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摘 要： 执教《神奇的莫比乌斯带》时，教师既要有现代数学的意识，又要充分考虑学生的接受能力。在教学中，应让学生明白莫比乌斯带的边和普通几何图形的边的区别，并使学生对拓扑学有所了解。教师要试着在学生的心中播下一颗拓扑学的种子，期待有一天这颗种子会在某位学生心里生根发芽，使中国又多一位伟大的拓扑学家。
关键词： 莫比乌斯带 小学数学课堂教学 拓扑学
一、神奇的莫比乌斯带
《神奇的莫比乌斯带》是人教版小学数学四年级上册第77页的内容。不同与一般的数学课，它是一堂数学游戏课。莫比乌斯带是一种拓扑图形，是由德国数学家莫比乌斯在1858年创造的。莫比乌斯带由一张纸条两端粘接而成，只不过，在粘接前把纸条扭转了180°，使得所形成的纸带已不再具有两面，只有单面。一只蜘蛛沿着莫比乌斯带爬，能够爬遍整条带子而无需跨越带的边缘。
莫比乌斯带不同于学生平常数学课上接触到的几何图形，它属于现代数学分支之一拓扑学的研究对象。拓扑学是研究物体在扭曲变形（拉伸或皱缩）下保持不变的那些性质。这对四年级的小学生来说是一种闻所未闻的数学。因此，在执教时，教师既要具有现代数学的意识，又要充分考虑到学生的接受能力。但是，不少数学教师在执教时缺乏现代数学的意识，没有让学生领会到莫比乌斯带与平常数学课学的几何图形的本质区别，整堂数学课游戏味重于数学味。下文中，笔者将从现代数学的视角审视几个课堂教学片断，然后结合学生的接受能力提出教学建议。
二、莫比乌斯带的边和普通几何图形的边
【课堂教学片断一】
教师：这个长方形纸带有几条边？学生：4条。……教师：这个纸圈有几条边？学生：2条。……教师：那这个莫比乌斯带有几条边？学生1：2条。教师：有没有不同意见？学生2：1条。
教师请学生2上台解释为什么莫比乌斯带是1条边。该生回答：“我用笔在莫比乌斯带边的边缘点了一点，然后我从这一点出发，沿着这条边一直走，又回到了这个点。所以莫比乌斯带是1条边。”教师肯定该生的说法，并让全班同学都像这位学生一样用笔或手指沿着莫比乌斯带的边走一圈。
【审视】莫比乌斯带的边和长方形的边、普通纸圈的边一样吗？答案是不一样。但是该教师在没有让学生明白莫比乌斯带的边与普通几何图形的边的区别时，就把“莫比乌斯带只有1条边”这一观点硬塞给了大部分学生。如果不对莫比乌斯带的边和普通几何图形的边加以区别，那么长方形不就变成1条边了吗？因为在长方形的边缘上任取一点，从这点出发，沿着边缘一直走，也会回到这一点。因此，教师有必要向学生讲解莫比乌斯带的边与普通几何图形的边的区别。
【教学建议】教师应该引导或告诉学生莫比乌斯带的边和普通几何图形的边是不同的。普通的几何图形的边，如长方形、正方形等，它们的边是直边；如果是圆、椭圆，那么是曲边。莫比乌斯带的边虽然也是曲边，但它不同于圆和椭圆的曲边。圆和椭圆的曲边能在二维平面内制作出来，而莫比乌斯带的曲边在二维平面内无法制作，只有在三维平面内才能制作出来。在数边的条数时，不管是直边还是曲边，每一条边都必须是光滑的，不能有折角。比如，长方形因为有4个折角，所以是4条边。而圆、椭圆、莫比乌斯带的边都是光滑的、没有折角的，所以是一条边。
三、拓扑学中的几何与欧几里得几何
【课堂教学片断二】
教师：如果我们沿着中间这条1/2线把这个纸圈剪开。猜猜看，会得到什么图形？
学生1：会变成2个莫比乌斯圈。
学生2：会变成2个套在一起的莫比乌斯圈。
……
教师：大家都很有想法。那如何验证呢？学生：剪一剪！教师：是啊，实践出真知！我们一起动手剪一剪吧。剪完后，教师：得到的是什么样的图形？学生：是一个连在一起的圈！
教师：是不是很神奇？学生纷纷表示很神奇。
然后教师让学生猜沿着1/3线剪开会得到什么图形，学生猜想后，验证发现猜想错误，更觉得莫比乌斯带很神奇。接着教师用课件出示“拓扑学”三个字，告诉学生莫比乌斯带属于拓扑学，希望学生以后继续探究。最后，教师让学生欣赏生活中的莫比乌斯带的图片。
【审视】这堂课体现了现代数学中的“数学活动观”思想。但是，教师是否只要让学生在活动中感受到莫比乌斯带很神奇就够了呢？笔者认为数学游戏不仅要让学生体会到数学好玩，而且要让学生对其中的道理有所明了，即使不能让学生完全理解，也应该在学生心中播下一颗数学疑问的种子。试想当年如果没有沈元老师在数学课上播下哥德巴赫猜想这颗疑问的种子，怎么会有后来陈景润摘取数学皇冠上的明珠呢？作为数学教师，我们应该向沈元老师学习，在数学课上给学生播下疑问的种子，启发学生思考。
【教学建议】教师可以简单地给学生讲解一下拓扑学中的几何与欧几里得几何的区别，告诉学生平常接触的几何图形都是属于欧几里得几何，研究的是几何图形的大小、形状等；而拓扑学中的几何是研究物体在扭曲变形（拉伸或皱缩）下保持不变的那些性质。与欧几里得几何不同，拓撲学中的几何不涉及大小、形状和刚体，它研究的是弹性对象，因此人们把拓扑学中的几何称为“橡皮膜上的几何学”。为了让学生更直观地理解这两种几何的区别，教师可以给每个小组发一个橡皮泥做的长方体和一个铁做的长方体，让学生通过看一看、摸一摸、捏一捏，充分体会到拓扑学研究的几何与欧几里得几何研究的几何的不同。这样做，不但让学生感受到数学好玩，而且在学生的心中播下了拓扑学的种子。也许有一天这颗种子会在某位学生心里生根发芽，使中国又多一位伟大的拓扑学家。
此外，在教师告诉学生为什么他们在剪之前的猜想会错误，是因为他们受到了以前学过的几何图形的思维定势的影响，没有用全新的眼光看待莫比乌斯带时，教师还可以对学生做一些情感态度价值观上的引导，让学生明白在看人看事物时要突破思维定势，持有“士别三日当刮目相待”的态度。
参考文献：
[1]关威.扭曲环带的拓扑性质[M].山东：山东科学技术出版社，1990.
[2]姜伯驹.绳圈的数学[M].大连：大连理工大学出版社，2011.
关键词： 莫比乌斯带 小学数学课堂教学 拓扑学
一、神奇的莫比乌斯带
《神奇的莫比乌斯带》是人教版小学数学四年级上册第77页的内容。不同与一般的数学课，它是一堂数学游戏课。莫比乌斯带是一种拓扑图形，是由德国数学家莫比乌斯在1858年创造的。莫比乌斯带由一张纸条两端粘接而成，只不过，在粘接前把纸条扭转了180°，使得所形成的纸带已不再具有两面，只有单面。一只蜘蛛沿着莫比乌斯带爬，能够爬遍整条带子而无需跨越带的边缘。
莫比乌斯带不同于学生平常数学课上接触到的几何图形，它属于现代数学分支之一拓扑学的研究对象。拓扑学是研究物体在扭曲变形（拉伸或皱缩）下保持不变的那些性质。这对四年级的小学生来说是一种闻所未闻的数学。因此，在执教时，教师既要具有现代数学的意识，又要充分考虑到学生的接受能力。但是，不少数学教师在执教时缺乏现代数学的意识，没有让学生领会到莫比乌斯带与平常数学课学的几何图形的本质区别，整堂数学课游戏味重于数学味。下文中，笔者将从现代数学的视角审视几个课堂教学片断，然后结合学生的接受能力提出教学建议。
二、莫比乌斯带的边和普通几何图形的边
【课堂教学片断一】
教师：这个长方形纸带有几条边？学生：4条。……教师：这个纸圈有几条边？学生：2条。……教师：那这个莫比乌斯带有几条边？学生1：2条。教师：有没有不同意见？学生2：1条。
教师请学生2上台解释为什么莫比乌斯带是1条边。该生回答：“我用笔在莫比乌斯带边的边缘点了一点，然后我从这一点出发，沿着这条边一直走，又回到了这个点。所以莫比乌斯带是1条边。”教师肯定该生的说法，并让全班同学都像这位学生一样用笔或手指沿着莫比乌斯带的边走一圈。
【审视】莫比乌斯带的边和长方形的边、普通纸圈的边一样吗？答案是不一样。但是该教师在没有让学生明白莫比乌斯带的边与普通几何图形的边的区别时，就把“莫比乌斯带只有1条边”这一观点硬塞给了大部分学生。如果不对莫比乌斯带的边和普通几何图形的边加以区别，那么长方形不就变成1条边了吗？因为在长方形的边缘上任取一点，从这点出发，沿着边缘一直走，也会回到这一点。因此，教师有必要向学生讲解莫比乌斯带的边与普通几何图形的边的区别。
【教学建议】教师应该引导或告诉学生莫比乌斯带的边和普通几何图形的边是不同的。普通的几何图形的边，如长方形、正方形等，它们的边是直边；如果是圆、椭圆，那么是曲边。莫比乌斯带的边虽然也是曲边，但它不同于圆和椭圆的曲边。圆和椭圆的曲边能在二维平面内制作出来，而莫比乌斯带的曲边在二维平面内无法制作，只有在三维平面内才能制作出来。在数边的条数时，不管是直边还是曲边，每一条边都必须是光滑的，不能有折角。比如，长方形因为有4个折角，所以是4条边。而圆、椭圆、莫比乌斯带的边都是光滑的、没有折角的，所以是一条边。
三、拓扑学中的几何与欧几里得几何
【课堂教学片断二】
教师：如果我们沿着中间这条1/2线把这个纸圈剪开。猜猜看，会得到什么图形？
学生1：会变成2个莫比乌斯圈。
学生2：会变成2个套在一起的莫比乌斯圈。
……
教师：大家都很有想法。那如何验证呢？学生：剪一剪！教师：是啊，实践出真知！我们一起动手剪一剪吧。剪完后，教师：得到的是什么样的图形？学生：是一个连在一起的圈！
教师：是不是很神奇？学生纷纷表示很神奇。
然后教师让学生猜沿着1/3线剪开会得到什么图形，学生猜想后，验证发现猜想错误，更觉得莫比乌斯带很神奇。接着教师用课件出示“拓扑学”三个字，告诉学生莫比乌斯带属于拓扑学，希望学生以后继续探究。最后，教师让学生欣赏生活中的莫比乌斯带的图片。
【审视】这堂课体现了现代数学中的“数学活动观”思想。但是，教师是否只要让学生在活动中感受到莫比乌斯带很神奇就够了呢？笔者认为数学游戏不仅要让学生体会到数学好玩，而且要让学生对其中的道理有所明了，即使不能让学生完全理解，也应该在学生心中播下一颗数学疑问的种子。试想当年如果没有沈元老师在数学课上播下哥德巴赫猜想这颗疑问的种子，怎么会有后来陈景润摘取数学皇冠上的明珠呢？作为数学教师，我们应该向沈元老师学习，在数学课上给学生播下疑问的种子，启发学生思考。
【教学建议】教师可以简单地给学生讲解一下拓扑学中的几何与欧几里得几何的区别，告诉学生平常接触的几何图形都是属于欧几里得几何，研究的是几何图形的大小、形状等；而拓扑学中的几何是研究物体在扭曲变形（拉伸或皱缩）下保持不变的那些性质。与欧几里得几何不同，拓撲学中的几何不涉及大小、形状和刚体，它研究的是弹性对象，因此人们把拓扑学中的几何称为“橡皮膜上的几何学”。为了让学生更直观地理解这两种几何的区别，教师可以给每个小组发一个橡皮泥做的长方体和一个铁做的长方体，让学生通过看一看、摸一摸、捏一捏，充分体会到拓扑学研究的几何与欧几里得几何研究的几何的不同。这样做，不但让学生感受到数学好玩，而且在学生的心中播下了拓扑学的种子。也许有一天这颗种子会在某位学生心里生根发芽，使中国又多一位伟大的拓扑学家。
此外，在教师告诉学生为什么他们在剪之前的猜想会错误，是因为他们受到了以前学过的几何图形的思维定势的影响，没有用全新的眼光看待莫比乌斯带时，教师还可以对学生做一些情感态度价值观上的引导，让学生明白在看人看事物时要突破思维定势，持有“士别三日当刮目相待”的态度。
参考文献：
[1]关威.扭曲环带的拓扑性质[M].山东：山东科学技术出版社，1990.
[2]姜伯驹.绳圈的数学[M].大连：大连理工大学出版社，2011.