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摘要：传统投资组合基于马科维茨证券投资组合理论，通过调整特定时期内各种证券的份额，达到投资组合预期收益率最大化和风险最小化。该组合属于静态最优化投资组合。实际上，在固定收益投资中，通常投资者在随时间变化的资金约束下进行固定收益产品的连续投资，达到期限错配和收益率最大化的目的。本文以运筹学运输模型为基础，以固定收益产品的特点为约束条件，设计了一个与实际情况相近的最优化模型，并给出了该类问题约束方程的通用数学形式。最后在三个典型投资案例中，使用自编软件和Lingo软件，对本模型进行了适用性和可操作性验证。
关键词：投资决策；定量建模；最优化技术
一、引言
现代投资理论始于马科维茨提出的证券投资组合理论，他第一次把投资理论从定性分析推向定量求解。马科维茨从投资组合的收益率和风险出发，提出了最优投资组合是风险一定情况下的收益最大化或收益一定情况下的风险最小化。该模型解决的是在特定时间内，投资组合内部各种证券的最优份额问题。该组合属于静态最优化投资组合。实际上，在固定收益投资过程中，投资者可用于投资的资金总额不是一成不变的，通常是在随时间变化的资金约束下进行固定收益产品的连续投资，以达到期限错配和收益率最大化的目的。
众多研究人员努力把马科维茨投资组合模型推广到连续投资的实际动态情形，建模时使用的方法包括随机控制方法和随机规划方法。目前连续动态投资组合研究已取得较多研究成果，国外做出突出贡献的主要有Mossin、Li 和 Ng以及 Zhou 和 Li等。国内此类研究成果相对较少，主要有赵建、霍佳震和汪鑫等。
对于具有明确时间起止特征和收益率预期的固定收益产品而言，通过引入和重构运筹学运输模型，可通过规划求解各种约束条件下固定收益产品有效期内各个时段的投资金额，来制定最优化投资计划。该投资计划能够在同时符合投资资金限制、固定收益产品交易规则以及投资策略的前提下使得收益最大化。
二、研究假设
通常情况下投资者对于其现金流的预测局限于一年期以内，因此本文所讨论的固定收益产品主要是指从投资决策时点开始一年以内到期的固定收益产品，主要包括国债、央行票据、商业票据、银行定期存单、政府短期债券、企业债券（信用等级较高）、同业存款等短期有价证券。以上投资标的皆具备两大特性：高安全系数和稳定收益，投资本金和收益的保障程度高。据此本文提出以下假设：
（一）固定收益产品假设
拟投资固定收益产品集合中，每一个产品的起止时间确定，收益率确定。固定收益产品不会出现延期、展期，以及预期收益率低于预期，甚至本金无法兑现的情况。
（二）投资现金流假设
投资者可用于投资的若干笔资金的起止时间确定，金额确定。
（三）投资成本假设
投资成本为必要的固定收益产品交易成本、资金成本以及机会成本之和。由于一般情况下固定收益产品交易成本与投资本金相比较小（有时交易成本为零），因此忽略不计。对于所有的投资计划而言，资金成本和机会成本是一致的。所以本文假设投资成本为常数，投资成本对于最优投资计划的选择无影响。
（四）投资收益兑付假设
1.假设所有固定收益产品均使用附息方式。
固定收益产品的收益兑付方式分为附息方式（主流方式）和贴现方式。在某种程度上，贴现方式也是一种特殊的附息方式。本文假设所有固定收益产品均使用附息方式。
2.假设到期产品收益按预计收益率计算，未到期产品收益按预计收益率及实际持有天数计算。
如果被投资的固定收益产品允许投资者在该产品尚未到期的情况下进行买卖或者兑付，则假设成交（兑付）价格等于投资本金加上投资收益，其中投资收益按实际持有天数及既定收益率计付收益。
3.假设固定收益产品的收益到期立即分配，不参与下一投资时段其它固定收益产品的投资——即不考虑投资收益的再投资问题。
一般情况下由于投资期限短，投资收益与投资本金相比较小，投资收益“再投资”产生的收益更少，一般不会影响整体的投资规划。而若投资收益“再投资”会产生“收益的收益”，如此将会进入一个无法结束的循环。因此本文假设“投资收益不再投资”。如果投资收益的确比较大，以至于可能会影响到投资计划的选择，可以为投资者增加一笔新的现金流以代表投资收益，其期限为从该投资收益兑付开始至本投资规划中所有现金流终止时间中的最晚时间。
（五）折现率假设
由于固定收益产品的收益可能在不同时点兑付，所以本文将所有投资收益折现到同一参考时点。因为固定收益产品主要在银行间市场进行交易，所以本文将Shibor各时间档次利率作为折现率。对于非标准Shibor时间档次的折现率，用三次样条插值法予以解决。
本文三个案例的规划时点为2012年8月1日，因此使用2012年8月1日Shibor数据，其各档次利率如下表所示：
因投资者对不同期限折现率的预期存在差异，在实际使用本模型过程中，投资者可以根据自己对未来的利率预期使用三次样条插值拟合法构建折现率曲线。
三、模型设计
在《连续投资过程中的资金规划研究》一文中，作者对连续投资过程中的资金规划进行了抽象和建模。其通用最优化模型只考虑到了投资项目之间复杂的时间关系，以及投资资金的约束。在固定收益产品连续投资过程中，如果进一步考虑固定收益产品的交易规则和投资人的投资策略，将大大提升模型的实用性。
为了求解各种约束条件下固定收益产品有效期内各个时段的投资金额（即投资计划），本文引入运筹学上的运输模型。运输模型解决的是多个产地和多个仓库之间的运输计划。与此类似，本文解决的是投资期内各个时段在各个固定收益产品上的投资金额。
引起投资计划变化的时间点只有可能是某个固定收益产品的起止时点或者某笔资金的起止时点。根据这个规律，将所有固定收益产品的起止时点和所有资金的起止时点组成一个集合并按先后排序，每相邻的两个时间点为一个投资时段，时段内投资组合不变，只需确定每个时段内每个固定收益产品的数量即可。 （一）优化目标：
最大投资利润
=MAX（投资利润）
=MAX（投资收益–投资成本）
=MAX（投资收益–（交易成本+资金成本+机会成本））
投资利润等于投资收益减去投资成本。投资收益为各笔固定收益产品收益兑付时点向同一个时点折现之和。由于本文假设投资成本为某一常数。所以可将优化目标简化为：
MAX（投资利润）=MAX（各个固定收益产品收益折现）
（二）约束条件：
在追求投资利润最大化的同时，为了贴近实际情况，投资计划必须满足一系列约束条件。
1.资金约束：根据本文假设，各笔投资资金的起止之间确定，金额确定。各笔资金在同一时点的资金可相加，其和为该时点的最大可投资金额。资金约束的含义——对于投资时段内每个时间点，投资方案中固定收益产品投资金额之和小于等于对应时点的最大可投资金额。例如：对于下表中的两笔资金，可以转化成下图中的资金约束图。
2.交易规则约束：
投资者必须依照固定收益产品本身的交易规则进行操作。本文将固定收益产品按照持有时间要求和持有规模要求进行如下划分。
按持有时间进行划分——如果某固定收益产品在持有期内可以自由买卖，而非一定要持有至到期日，则该产品为时间可分的固定收益产品。例如：对于国债和大额可转让定期存单，投资者可以选择持有至到期日，也可以选择提前兑付或者转卖。相反银行定期存款必须持有至到期日，银行才会向投资者支付利息，因此此类产品为时间不可分的固定收益产品。
按持有规模进行划分——如果某固定收益产品可以按份购买，而非全额购买。则该产品为规模可分的固定收益产品。例如：对于国债，投资者可以根据国债票面价格按份购买。相反对于大额央行票据只能全额购买，因此该产品为规模不可分的固定收益产品。
3.投资策略约束：
投资策略包括风险策略、久期策略、固定收益产品之间的互斥或互补策略等等。风险策略有很多种，其中比较常用的一种策略是投资者对同一债务人或同一行业进行最高投资限额控制，以防范风险过度集中。有时投资者为了控制所持有的固定收益产品组合对于利率的敏感性，限制了投资组合的久期。
固定收益产品之间的互斥及互补策略。情况一、固定收益产品之间存在互补关系——即如果投资某一固定收益产品，其互补关系产品也必须投资。该策略适用于风险负相关，需要对冲风险的固定收益产品集合。情况二、固定收益产品之间存在互斥关系——即如果投资某一固定收益产品，其互斥关系产品不允许投资。该策略适用于风险正相关，需要分散风险的固定收益产品集合。
（三）模型中的符号表示及数学公式：
1.固定收益产品的表示
以ai表示某个固定收益产品，A为固定收益产品的集合。
A ={a1，a2，a3…，an}
其中n表示固定收益产品集合中产品的个数。对于每个固定收益产品ai，它拥有名字、起始日期、终止日期、利率、风险、规模、时间可分标志和规模可分标志等属性。
2.现金流的表示
以fj表示某个现金流，F为现金流的集合。
F={f1，f2，f3…，fm}
其中m表示现金流的个数。对于每一笔资金fj，它拥有资金的名称、起始日期、终止日期和规模等属性。
3.时间点的表示
以T表示时间点的集合，它是各项固定收益产品和各笔资金开始时间和终止时间的并集。
T={t|t为ai的开始或者终止时间}∪{t|t为fj的开始或者终止时间}
4.投资时段的表示
以P表示投资间段的集合，它是T集合中各个相邻时间点组成的有序实数对集合，每个有序实数对代表一个投资时段。
P={（a，b）|a，b∈T∧b为T集合中所有晚于a时点的最早时点}
5.资金约束
按照上述投资时段的划分，每个时段内投资者最高可投资金额必定不变。因此对于任一时段k属于P，可以用Fk（常数）表示对应时段内的最高可投资金额。
6.折现函数
本文使用参考时点Shibor各时间档次利率作为折现率，借助三次样条插值方法获得折现率曲线，该曲线对应的函数为折现函数。以Payi表示第i笔收益的支付时点，ref表示指定的同一对比参考时点，用函数discount（pay，ref）表示折现函数。
7.投资计划的表示
以S表示投资计划，其中E为非负实数。
S=A×P×Q={（a，p，x）|a∈A∧p∈P∧x∈E}
对于（a，p，x） ∈S，它表示在p时段，持有固定收益产品a的金额为x。本文相应的用xij代表在第j个时段pj持有第i种固定收益产品ai的金额。投资计划为一个由xij组成的矩阵。矩阵的每一行代表某一时段各种固定收益产品的持有情况，矩阵的每一列代表某一固定收益产品在投资期间的持有情况。
x11…xi1
x1j…xij
8.数学模型
根据以上描述和数学符号，可以构建如下模型：
优化目标：
以cij代表第j个时段pj第i种固定收益产品ai的投资收益率。
cij=ai在pj内的收益率×discount（payi，ref）
MAX=∑ni=1∑mk=1cikxik
限制条件：
（1）资金限制
对于任一时段k属于P，所有固定收益产品投资金额之和小于等于对应时段的最高可投资资金。
k∈P ∑ni=1xik≤Fk
若当前时点已持有固定收益产品，只需在将所持固定收益产品在第一个个时段进行初始化，同时相应增加资金限制即可。 （2）固定收益产品交易限制
固定收益产品ai的规模限制。以Li表示固定收益产品ai的规模下限，以Ui表示固定收益产品ai的规模上限。如果Li=0，则固定收益产品ai不允许卖空交易。对于任一时段k属于P，固定收益产品ai的产品投资金额大于等于持有下限，小于等于持有上限。
k∈P Li≤xik≤Ui
以Pi表示被固定收益产品a的起止时间覆盖的投资时段p的集合，对于任一时段k不属于Pi，固定收益产品ai的产品持有金额等于0。
Pi={p|p∈P∧p位于ai的生存期间}
kPi xik=0
如果固定收益产品a时间不可分，那么对于任一时段k属于Pi，固定收益产品a在其起止时段内的投资金额相等。
k∈Pi xik=xik+1=xik+2…=xik+n
如果固定收益产品ai规模不可分，那么对于任一时段k属于Pi，固定收益产品aI在其起止时段内的投资金额等于ai规模上限或者0。Bik是决策变量，它的值为0或者1。
k∈Pi xik=Bik×Ui
如果固定收益产品ai规模可分，但是必须按份购买固定收益产品a，那么对于任一时段k属于Pi，固定收益产品ai在其起止时段内的投资金额等于Nik与F之积。其中Nik为决策变量，它是大于等于零的整数，F为常量，它是固定收益产品ai的票面金额。
k∈Pi xik=Nik×F
（3）风险限制
对于任一时段k属于P，投资于同一债务人或同一行业所发行的固定收益产品集合Z的总额不超过已核定的最高投资限额L。
k∈P ∑zi=1xik≤L
（4）久期限制
tj为投资收益支付或本金兑付时点与参考时点之间的时长。以dij代表第j个时点第i种固定收益产品ai的单位收益的折现或者单位本金的折现。
D=∑ni=1∑mj=1dijxij×tj∑ni=1∑mj=1cijxij
（5）互斥和互补限制
如果固定收益产品ai与aj互斥，那么对于任一时段k属于P，固定收益产品ai与aj的投资金额之积等于零。
k∈P xik×xjk=0
如果固定收益产品ai与aj互补，那么对于任一时段k属于P，固定收益产品ai与aj的投资金额之积大于零或者持有金额的平方的和等于零。
k∈P xik×xjk>0∨x2ik+x2jk=0
四、案例求解及结果分析
为检验本模型的适用性和可操作性，本文在使用现实固定收益产品相关参数的基础上，运用本文提出的模型为下述三种典型的固定收益产品组合制定最优化投资计划。
因本模型须确定每个时段每个产品的投资金额，其结果为时间与产品的交叉矩阵，因此本文借助于运筹学软件Lingo进行求解。另外为了让本模型更贴近实际，增加了许多现实约束条件。为了简单快捷，本文自编了一个Java软件，通过它读取Excel中的相关参数，然后自动输出Lingo软件可以识别和执行的运输模型语句，最后用Lingo软件求解。具体步骤如下：
1.将固定收益产品和资金流相关参数填入Excel。
2.将统一折现时点的Shibor利率填入Excel。
3.将固定收益产品交易规则和交易策略参数填入Excel。
4.使用定制程序读取Excel表中的数据。
5.由定制程序生成LINGO软件的输入语句（核心步骤）。
6.运行LINGO软件求解模型，得到最优化投资计划。
（一） 案例一、时间和金额皆可分固定收益产品集合的投资方案
固定收益产品集合如下表所示：
预计投资收益：
该投资计划的收益折现之后为875.3769。
投资计划分析：
对于由时间和金额皆可分的固定收益产品组成的集合，其最优投资计划算法为：对于每个时间段，选择最高收益率的产品进行投资，如果资金仍有剩余，选择次高收益率的产品进行投资，依次类推。
（二） 案例二、时间和金额皆不可分固定收益产品集合的投资方案
固定收益产品集合如下表所示：
预计投资收益：
该投资计划的收益折现之后为607.3336。
投资计划分析：
对于由时间和金额皆不可分的固定收益产品组成的集合，投资计划必须在重叠的时间冲突中平衡投资时段和固定收益产品的金额和收益率。在此情况下，无通用的最优投资计划算法。
（三） 案例三、各种类型混配的固定收益产品集合的投资方案
固定收益产品集合如下表所示：
预计投资收益：
该投资计划的收益折现之后为704.4016。
投资计划分析：
对于由各种类型混配的固定收益产品组成的集合，使用本模型可得到最优投资计划。证明了本模型对多种类型的固定收益产品的组合投资具有通用性。
通过比较上述三个案例的收益可以很明显的得出：当固定收益产品组成的集合的其他参数不变，只改变产品时间可分和金额可分特性，最优投资计划获得的收益按大小排序为时间和金额皆可分的固定收益产品集合、各种类型混配的固定收益产品集合和金额皆不可分的固定收益产品集合。
五、研究结论
本文根据固定收益产品交易规则，将其分为时间可分和金额可分（时间可分性本质上是流动性的体现），借助于运筹学运输模型，构建了一个数学模型。它可根据投资者现金流、固定收益产品交易规则以及投资策略，定量求解投资计划。本文中三个典型案例证明了该模型具有广泛的适应性和可操作性。同时证明了，对于固定收益产品投资而言，交易规则越少，其价值越高。
目前，投资者和第三方理财机构首要关注固定收益产品的收益率和风险，其次关注宏观经济和利率走势。根据投资者现金流“量身订做”最优化投资计划，提升资金使用效率，以获得最大投资收益尚属空白地带。如果第三方理财机构能够快速的低成本的为私人银行级客户或者大中型企业提供最优化的固定收益产品投资计划，将可以减轻对关系营销和产品让利的依赖，以提供个性化最优投资计划为理财服务的核心竞争力，在更高的层次上与其他机构竞争。
根据本模型的假设，它主要适用于固定收益产品的短期投资。目前使用本模型尚存在两个问题。其一、投资者必须对未来现金流有充分的把握和精确的规划，这在一般企业难以达到；第二，本模型是基于当前时点对未来一段时间进行整体统筹规划。但是目前国内固定收益产品交易市场上远期产品报价较少，市场不太活跃。目前可用两个期限不同的固定收益产品同时进行做多和做空来得到一个远期产品。
参考文献：
[1] Harry Markowitz.Portfolio Selection[J].The Journal of Finance，Vol.7，No.1.（Mar.，1952），pp.77-91.
[2] Kan，Yu.S.，Krasnopol’skaya，A.N..Selection of a Fixed-Income Portfolio[J].Autom Remote Control，2006，no.4，pp.598–605.
[3] Frank J.Fabozzi，Sergio M.Focardi，Petter N.Kolm.Quantitative equity investing：techniques and strategies[M].New York City：John Wiley & Sons，Inc，2010.
[4] 钱颂迪.运筹学[M].北京：清华大学出版社，2005
[5] 袁新生.LINGO和Excel在数学建模中的应用[M].北京：科学出版社，2007.
[6] 赵 建，霍佳震，汪鑫.连续投资过程中的资金规划研究[J].华东经济管理，2013，27（3）：91-95.
关键词：投资决策；定量建模；最优化技术
一、引言
现代投资理论始于马科维茨提出的证券投资组合理论，他第一次把投资理论从定性分析推向定量求解。马科维茨从投资组合的收益率和风险出发，提出了最优投资组合是风险一定情况下的收益最大化或收益一定情况下的风险最小化。该模型解决的是在特定时间内，投资组合内部各种证券的最优份额问题。该组合属于静态最优化投资组合。实际上，在固定收益投资过程中，投资者可用于投资的资金总额不是一成不变的，通常是在随时间变化的资金约束下进行固定收益产品的连续投资，以达到期限错配和收益率最大化的目的。
众多研究人员努力把马科维茨投资组合模型推广到连续投资的实际动态情形，建模时使用的方法包括随机控制方法和随机规划方法。目前连续动态投资组合研究已取得较多研究成果，国外做出突出贡献的主要有Mossin、Li 和 Ng以及 Zhou 和 Li等。国内此类研究成果相对较少，主要有赵建、霍佳震和汪鑫等。
对于具有明确时间起止特征和收益率预期的固定收益产品而言，通过引入和重构运筹学运输模型，可通过规划求解各种约束条件下固定收益产品有效期内各个时段的投资金额，来制定最优化投资计划。该投资计划能够在同时符合投资资金限制、固定收益产品交易规则以及投资策略的前提下使得收益最大化。
二、研究假设
通常情况下投资者对于其现金流的预测局限于一年期以内，因此本文所讨论的固定收益产品主要是指从投资决策时点开始一年以内到期的固定收益产品，主要包括国债、央行票据、商业票据、银行定期存单、政府短期债券、企业债券（信用等级较高）、同业存款等短期有价证券。以上投资标的皆具备两大特性：高安全系数和稳定收益，投资本金和收益的保障程度高。据此本文提出以下假设：
（一）固定收益产品假设
拟投资固定收益产品集合中，每一个产品的起止时间确定，收益率确定。固定收益产品不会出现延期、展期，以及预期收益率低于预期，甚至本金无法兑现的情况。
（二）投资现金流假设
投资者可用于投资的若干笔资金的起止时间确定，金额确定。
（三）投资成本假设
投资成本为必要的固定收益产品交易成本、资金成本以及机会成本之和。由于一般情况下固定收益产品交易成本与投资本金相比较小（有时交易成本为零），因此忽略不计。对于所有的投资计划而言，资金成本和机会成本是一致的。所以本文假设投资成本为常数，投资成本对于最优投资计划的选择无影响。
（四）投资收益兑付假设
1.假设所有固定收益产品均使用附息方式。
固定收益产品的收益兑付方式分为附息方式（主流方式）和贴现方式。在某种程度上，贴现方式也是一种特殊的附息方式。本文假设所有固定收益产品均使用附息方式。
2.假设到期产品收益按预计收益率计算，未到期产品收益按预计收益率及实际持有天数计算。
如果被投资的固定收益产品允许投资者在该产品尚未到期的情况下进行买卖或者兑付，则假设成交（兑付）价格等于投资本金加上投资收益，其中投资收益按实际持有天数及既定收益率计付收益。
3.假设固定收益产品的收益到期立即分配，不参与下一投资时段其它固定收益产品的投资——即不考虑投资收益的再投资问题。
一般情况下由于投资期限短，投资收益与投资本金相比较小，投资收益“再投资”产生的收益更少，一般不会影响整体的投资规划。而若投资收益“再投资”会产生“收益的收益”，如此将会进入一个无法结束的循环。因此本文假设“投资收益不再投资”。如果投资收益的确比较大，以至于可能会影响到投资计划的选择，可以为投资者增加一笔新的现金流以代表投资收益，其期限为从该投资收益兑付开始至本投资规划中所有现金流终止时间中的最晚时间。
（五）折现率假设
由于固定收益产品的收益可能在不同时点兑付，所以本文将所有投资收益折现到同一参考时点。因为固定收益产品主要在银行间市场进行交易，所以本文将Shibor各时间档次利率作为折现率。对于非标准Shibor时间档次的折现率，用三次样条插值法予以解决。
本文三个案例的规划时点为2012年8月1日，因此使用2012年8月1日Shibor数据，其各档次利率如下表所示：
因投资者对不同期限折现率的预期存在差异，在实际使用本模型过程中，投资者可以根据自己对未来的利率预期使用三次样条插值拟合法构建折现率曲线。
三、模型设计
在《连续投资过程中的资金规划研究》一文中，作者对连续投资过程中的资金规划进行了抽象和建模。其通用最优化模型只考虑到了投资项目之间复杂的时间关系，以及投资资金的约束。在固定收益产品连续投资过程中，如果进一步考虑固定收益产品的交易规则和投资人的投资策略，将大大提升模型的实用性。
为了求解各种约束条件下固定收益产品有效期内各个时段的投资金额（即投资计划），本文引入运筹学上的运输模型。运输模型解决的是多个产地和多个仓库之间的运输计划。与此类似，本文解决的是投资期内各个时段在各个固定收益产品上的投资金额。
引起投资计划变化的时间点只有可能是某个固定收益产品的起止时点或者某笔资金的起止时点。根据这个规律，将所有固定收益产品的起止时点和所有资金的起止时点组成一个集合并按先后排序，每相邻的两个时间点为一个投资时段，时段内投资组合不变，只需确定每个时段内每个固定收益产品的数量即可。 （一）优化目标：
最大投资利润
=MAX（投资利润）
=MAX（投资收益–投资成本）
=MAX（投资收益–（交易成本+资金成本+机会成本））
投资利润等于投资收益减去投资成本。投资收益为各笔固定收益产品收益兑付时点向同一个时点折现之和。由于本文假设投资成本为某一常数。所以可将优化目标简化为：
MAX（投资利润）=MAX（各个固定收益产品收益折现）
（二）约束条件：
在追求投资利润最大化的同时，为了贴近实际情况，投资计划必须满足一系列约束条件。
1.资金约束：根据本文假设，各笔投资资金的起止之间确定，金额确定。各笔资金在同一时点的资金可相加，其和为该时点的最大可投资金额。资金约束的含义——对于投资时段内每个时间点，投资方案中固定收益产品投资金额之和小于等于对应时点的最大可投资金额。例如：对于下表中的两笔资金，可以转化成下图中的资金约束图。
2.交易规则约束：
投资者必须依照固定收益产品本身的交易规则进行操作。本文将固定收益产品按照持有时间要求和持有规模要求进行如下划分。
按持有时间进行划分——如果某固定收益产品在持有期内可以自由买卖，而非一定要持有至到期日，则该产品为时间可分的固定收益产品。例如：对于国债和大额可转让定期存单，投资者可以选择持有至到期日，也可以选择提前兑付或者转卖。相反银行定期存款必须持有至到期日，银行才会向投资者支付利息，因此此类产品为时间不可分的固定收益产品。
按持有规模进行划分——如果某固定收益产品可以按份购买，而非全额购买。则该产品为规模可分的固定收益产品。例如：对于国债，投资者可以根据国债票面价格按份购买。相反对于大额央行票据只能全额购买，因此该产品为规模不可分的固定收益产品。
3.投资策略约束：
投资策略包括风险策略、久期策略、固定收益产品之间的互斥或互补策略等等。风险策略有很多种，其中比较常用的一种策略是投资者对同一债务人或同一行业进行最高投资限额控制，以防范风险过度集中。有时投资者为了控制所持有的固定收益产品组合对于利率的敏感性，限制了投资组合的久期。
固定收益产品之间的互斥及互补策略。情况一、固定收益产品之间存在互补关系——即如果投资某一固定收益产品，其互补关系产品也必须投资。该策略适用于风险负相关，需要对冲风险的固定收益产品集合。情况二、固定收益产品之间存在互斥关系——即如果投资某一固定收益产品，其互斥关系产品不允许投资。该策略适用于风险正相关，需要分散风险的固定收益产品集合。
（三）模型中的符号表示及数学公式：
1.固定收益产品的表示
以ai表示某个固定收益产品，A为固定收益产品的集合。
A ={a1，a2，a3…，an}
其中n表示固定收益产品集合中产品的个数。对于每个固定收益产品ai，它拥有名字、起始日期、终止日期、利率、风险、规模、时间可分标志和规模可分标志等属性。
2.现金流的表示
以fj表示某个现金流，F为现金流的集合。
F={f1，f2，f3…，fm}
其中m表示现金流的个数。对于每一笔资金fj，它拥有资金的名称、起始日期、终止日期和规模等属性。
3.时间点的表示
以T表示时间点的集合，它是各项固定收益产品和各笔资金开始时间和终止时间的并集。
T={t|t为ai的开始或者终止时间}∪{t|t为fj的开始或者终止时间}
4.投资时段的表示
以P表示投资间段的集合，它是T集合中各个相邻时间点组成的有序实数对集合，每个有序实数对代表一个投资时段。
P={（a，b）|a，b∈T∧b为T集合中所有晚于a时点的最早时点}
5.资金约束
按照上述投资时段的划分，每个时段内投资者最高可投资金额必定不变。因此对于任一时段k属于P，可以用Fk（常数）表示对应时段内的最高可投资金额。
6.折现函数
本文使用参考时点Shibor各时间档次利率作为折现率，借助三次样条插值方法获得折现率曲线，该曲线对应的函数为折现函数。以Payi表示第i笔收益的支付时点，ref表示指定的同一对比参考时点，用函数discount（pay，ref）表示折现函数。
7.投资计划的表示
以S表示投资计划，其中E为非负实数。
S=A×P×Q={（a，p，x）|a∈A∧p∈P∧x∈E}
对于（a，p，x） ∈S，它表示在p时段，持有固定收益产品a的金额为x。本文相应的用xij代表在第j个时段pj持有第i种固定收益产品ai的金额。投资计划为一个由xij组成的矩阵。矩阵的每一行代表某一时段各种固定收益产品的持有情况，矩阵的每一列代表某一固定收益产品在投资期间的持有情况。
x11…xi1
x1j…xij
8.数学模型
根据以上描述和数学符号，可以构建如下模型：
优化目标：
以cij代表第j个时段pj第i种固定收益产品ai的投资收益率。
cij=ai在pj内的收益率×discount（payi，ref）
MAX=∑ni=1∑mk=1cikxik
限制条件：
（1）资金限制
对于任一时段k属于P，所有固定收益产品投资金额之和小于等于对应时段的最高可投资资金。
k∈P ∑ni=1xik≤Fk
若当前时点已持有固定收益产品，只需在将所持固定收益产品在第一个个时段进行初始化，同时相应增加资金限制即可。 （2）固定收益产品交易限制
固定收益产品ai的规模限制。以Li表示固定收益产品ai的规模下限，以Ui表示固定收益产品ai的规模上限。如果Li=0，则固定收益产品ai不允许卖空交易。对于任一时段k属于P，固定收益产品ai的产品投资金额大于等于持有下限，小于等于持有上限。
k∈P Li≤xik≤Ui
以Pi表示被固定收益产品a的起止时间覆盖的投资时段p的集合，对于任一时段k不属于Pi，固定收益产品ai的产品持有金额等于0。
Pi={p|p∈P∧p位于ai的生存期间}
kPi xik=0
如果固定收益产品a时间不可分，那么对于任一时段k属于Pi，固定收益产品a在其起止时段内的投资金额相等。
k∈Pi xik=xik+1=xik+2…=xik+n
如果固定收益产品ai规模不可分，那么对于任一时段k属于Pi，固定收益产品aI在其起止时段内的投资金额等于ai规模上限或者0。Bik是决策变量，它的值为0或者1。
k∈Pi xik=Bik×Ui
如果固定收益产品ai规模可分，但是必须按份购买固定收益产品a，那么对于任一时段k属于Pi，固定收益产品ai在其起止时段内的投资金额等于Nik与F之积。其中Nik为决策变量，它是大于等于零的整数，F为常量，它是固定收益产品ai的票面金额。
k∈Pi xik=Nik×F
（3）风险限制
对于任一时段k属于P，投资于同一债务人或同一行业所发行的固定收益产品集合Z的总额不超过已核定的最高投资限额L。
k∈P ∑zi=1xik≤L
（4）久期限制
tj为投资收益支付或本金兑付时点与参考时点之间的时长。以dij代表第j个时点第i种固定收益产品ai的单位收益的折现或者单位本金的折现。
D=∑ni=1∑mj=1dijxij×tj∑ni=1∑mj=1cijxij
（5）互斥和互补限制
如果固定收益产品ai与aj互斥，那么对于任一时段k属于P，固定收益产品ai与aj的投资金额之积等于零。
k∈P xik×xjk=0
如果固定收益产品ai与aj互补，那么对于任一时段k属于P，固定收益产品ai与aj的投资金额之积大于零或者持有金额的平方的和等于零。
k∈P xik×xjk>0∨x2ik+x2jk=0
四、案例求解及结果分析
为检验本模型的适用性和可操作性，本文在使用现实固定收益产品相关参数的基础上，运用本文提出的模型为下述三种典型的固定收益产品组合制定最优化投资计划。
因本模型须确定每个时段每个产品的投资金额，其结果为时间与产品的交叉矩阵，因此本文借助于运筹学软件Lingo进行求解。另外为了让本模型更贴近实际，增加了许多现实约束条件。为了简单快捷，本文自编了一个Java软件，通过它读取Excel中的相关参数，然后自动输出Lingo软件可以识别和执行的运输模型语句，最后用Lingo软件求解。具体步骤如下：
1.将固定收益产品和资金流相关参数填入Excel。
2.将统一折现时点的Shibor利率填入Excel。
3.将固定收益产品交易规则和交易策略参数填入Excel。
4.使用定制程序读取Excel表中的数据。
5.由定制程序生成LINGO软件的输入语句（核心步骤）。
6.运行LINGO软件求解模型，得到最优化投资计划。
（一） 案例一、时间和金额皆可分固定收益产品集合的投资方案
固定收益产品集合如下表所示：
预计投资收益：
该投资计划的收益折现之后为875.3769。
投资计划分析：
对于由时间和金额皆可分的固定收益产品组成的集合，其最优投资计划算法为：对于每个时间段，选择最高收益率的产品进行投资，如果资金仍有剩余，选择次高收益率的产品进行投资，依次类推。
（二） 案例二、时间和金额皆不可分固定收益产品集合的投资方案
固定收益产品集合如下表所示：
预计投资收益：
该投资计划的收益折现之后为607.3336。
投资计划分析：
对于由时间和金额皆不可分的固定收益产品组成的集合，投资计划必须在重叠的时间冲突中平衡投资时段和固定收益产品的金额和收益率。在此情况下，无通用的最优投资计划算法。
（三） 案例三、各种类型混配的固定收益产品集合的投资方案
固定收益产品集合如下表所示：
预计投资收益：
该投资计划的收益折现之后为704.4016。
投资计划分析：
对于由各种类型混配的固定收益产品组成的集合，使用本模型可得到最优投资计划。证明了本模型对多种类型的固定收益产品的组合投资具有通用性。
通过比较上述三个案例的收益可以很明显的得出：当固定收益产品组成的集合的其他参数不变，只改变产品时间可分和金额可分特性，最优投资计划获得的收益按大小排序为时间和金额皆可分的固定收益产品集合、各种类型混配的固定收益产品集合和金额皆不可分的固定收益产品集合。
五、研究结论
本文根据固定收益产品交易规则，将其分为时间可分和金额可分（时间可分性本质上是流动性的体现），借助于运筹学运输模型，构建了一个数学模型。它可根据投资者现金流、固定收益产品交易规则以及投资策略，定量求解投资计划。本文中三个典型案例证明了该模型具有广泛的适应性和可操作性。同时证明了，对于固定收益产品投资而言，交易规则越少，其价值越高。
目前，投资者和第三方理财机构首要关注固定收益产品的收益率和风险，其次关注宏观经济和利率走势。根据投资者现金流“量身订做”最优化投资计划，提升资金使用效率，以获得最大投资收益尚属空白地带。如果第三方理财机构能够快速的低成本的为私人银行级客户或者大中型企业提供最优化的固定收益产品投资计划，将可以减轻对关系营销和产品让利的依赖，以提供个性化最优投资计划为理财服务的核心竞争力，在更高的层次上与其他机构竞争。
根据本模型的假设，它主要适用于固定收益产品的短期投资。目前使用本模型尚存在两个问题。其一、投资者必须对未来现金流有充分的把握和精确的规划，这在一般企业难以达到；第二，本模型是基于当前时点对未来一段时间进行整体统筹规划。但是目前国内固定收益产品交易市场上远期产品报价较少，市场不太活跃。目前可用两个期限不同的固定收益产品同时进行做多和做空来得到一个远期产品。
参考文献：
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