解，并结合一些课例，阐述证伪思想渗透在儿童数学学习中的意义、价值和实践探索。
关键词：“证伪”思想；“证实”思想；小学数学
课堂学习是学生对知识的不确定性到知识确定性的渐进过程，在小学数学课堂中往往会看到必有模块——探究新知，而这个模块的展示多以学生“证实”某一正确的猜想为主，缺少“证伪”思想，這就导致学生对知识学习的单一性和唯一性，缺少了学生对知识的自主验证性和对知识的深度耕犁，所以笔者试图通过以教学实践为例，探寻“证伪”思想在小学数学阶段的必要性，以及“证实”和“证伪”两种辩证思想对于小学生形成数学思维的重要性。
一、 观照弊端：小学数学“证伪”思想缺失的现象分析
在小学数学中，有一些命题需要进行验证，这些命题多是由猜想得来的，猜想到形成命题是一个去伪存真的过程，这个过程主要以证伪和证实为主要手段，通过不断地证伪、修正、证实的循环阶段来实现。但是，从很多课堂上，我们看到的是过多的证实过程，而证伪却极少涉及，从听过的很多课中，笔者来剖析一下小学数学证伪思想缺失的主要现象，主要为以下几个方面：
（一） 偏于只“证实”，忽视学生自主猜想意识的形成
证实通常是指通过一项或者多项客观存在来证明一件事情的真实性，即用人物、事实来表明或断定，那么，在数学课堂教学中，往往是经常证实学生或者是老师提出的一个猜想，而对学生提出的错误猜想的证伪基本是没有的，也就是说没有“假设——探究”，再“假设——探究”等的循序渐进的过程，只有证实“正确结论”的过程。
苏教版三年级下册中长方形的面积公式求证，教材给予学生两个方法作为长方形面积的公式提示：一个是用几个1平方厘米的正方形摆出3个不同的长方形，并填写项目栏中含有“长”“宽”的表格；另一个是用1平方厘米的小正方形量出两个已有的长方形的面积。以上两个提示都是在引导学生探究并感受到长方形的面积就和长、宽有关，长方形的面积就是长乘宽的积。对于这节课，本人听了很多节公开课，基本所有的课堂都能体现学生自主交流、活动探究的过程，很多学生也能采用到上述的方法，探索性味道非常浓厚，但是这样的课堂也存在着严重的问题——缺失“儿童自己的猜想”。虽然最后结论的形成过程呈现出来，但是却忽视了“提出问题比解决问题更有难度”的数学教学思想，学生从头到尾证实的是教师既定的结论，这对学生来说丝毫没有难度。
（二） 偏于“非证实与非证伪”，忽视学生知识迁移的正确形成
证伪思想是由英国哲学家波普尔在其著作《猜想与反驳》中谈到的，简单地可以理解为我们应该大胆地提出假说和猜测，然后去寻找和这一假说不符合的事例。如果用在数学中，就可以解释为不断地提出假设和猜想，然后找到一个反例，便可以验证假设和猜想不对。像这样的证伪思想，在小学数学中有用到过，但是并不常用，而且经常忽略，甚至是有很多的猜想既不证实也不证伪，只是一带而过，过于教师为中心，并舍去猜想过程直接将结论让学生拿来运用，忽略学生为中心的教学。
苏教版六年级数学下册第91页第11题的第三题“你发现了什么”，学生通过计算可以发现：两次画出的圆面积的和是不变的，都相当于正方形面积的78.5%。像这个题目，很多老师在讲解的时候就止步于“发现”，其实此时应该让学生猜想：“如果继续在正方形画圆，那么圆的面积相当于正方形面积的百分之几？”其实，猜想下去会发现所画圆的面积都相当于正方形面积的78.5%，经过证伪和证实的过程也会发现这个结论是正确的。
在小学数学课堂中，如果证实和证伪的过程长期缺失，会导致学生自身对知识迁移的正确形成。
（三） 偏于“有伪不证或证伪不实”，忽视学生对新旧知识联系的联通
证伪思想的渗透，可以让学生澄清对某些概念和性质的模糊认识，克服对数学知识的理解的偏差和负迁移。我们老师在上课时，为了达到40分钟的高效课堂，往往过多地关注学生自主探索的过程和探索后的正确结果，但对学生的错误结论往往并不给予过多重视，出现有伪不证的现象；或者在遇到学生的错误结论时，也会进行讨论，但并不追根究底，出现证伪不实的现象。
学生在苏教版五年级上学期中会学习《用字母表示数》这节课，这节课的重点是研究用含有字母的式子可以表示数量、数量之间的关系，但是这节课还有一个重点是对含有字母的式子的简便改写，学生经常会将2a和a2弄混淆，教师最常用的做法就是出几道类似于32或52得数这样的题目，但是学生在做题时仍然犯错，所以教师完全可以让学生证伪一下“2a=a2”这样的命题，让学生自主发现在不同的取值情况下，2a可能等于a2，2a可能大于a2，2a可能小于a2，这样的验证经历不仅可以让学生理清对2a和a2的意义，还能让学生在以后的解题过程中不容易出错，这样“有伪不证”的现象也常常能在课堂中看见。
二、 追根溯源：小学数学证伪思想缺失的原因剖析
（一 ）教师对教学目标的定位偏离
纵观数学课堂，我们会发现老师对学生知识的掌握和理解，基础知识和基本技能的把握都很兼顾，但是这样就导致了目标指向知识的单一性。基于此，学生能够获得正确的知识，但却会失去“学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，所以在课堂中，我们会发现重视证实的探究过程，认为证伪的过程并不重要。
“伪结论”的出现，常常作为课堂中的小错误就这样一闪而过，但其实这才是紧扣学生应该学习的目标，在学习1/4 3/8这样的异分母分数加法时，学生会很自然地想到用分子加分子、分母加分母来计算，但是为了节省课堂时间，此时很少有课堂会探究“为什么不用分子加分子、分母加分母来计算”的原因，只是轻描淡写地略过。那么，这样学生真正学习目标就发生了偏离。 （二） 教师对学生学情的把握偏颇
课堂教学是一个动态呈现的过程，是师生间建立友好关系的时刻，是教师传授知识和引导学生学习的过程。教师要教会学生的“不明白”，学生要学习自己的“不明白”。课堂中，学生会提出不同的观点或者错误的观点，这时就需要教师的教学机智。其实，如果教师对学生的学情掌握地比较透彻的话，那么学生的回答是万变不离其宗的，教师可以根据自己的教学机智引导学生进行“证伪”，并对生成的“伪结论”进行探讨。
在学习圆锥的体积时，需要验证出圆锥的体积公式，通常教师会引导学生去发现圆锥体积与圆柱体积的关系，最终学生能够发现圆锥的体积就是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。不过，在一次听课时，有个学生提出了这样的质疑：长（正）方体的体积可以通过算出底面积，然后想象成与高那么多的底面积叠加而成，这样可以推导出长（正）方体的体积=底面积×高；圆柱的体积公式也可以用类似的方法进行验证，先求出圆柱的底面积，然后想象成与高那么多的底面积叠加而成，这样可以推导出圆柱的体积=底面积×高；基于这些已知经验，圆锥应该可以是相同的直角三角形旋转叠加，叠加的个数应该是圆锥的底面周长。按照学生的这个推导想法，似乎是对的，但是授课教师没有进行验证和剖析，而是一带而过，其实这样的方法是错误的。在此片段中，教师对学生的学情并没有把握较实，所以教师难以及时应对。
三、 透析架构：小学数学教学“证伪”思想的渗透
（一） 内涵解读——“证伪”思想的价值探寻
“证伪”是一种否定性思维，它有助于科学地超越自身，找到新的生长点和突破口。波普尔认为证伪主义至少存在两个优点，笔者对其中的一个优点表示非常赞同，即证伪主义可以避免对错误理论的辩护和教条，证伪主义使人们相信所有的科学都只是一种猜测和假说，它们不会被最终证实，但却会被随时证伪。
随着课程的深化改革，课程内容所反映的不仅要包括数学的结果，也要包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法，在《义务教育数学课程标准（2011版）》中强调指出学生必须有时间和空间去经历实验、验证等活动过程；同样也强调：教师要引导学生独立思考、主动探究、合作交流，使得学生理解和掌握基本的数学知识和技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。其实，这也反映着学生获得知识的过程显得更为重要，如果要使得一个猜想转变成一个新知，那么就是一个去伪存真的过程，这个过程主要以证伪和证实为主要手段，通过不断地证伪、修正、证实的循环阶段来实现。
（二） 策略定位——“证伪”思想的实践探索
1. 以“问题”促“证伪”思想的形成
数学问题是数学的心脏，数学的产生和发展也总是在提出问题和解决问题的过程中进行。所以，课堂中如果有“证伪”思想的渗透，可以通过问题的设置引导学生有质疑和批判的想法。笔者认为，可以适当加入探究性问题、错误性问题和开放性问题，这三种类型的问题都可以促进学生善于运用“证伪”思想进行学习，下面通过具体实例来谈一谈。
类型一：探究性问题
在《三角形内角和》一课中，学生在用不同的方法探究出三角形的内角和是180°后，可以追加一个问题“是不是所有三角形的内角和都是180°呢？”引发学生探究和思考，学生可以想办法用“证伪”的思想进行尝试质疑，这样的课堂教学也就打破了原来的守旧课堂，让学生主动地和开放地学习。
类型二：错误性问题
在学习《3的倍数特征》时，提出“3的倍数特征也具有2和5的倍数特征的规律吗？”这样的问题，引导学生先运用旧知（2和5的倍数特征规律）探究3的倍数特征，让学生明确感受到证伪的思想。
类型三：开放性问题
在学习《多边形内角和》时，教师在带着学生探究过四边形和五边形的内角和后，教师便可以抛出一个开放性问题“接着往下分三角形的个数，你觉得多边形内角和的变化有什么规律？”学生通过这个开放性问题的探究，可以展开激烈的讨论，并在反复找规律中能够不断证伪，最终可以找到多边形内角和的规律。
2. 以“过程性目标”促“证伪”活动的开展
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在进一步明确了数学课程“结果目标”的同时，提出了数学课程的“过程目标”，并以“经历”“体验”“探索”三个行为动词表述了相应层次的目标要求。“伪证”是一种学习过程的方式，而这个过程也是引导学生“经历、体验、探索”的过程，通过经历一定的数学过程，获得一些经验，把握数学思想方法，形成数学能力，发展学生的数学思维和意识。
在学习加法交换律的时候，命题a b=b a是经过一些实际的例子推导出来的，像这样的命题，教师可以在学生生成这样的命题后，引导学生“证伪”，让学生试着去找一找反例，最后再确定结论。像这样的例子在小学数学课堂中还有很多，比如乘法分配律的结论，也可以在不断“证伪”中生成正确的结论。经过这样的分析和思辨，让学生达成学习的真正目的。
3. 以“融合的方式”促“证实和证伪”的思想的价值体现
学生在真正认识知识的过程中，是一个去伪存真的过程，也是证实和证伪相互融合的过程。证伪是教学形式的一种补充，目的是为了让学生形成“去伪”意识掌握“去伪”方法。小学课堂教学中应该要有“证伪——证实——求是”这样完整的教学范式，融合证伪与证实达到求是的目的，实现真正意义上的去伪存真，将原来的单一的思维训练模式为多元的思维训练模式，培养学生实现批判意识和探究意识的目的。
笔者认为，通过“证实”与“证伪”的教学对比或者相辅相成，让学生去体验和运用，在批判和求是中判断和解决问题。
参考文献：
[1]黄加卫.浅议“证伪”思想在高中数学教学中作用[J].中学数学杂志，2011（7）：18-22.
[2]喻平.教学的应然追求：求是与去伪的融合[J].教育学报，2012（8）：28-33.
[3]中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大學出版社，2012：4.
作者简介：牛德芳，一级教师，江苏省南京市，金陵中学实验小学。
关键词：“证伪”思想；“证实”思想；小学数学
课堂学习是学生对知识的不确定性到知识确定性的渐进过程，在小学数学课堂中往往会看到必有模块——探究新知，而这个模块的展示多以学生“证实”某一正确的猜想为主，缺少“证伪”思想，這就导致学生对知识学习的单一性和唯一性，缺少了学生对知识的自主验证性和对知识的深度耕犁，所以笔者试图通过以教学实践为例，探寻“证伪”思想在小学数学阶段的必要性，以及“证实”和“证伪”两种辩证思想对于小学生形成数学思维的重要性。
一、 观照弊端：小学数学“证伪”思想缺失的现象分析
在小学数学中，有一些命题需要进行验证，这些命题多是由猜想得来的，猜想到形成命题是一个去伪存真的过程，这个过程主要以证伪和证实为主要手段，通过不断地证伪、修正、证实的循环阶段来实现。但是，从很多课堂上，我们看到的是过多的证实过程，而证伪却极少涉及，从听过的很多课中，笔者来剖析一下小学数学证伪思想缺失的主要现象，主要为以下几个方面：
（一） 偏于只“证实”，忽视学生自主猜想意识的形成
证实通常是指通过一项或者多项客观存在来证明一件事情的真实性，即用人物、事实来表明或断定，那么，在数学课堂教学中，往往是经常证实学生或者是老师提出的一个猜想，而对学生提出的错误猜想的证伪基本是没有的，也就是说没有“假设——探究”，再“假设——探究”等的循序渐进的过程，只有证实“正确结论”的过程。
苏教版三年级下册中长方形的面积公式求证，教材给予学生两个方法作为长方形面积的公式提示：一个是用几个1平方厘米的正方形摆出3个不同的长方形，并填写项目栏中含有“长”“宽”的表格；另一个是用1平方厘米的小正方形量出两个已有的长方形的面积。以上两个提示都是在引导学生探究并感受到长方形的面积就和长、宽有关，长方形的面积就是长乘宽的积。对于这节课，本人听了很多节公开课，基本所有的课堂都能体现学生自主交流、活动探究的过程，很多学生也能采用到上述的方法，探索性味道非常浓厚，但是这样的课堂也存在着严重的问题——缺失“儿童自己的猜想”。虽然最后结论的形成过程呈现出来，但是却忽视了“提出问题比解决问题更有难度”的数学教学思想，学生从头到尾证实的是教师既定的结论，这对学生来说丝毫没有难度。
（二） 偏于“非证实与非证伪”，忽视学生知识迁移的正确形成
证伪思想是由英国哲学家波普尔在其著作《猜想与反驳》中谈到的，简单地可以理解为我们应该大胆地提出假说和猜测，然后去寻找和这一假说不符合的事例。如果用在数学中，就可以解释为不断地提出假设和猜想，然后找到一个反例，便可以验证假设和猜想不对。像这样的证伪思想，在小学数学中有用到过，但是并不常用，而且经常忽略，甚至是有很多的猜想既不证实也不证伪，只是一带而过，过于教师为中心，并舍去猜想过程直接将结论让学生拿来运用，忽略学生为中心的教学。
苏教版六年级数学下册第91页第11题的第三题“你发现了什么”，学生通过计算可以发现：两次画出的圆面积的和是不变的，都相当于正方形面积的78.5%。像这个题目，很多老师在讲解的时候就止步于“发现”，其实此时应该让学生猜想：“如果继续在正方形画圆，那么圆的面积相当于正方形面积的百分之几？”其实，猜想下去会发现所画圆的面积都相当于正方形面积的78.5%，经过证伪和证实的过程也会发现这个结论是正确的。
在小学数学课堂中，如果证实和证伪的过程长期缺失，会导致学生自身对知识迁移的正确形成。
（三） 偏于“有伪不证或证伪不实”，忽视学生对新旧知识联系的联通
证伪思想的渗透，可以让学生澄清对某些概念和性质的模糊认识，克服对数学知识的理解的偏差和负迁移。我们老师在上课时，为了达到40分钟的高效课堂，往往过多地关注学生自主探索的过程和探索后的正确结果，但对学生的错误结论往往并不给予过多重视，出现有伪不证的现象；或者在遇到学生的错误结论时，也会进行讨论，但并不追根究底，出现证伪不实的现象。
学生在苏教版五年级上学期中会学习《用字母表示数》这节课，这节课的重点是研究用含有字母的式子可以表示数量、数量之间的关系，但是这节课还有一个重点是对含有字母的式子的简便改写，学生经常会将2a和a2弄混淆，教师最常用的做法就是出几道类似于32或52得数这样的题目，但是学生在做题时仍然犯错，所以教师完全可以让学生证伪一下“2a=a2”这样的命题，让学生自主发现在不同的取值情况下，2a可能等于a2，2a可能大于a2，2a可能小于a2，这样的验证经历不仅可以让学生理清对2a和a2的意义，还能让学生在以后的解题过程中不容易出错，这样“有伪不证”的现象也常常能在课堂中看见。
二、 追根溯源：小学数学证伪思想缺失的原因剖析
（一 ）教师对教学目标的定位偏离
纵观数学课堂，我们会发现老师对学生知识的掌握和理解，基础知识和基本技能的把握都很兼顾，但是这样就导致了目标指向知识的单一性。基于此，学生能够获得正确的知识，但却会失去“学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，所以在课堂中，我们会发现重视证实的探究过程，认为证伪的过程并不重要。
“伪结论”的出现，常常作为课堂中的小错误就这样一闪而过，但其实这才是紧扣学生应该学习的目标，在学习1/4 3/8这样的异分母分数加法时，学生会很自然地想到用分子加分子、分母加分母来计算，但是为了节省课堂时间，此时很少有课堂会探究“为什么不用分子加分子、分母加分母来计算”的原因，只是轻描淡写地略过。那么，这样学生真正学习目标就发生了偏离。 （二） 教师对学生学情的把握偏颇
课堂教学是一个动态呈现的过程，是师生间建立友好关系的时刻，是教师传授知识和引导学生学习的过程。教师要教会学生的“不明白”，学生要学习自己的“不明白”。课堂中，学生会提出不同的观点或者错误的观点，这时就需要教师的教学机智。其实，如果教师对学生的学情掌握地比较透彻的话，那么学生的回答是万变不离其宗的，教师可以根据自己的教学机智引导学生进行“证伪”，并对生成的“伪结论”进行探讨。
在学习圆锥的体积时，需要验证出圆锥的体积公式，通常教师会引导学生去发现圆锥体积与圆柱体积的关系，最终学生能够发现圆锥的体积就是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。不过，在一次听课时，有个学生提出了这样的质疑：长（正）方体的体积可以通过算出底面积，然后想象成与高那么多的底面积叠加而成，这样可以推导出长（正）方体的体积=底面积×高；圆柱的体积公式也可以用类似的方法进行验证，先求出圆柱的底面积，然后想象成与高那么多的底面积叠加而成，这样可以推导出圆柱的体积=底面积×高；基于这些已知经验，圆锥应该可以是相同的直角三角形旋转叠加，叠加的个数应该是圆锥的底面周长。按照学生的这个推导想法，似乎是对的，但是授课教师没有进行验证和剖析，而是一带而过，其实这样的方法是错误的。在此片段中，教师对学生的学情并没有把握较实，所以教师难以及时应对。
三、 透析架构：小学数学教学“证伪”思想的渗透
（一） 内涵解读——“证伪”思想的价值探寻
“证伪”是一种否定性思维，它有助于科学地超越自身，找到新的生长点和突破口。波普尔认为证伪主义至少存在两个优点，笔者对其中的一个优点表示非常赞同，即证伪主义可以避免对错误理论的辩护和教条，证伪主义使人们相信所有的科学都只是一种猜测和假说，它们不会被最终证实，但却会被随时证伪。
随着课程的深化改革，课程内容所反映的不仅要包括数学的结果，也要包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法，在《义务教育数学课程标准（2011版）》中强调指出学生必须有时间和空间去经历实验、验证等活动过程；同样也强调：教师要引导学生独立思考、主动探究、合作交流，使得学生理解和掌握基本的数学知识和技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。其实，这也反映着学生获得知识的过程显得更为重要，如果要使得一个猜想转变成一个新知，那么就是一个去伪存真的过程，这个过程主要以证伪和证实为主要手段，通过不断地证伪、修正、证实的循环阶段来实现。
（二） 策略定位——“证伪”思想的实践探索
1. 以“问题”促“证伪”思想的形成
数学问题是数学的心脏，数学的产生和发展也总是在提出问题和解决问题的过程中进行。所以，课堂中如果有“证伪”思想的渗透，可以通过问题的设置引导学生有质疑和批判的想法。笔者认为，可以适当加入探究性问题、错误性问题和开放性问题，这三种类型的问题都可以促进学生善于运用“证伪”思想进行学习，下面通过具体实例来谈一谈。
类型一：探究性问题
在《三角形内角和》一课中，学生在用不同的方法探究出三角形的内角和是180°后，可以追加一个问题“是不是所有三角形的内角和都是180°呢？”引发学生探究和思考，学生可以想办法用“证伪”的思想进行尝试质疑，这样的课堂教学也就打破了原来的守旧课堂，让学生主动地和开放地学习。
类型二：错误性问题
在学习《3的倍数特征》时，提出“3的倍数特征也具有2和5的倍数特征的规律吗？”这样的问题，引导学生先运用旧知（2和5的倍数特征规律）探究3的倍数特征，让学生明确感受到证伪的思想。
类型三：开放性问题
在学习《多边形内角和》时，教师在带着学生探究过四边形和五边形的内角和后，教师便可以抛出一个开放性问题“接着往下分三角形的个数，你觉得多边形内角和的变化有什么规律？”学生通过这个开放性问题的探究，可以展开激烈的讨论，并在反复找规律中能够不断证伪，最终可以找到多边形内角和的规律。
2. 以“过程性目标”促“证伪”活动的开展
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在进一步明确了数学课程“结果目标”的同时，提出了数学课程的“过程目标”，并以“经历”“体验”“探索”三个行为动词表述了相应层次的目标要求。“伪证”是一种学习过程的方式，而这个过程也是引导学生“经历、体验、探索”的过程，通过经历一定的数学过程，获得一些经验，把握数学思想方法，形成数学能力，发展学生的数学思维和意识。
在学习加法交换律的时候，命题a b=b a是经过一些实际的例子推导出来的，像这样的命题，教师可以在学生生成这样的命题后，引导学生“证伪”，让学生试着去找一找反例，最后再确定结论。像这样的例子在小学数学课堂中还有很多，比如乘法分配律的结论，也可以在不断“证伪”中生成正确的结论。经过这样的分析和思辨，让学生达成学习的真正目的。
3. 以“融合的方式”促“证实和证伪”的思想的价值体现
学生在真正认识知识的过程中，是一个去伪存真的过程，也是证实和证伪相互融合的过程。证伪是教学形式的一种补充，目的是为了让学生形成“去伪”意识掌握“去伪”方法。小学课堂教学中应该要有“证伪——证实——求是”这样完整的教学范式，融合证伪与证实达到求是的目的，实现真正意义上的去伪存真，将原来的单一的思维训练模式为多元的思维训练模式，培养学生实现批判意识和探究意识的目的。
笔者认为，通过“证实”与“证伪”的教学对比或者相辅相成，让学生去体验和运用，在批判和求是中判断和解决问题。
参考文献：
[1]黄加卫.浅议“证伪”思想在高中数学教学中作用[J].中学数学杂志，2011（7）：18-22.
[2]喻平.教学的应然追求：求是与去伪的融合[J].教育学报，2012（8）：28-33.
[3]中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大學出版社，2012：4.
作者简介：牛德芳，一级教师，江苏省南京市，金陵中学实验小学。