数列求和不等式因证明方法多样而成为不等式证明中的难点，证明方法上除考虑数学归纳法外，一般均采用放缩法，对于项构成等差、等比的，直接运用求和公式求和再放缩；而项不构成等差、等比的，可考虑先对项进行适当的放缩。其中有一类基于相邻项的关系，在对项放缩时，采取与数学归纳法相反的推理方式，经有限次循环放缩后，建立an与a1的不等关系，从而构造成与首项相关的等差、等比数列求和式，达到证明的目的。下面举例加以说明。
　　例1 已知函数f（x）= ，x∈（0，+∞），数列{xn}满足xn+1=f（xn），且x1=1
　　（1）设an=|xn- |，证明：an+1　　（2）设（1）中数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn< 。
　　解析：（1）显然xn>0
　　an+1=|xn+1- |=|f（xn）- |= <（ -1）|xn- |<|xn- |=an
　　即an+1　　（2）由（1）知a1= -1，
　　an< -1）|xn-1- |< -1）2|xn-2- |<…< -1）n-1|x1- |=（ -1）n
　　∴Sn=a1+a2+a3+…+an
　　≤（ -1）+（ -1）2+（ -1）3+…+（ -1）n
　　= [1-（ -1）n]
　　< =
　　即Sn<
　　点评：对an放大后，直接得到等比数列，求和后再放大即得所证不等式。
　　例2 已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2-1，n∈N*，记
　　bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：
　　（1）bn+1　　解析：根据前n项和Sn与an的关系，易求得an=2n-1-（2n-1）
　　∴bn= = -
　　（1）用数学归纳法证明：
　　当n=1时，b2-b1= - < ；当n=2时，b3-b2= < ，不等式（1）成立。
　　假设n=k（k∈N*且k≥2）时不等式（1）成立，即
　　bk+1　　则bk+1-bk= < ，故2k-1>2k-3。
　　当n=k+1时，bk+2-bk+1= = < = + ≤ ，
　　即bk+2　　故bn+1　　（2）由（1）知b1=0，
　　bn　　则Tn=b1+b2+b3+…+bn
　　≤b1+（b1+ ）+（b1+ ）+…+（b1+ ）
　　= = n（n-1）
　　∴Tn≤ n（n-1）对一切n∈N*都成立。
　　点评：对于数列{bn}，应用分项求和及错位相减法，可
　　得Tn= + -3，与所证结论差异较大，证明方向不明，
　　借助（1）式放大bn，构成等差数列，直接得到不等式，因此（1）式才是解决问题的关键。
　　例3 已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2；
　　②f（1）=3；③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2
　　（1）求f（0）的值；
　　（2）求f（x）的最大值；
　　（3）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，Sn=-
　　（an-3），n∈N*
　　求证：f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（an）≤ +2n-
　　解析：（1）f（0）=2； （2）f（x）的最大值为3；
　　（3）由Sn= - （an-3），a1=1易求得an= 。
　　依据③有
　　f（an）=f（ ）=f（ + ）≥f（ ）+f（ ）-2≥3f（ ）-4
　　即f（an+1）≤ f（an）+
　　∴f（an）≤ f （an-1）+ ≤ [ f（an-2）+ ]+ = f（an-2）+ + ≤…
　　≤ f（a1）+ + +…+ =2+
　　即f（an）≤2+
　　∴f（a1）+f（a2）+…+f（an）≤（2+ ）+（2+ ）+…+（2+ ）=2n+ = +2n-
　　即f（a1）+f（a2）+…+f（an）≤ +2n-
　　点评：本题易受条件③的影响，将f（a1）+f（a2）+…+f（an）放大成f（a1）+f（a2+a3+…+an）+2（n-2），而f（a2+a3+…+an）=f（ ）≤3，结果不成立，方法失效，而应用有限循环推理，问题便迎刃而解。
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　　收稿日期：2014-10-10