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【摘要】“数形结合思想方法”是研究初中数学问题的一种重要的思想方法。在数学解题中，运用数形结合思想，沟通数与形的内在联系，以数助形、以形助数，不仅可以使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数问题具有了明显的直观性，把问题简单化、具体化，收到事半功倍的教学效果。
【关键词】初中数学 ； 数形结合思想 ；必要性 ； 实践教学
数学思想方法是数学知识的精髓，九年义务教育初中《数学教学大纲》把数学思想方法纳入了基础知识的范畴，成为基础知识。因此数学教师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，重视数学思想方法在解题中的指导作用。
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式，揭示事物数量与形体的本质关系与联系的科学，它的两大研究对象“数”和“形”， 这是数学发展的内在因素。因此，数形结合成为初中数学教学中一种重要的思想方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”这句话体现了“数”与“形”两者不可偏废的辩证唯物主义思想。所谓数形结合的思想方法，指的是把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据解决问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答的思想方法。
初中数学教学中渗透与应用数形结合的思想方法，由数思形、由形想数，使直觉思维与分析思维交错进行，能扬数之长、取形之优，促进代数、几何相互渗透，相互推进，使“数量关系”与“空间形式”相互交融，提高初中数学教学质量，同时，也可以有效地提高学生的思维素质。
本文将结合初中数学教学的现状，就数形结合思想的必要性以及如何运用数形结合的思想解决数学问题来阐述数形结合思想在初中教学中的渗透和应用。
1 数形结合思想的必要性
“数”是指的是数与式，而“形”指的是图形和图像。在初中数学教材中，数的常见表现形式为：实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为：线、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、勾股定理等。学习和掌握这些知识都需要运用数形结合的思想来作为指导方法。例如二次函数，在平面直角坐标系中，二次函数所对应的图像的开口、顶点、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a、b、c密不可分。事实上，数a 决定抛物线的开口方向，b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置，c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化。这就充分体现了数形结合的思想方法。
我们知道，数与形是数学研究的两大基本对象，数形结合的思想方法可以把抽象思维转化为形象思维，揭示数学的本质。而几何本身缺乏严密性，代数本身又缺乏直观性，因此只有将数与形两者有机地结合起来，扬数之长、取数之优，这样才能突破数学思维的局限性，加快数学的发展。
此外，近几年各地的数学中考题都侧重于运用数形结合思想方法来进行解答。所以数学教师有必要在教学过程中就此类问题和学生进行一些探讨，通过考察学生数形结合的思想，检测他们掌握数学基础知识的程度、理解知识的深度及对数学知识的综合运用能力，为提高教学质量、培养学生养成良好的数学思维方式做努力。因此在初中阶段训练学生利用数形结合的思想方法观察、分析问题，以此帮助学生学习抽象的知识，锻炼学生相应的数学思维是非常有必要的。
2 数形结合在初中数学中的实践教学
初中数学教材中数形结合的例子的很多的，从这些例子可以看出，代数和几何虽然有各自不同特点和思考解决问题的方法，然而两者的知识完全有可能，也有必要联系起来，因此数学教师在教学过程中应该以抓好代数、几何的基础知识为前提，有意识地引导学生用数形结合的思想方法分析问题和解决向题。需要特别提出的是，在有关数形结合知识的教授过程中，必须遵循等价转换原则、数形互补原则。
在指导学生学习数学知识、解答数学问题时，数学教师应该着重引导学生做到以下几点：
2.1 以形助数，善于在数中思形，正确构造图形，借助几何图形来反映相应的代数信息。一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数的关系比较抽象，而几何图形又具有直观易懂的特点。因此，在解决代数问题时若能结合问题中的代数关系赋予其几何意义，那么往往就能借助直观形象的几何图形对问题做出透彻分析，从而找到解决问题的途径。所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生都偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果。几何直观运用于代数主要有两个方面：利用几何图形帮助记忆代数公式，如用正方形的分割图可以记忆完全平方公式；利用数轴或坐标系赋予一些代数表达式几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算，如一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与轴的交点。
例：若关于x的方程x2 +2kx+3k=0的两根都在－1和3之间，求k的取值范围。
解析：令f(x)=x2+2kx+3k, ，其图象与x轴的横坐标就是方程f(x)=0 的解．由y=f(x)的图象可知，要使两根都在－1和3之间，只须： f(-1)＞0， f(3)>0， f(-b2a)=f(-k)≤0同时成立，由此即可解得-1＜k≤0或k≤3．其中， f(x)表示x=-1时的函数值。
解：令f(x)=x2+2kx+3k，由题意及
二次函数的图象可知：
f(-1) ＞0
f(3) ＞0
f(-k) ＞0
即 (-1)2+2k(-1)+3k＞0
32+2k•3+3k＞0
(-k)2+2k(-k)+3k≤0
解得： -1＜k≤0或k≥3．
由此可见，解决像一元二次方程等较繁难的问题时，运用图象来解决常常会起到意想不到的效果。
2. 2 以数助形，学会在形中觅数，善于观察图形，找出图形中蕴含的代数关系。如果一个几何问题的条件和结论可以用代数式子表示出来，那么，我们就可以把解决这个问题的过程转化为代数中的演算来完成。以数助形主要包括两个方面：利用数轴、坐标系把几何问题代数化；利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题。
例：已知三角形三边长a、b、c满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0 ，试确定三角形的形状。
解：∵ a2+b2+c2-ab-bc-ac=0
∴ 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
∴ (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
∴a=b，b=c，c=a 即a=b=c
∴此三角形是等边三角形。
所以说，借用代数方法解决问题，思维是比较明确的，易于寻找解题方法，解题过程也较为简便。
在初中数学教学时过程中，教师应该注重运用数形结合思想，根据问题的具体情形，或者把图形问题转化成数量关系来研究，或者把数量关系问题转化成图形性质来探讨，做到以数助形、以形助数，把数学问题简单化、具体化，从而达到优化解题过程的目的，获取预期的教学效果。
【关键词】初中数学 ； 数形结合思想 ；必要性 ； 实践教学
数学思想方法是数学知识的精髓，九年义务教育初中《数学教学大纲》把数学思想方法纳入了基础知识的范畴，成为基础知识。因此数学教师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，重视数学思想方法在解题中的指导作用。
数学是研究现实世界的数量关系和空间形式，揭示事物数量与形体的本质关系与联系的科学，它的两大研究对象“数”和“形”， 这是数学发展的内在因素。因此，数形结合成为初中数学教学中一种重要的思想方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”这句话体现了“数”与“形”两者不可偏废的辩证唯物主义思想。所谓数形结合的思想方法，指的是把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据解决问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答的思想方法。
初中数学教学中渗透与应用数形结合的思想方法，由数思形、由形想数，使直觉思维与分析思维交错进行，能扬数之长、取形之优，促进代数、几何相互渗透，相互推进，使“数量关系”与“空间形式”相互交融，提高初中数学教学质量，同时，也可以有效地提高学生的思维素质。
本文将结合初中数学教学的现状，就数形结合思想的必要性以及如何运用数形结合的思想解决数学问题来阐述数形结合思想在初中教学中的渗透和应用。
1 数形结合思想的必要性
“数”是指的是数与式，而“形”指的是图形和图像。在初中数学教材中，数的常见表现形式为：实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为：线、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、勾股定理等。学习和掌握这些知识都需要运用数形结合的思想来作为指导方法。例如二次函数，在平面直角坐标系中，二次函数所对应的图像的开口、顶点、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a、b、c密不可分。事实上，数a 决定抛物线的开口方向，b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置，c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化。这就充分体现了数形结合的思想方法。
我们知道，数与形是数学研究的两大基本对象，数形结合的思想方法可以把抽象思维转化为形象思维，揭示数学的本质。而几何本身缺乏严密性，代数本身又缺乏直观性，因此只有将数与形两者有机地结合起来，扬数之长、取数之优，这样才能突破数学思维的局限性，加快数学的发展。
此外，近几年各地的数学中考题都侧重于运用数形结合思想方法来进行解答。所以数学教师有必要在教学过程中就此类问题和学生进行一些探讨，通过考察学生数形结合的思想，检测他们掌握数学基础知识的程度、理解知识的深度及对数学知识的综合运用能力，为提高教学质量、培养学生养成良好的数学思维方式做努力。因此在初中阶段训练学生利用数形结合的思想方法观察、分析问题，以此帮助学生学习抽象的知识，锻炼学生相应的数学思维是非常有必要的。
2 数形结合在初中数学中的实践教学
初中数学教材中数形结合的例子的很多的，从这些例子可以看出，代数和几何虽然有各自不同特点和思考解决问题的方法，然而两者的知识完全有可能，也有必要联系起来，因此数学教师在教学过程中应该以抓好代数、几何的基础知识为前提，有意识地引导学生用数形结合的思想方法分析问题和解决向题。需要特别提出的是，在有关数形结合知识的教授过程中，必须遵循等价转换原则、数形互补原则。
在指导学生学习数学知识、解答数学问题时，数学教师应该着重引导学生做到以下几点：
2.1 以形助数，善于在数中思形，正确构造图形，借助几何图形来反映相应的代数信息。一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数的关系比较抽象，而几何图形又具有直观易懂的特点。因此，在解决代数问题时若能结合问题中的代数关系赋予其几何意义，那么往往就能借助直观形象的几何图形对问题做出透彻分析，从而找到解决问题的途径。所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生都偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果。几何直观运用于代数主要有两个方面：利用几何图形帮助记忆代数公式，如用正方形的分割图可以记忆完全平方公式；利用数轴或坐标系赋予一些代数表达式几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算，如一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与轴的交点。
例：若关于x的方程x2 +2kx+3k=0的两根都在－1和3之间，求k的取值范围。
解析：令f(x)=x2+2kx+3k, ，其图象与x轴的横坐标就是方程f(x)=0 的解．由y=f(x)的图象可知，要使两根都在－1和3之间，只须： f(-1)＞0， f(3)>0， f(-b2a)=f(-k)≤0同时成立，由此即可解得-1＜k≤0或k≤3．其中， f(x)表示x=-1时的函数值。
解：令f(x)=x2+2kx+3k，由题意及
二次函数的图象可知：
f(-1) ＞0
f(3) ＞0
f(-k) ＞0
即 (-1)2+2k(-1)+3k＞0
32+2k•3+3k＞0
(-k)2+2k(-k)+3k≤0
解得： -1＜k≤0或k≥3．
由此可见，解决像一元二次方程等较繁难的问题时，运用图象来解决常常会起到意想不到的效果。
2. 2 以数助形，学会在形中觅数，善于观察图形，找出图形中蕴含的代数关系。如果一个几何问题的条件和结论可以用代数式子表示出来，那么，我们就可以把解决这个问题的过程转化为代数中的演算来完成。以数助形主要包括两个方面：利用数轴、坐标系把几何问题代数化；利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题。
例：已知三角形三边长a、b、c满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0 ，试确定三角形的形状。
解：∵ a2+b2+c2-ab-bc-ac=0
∴ 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
∴ (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
∴a=b，b=c，c=a 即a=b=c
∴此三角形是等边三角形。
所以说，借用代数方法解决问题，思维是比较明确的，易于寻找解题方法，解题过程也较为简便。
在初中数学教学时过程中，教师应该注重运用数形结合思想，根据问题的具体情形，或者把图形问题转化成数量关系来研究，或者把数量关系问题转化成图形性质来探讨，做到以数助形、以形助数，把数学问题简单化、具体化，从而达到优化解题过程的目的，获取预期的教学效果。