在高中数学教材人教版必修5的58页有12+22+…+n2= 这一公式，但没有给出证明。笔者在这里根据多年的教学经验，将从三个方面给出这一公式的证明。
　　一、 运用数列的中累加法的思想
　　预备知识： 1+2+…+n= 。
　　（n+1）3-n3=3n2+3n+1，依此类推有
　　n3-（n-1）3=3（n-1）2+3（n-1）+1；
　　（n-1）3-（n-2）3=3（n-2）2+3（n-2）+1；
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　　33-23=3×22+3×2+1；
　　23-13=3×12+3×1+1；
　　把上面的所有式子相累加，则有（n+1）3-1=3[n2+（n-1）2+…+12]+3[n+（n-1）+…+1]+n×1。整理有n2+（n-1）2+…+12
　　= - -[ n+（n-1）+…+1]
　　= - = = 。于是公式12+22+…+n2= 得证。
　　二、 运用组合的思想
　　预备知识 = ； + +…+ = ； = 。于是有 + +…+ = ，即22+32…+n2= +n+（n-1）+…+2。等式两边同时加上1有：12+22+…+n2
　　= +n+（n-1）+…+2+1
　　= + =
　　=
　　于是公式12+22+…+n2= 得证。
　　三、 运用数学归纳法的思想
　　证明：（1）当n=1时，左边=1；右边= =1；则左边=右边。命题成立。
　　 （2）假设当n=k时，原命题成立，即12+22+…+k2= 。那么当n=k+1时，12+22+…+k2+（k+1）2= +（k+1）2
　　= = = 。所以当n=k+1时原命题成立。故12+22+…+n2=
　　根据上述思想，还可以推理出立方和公式。