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【摘要】笔者根据番禺区“研学后教”的理念，探索初中数学解题教学从“两研两教”方面展开：“研学——教师深入研究学情；研学——教师精心设计研探的问题；后教——教师精讲，讲透解题思路的探索过程；后教——引导学生反思提炼。
【关键词】研学后教；解题教学；数学问题
学习数学，自然要学习解题，著名数学教育家波利亚的观点：“数学技能就是解题能力——不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考，判断力，独创性想象力的问题，所以中学数学的首要任务就在于加强解题能力的训练。”
一、研学——教师深入研究学情
美国著名的教育心理学家奥苏伯尔在其论著《教育心理学——认知观点》上写了一句话：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我一言蔽之：影响学习者唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。
案例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
二、研学——教师精心设计研探的问题
在解题教学过程中，教师要依据《课标》精神，研究好近几年广州市学业學业考试题，认真对教材的典型例习题研磨，整合各章节例习题内容，再结合学生的自身实际情况，把数学知识和方法整理归纳，将平时相对独立的知识点串成线，连成片，结成网，精选一批有代表性的问题，将数学知识，思想方法融入其中，在知识的交汇点处设计问题，并且注意难易度，遵循学生思维共性，循序渐进，深入浅出。
案例2：（番禺区2012年第2学期八年级数学期末考题改编）
如图3已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过点A（-1，6）.
（1）求m的值；
（2）在y=的图象上取两点M（x1，y1），N（x2，y2）
若x1 （3）如图，过点A作直线AC与函数
y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=BC，求点B的坐标；
（4）根据函数图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（5）求出直线AC与x轴的交点C和与y轴交点D的坐标；
（6）连结OA，OB，求出△OAB的面积；
（7） 求出原点O到直线AC的距离；
以相同的题目已知条件，以问题串的形式由浅入深层层设置研学问题，（1）旨在复习待定系数法，（2）旨在复习反比例函数的单调性，（3）学习在平面直角坐标系中，求点坐标的方法——如果已知点的横坐标或纵坐标，用代入法，如果横坐标与纵坐标都不知的情况下，过点作坐标轴的垂线，把求点的坐标转化求线段的长度（对初二学生而言，主要的方法是勾股定理，30度角所对的直角边等于写边的一半，中位线定理等），（4）复习数形给合地写出自变量的范围，（5）复习 轴和 轴点坐标特点与求法，（6）平面直角坐标系中图形面积的两种求法（直接法和分割法），（7）复习勾股定理，等面积法求直角三角形边上的高。
三、后教——教师精讲，讲透解题思路的探索过程
罗素（Russell）说过：“凡是你教的东西，要教得透彻；所以在学生先研学的基础上，教师的后教策略应在“精讲”上着力，在“讲透”下功。学生已经理解、掌握的内容不需多讲；学生了解但需不断深化和提高的内容需指导地讲；学生理解不深，掌握不熟练的内容只做稍加点拨的讲；学生不理解的难点需精心的讲。重点是解题思路的探索过程，核心是要教“怎样想”而不是“怎样做”，对学生而言，怎样想”而不是“怎样做”更重要。因为“想”指导“做”，“想”是“做”做的前提，没有“想”好的‘“做”是盲目试误。
案例3：
如图5，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且
DE=BC。
学生不理解的难点：
1.怎样想到要这样作辅助线呢？
2.如何想到用一组对边平行且相等的方法证明 □DBCF
如图5，首先，从问题的目标出发思考，
要证明DE∥BC，且DE=BC，把DE=BC 变形为2DE=BC，就是要证明DE∥BC，且2DE=BC，要证明两线段“平行且相等”的方法我们可以联想到平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等。所以想到构造一个平行四边形，使得2DE和BC能成为同一个平行四边形的一组对边，而2DE怎样得到呢？自然想到中点性质，延长DE到点F，使DE=EF，使得2DE=DF，以DF，BC为一组对边的平行四边形DBCF还需要连结CF，到此，添加的两条辅助线就产生了。
其次，如图7，由辅助线和题目的条件，清楚地呈现出△ADE≌△CFE，再想到全等三角形作用是对应边，对应角相等，联想到AD平行且相等CF。
四、后教——引导学生反思提炼
解题后的回顾与反思，这是“后教”中重要必要的环节。通过解题过程的反思，教师一定要把知识梳理出来，帮助学生形成良好的认知结构，把隐含在解题过程中的数学思想方法显性化，呈现给学生，这些是数学教师的价值，也是责任！因为大多数学生往往是对解题过程中的数学思想方法“看不到”，提炼不出，似懂非懂。经历过这样回顾与反思，方法和经验才能有效迁移，学生问题解决的能力才能有效提高。
案例4：
圆周角定理：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半”的证明
学生常把目标放到解决这个问题上，而不是通过这个问题学习到怎样思考问题，所以教师要引导学生回顾反思，总结与提升：
1.什么情况下对解题进行分类讨论？
如上图，当弧AB确定后，所对圆心角∠AOB就确定，而所对的圆周角∠ACB的位置是不确定的，这是由C点的运动而产生的，同时导致图形的位置也跟着变化，因此对于一些动点问题，不确定问题等解题时往往要分类讨论，有几种位置关系就分几类，有几种可能也分几类。
2.为什么要这样作辅助线（作直经或半径），如何想到的？
学生开始往往是试误地连结AB，或CO，没有明确的思考方向。在图形8得以解决的情况下，面对图9，图10的新的问题情景，新的问题能否转化为已解决的问题呢？用已解决的问题再去解新问题呢？这就是转化的思想方法引导我们探求思路。新图形转化为旧图形，复杂图形转化为简单图形。
图9的转化：
图10的转化：
把末知转化为已知是数学思考的指引，同时在解决圆的问题中，常常要根据圆的对称性作出直径（半径），这是惯用的解题方法。
综上所述，研学后教理念指导下的初中数学教题教学精心设计研学问题，坚持培养学生良好的读题习惯，精讲、讲透解题思路的探索过程，引导学生提炼总结解题过程中数学思想方法，帮助学生形成良好的认知结构，有效地提高学生问题解决的能力。
参考文献：
[1]波利亚.怎样解题[M].上海科技教育出版社，2007，5.
[2]喻平.数学教育心理学[M].北京： 北京师范大学出版社，2010 .
[3]林群.数学[M].人民教育出版社，2007 .
[4]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012.
[5]皮连生.学与教的心理学[M].华东师范大学出版社，2009.
【关键词】研学后教；解题教学；数学问题
学习数学，自然要学习解题，著名数学教育家波利亚的观点：“数学技能就是解题能力——不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考，判断力，独创性想象力的问题，所以中学数学的首要任务就在于加强解题能力的训练。”
一、研学——教师深入研究学情
美国著名的教育心理学家奥苏伯尔在其论著《教育心理学——认知观点》上写了一句话：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我一言蔽之：影响学习者唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。
案例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
二、研学——教师精心设计研探的问题
在解题教学过程中，教师要依据《课标》精神，研究好近几年广州市学业學业考试题，认真对教材的典型例习题研磨，整合各章节例习题内容，再结合学生的自身实际情况，把数学知识和方法整理归纳，将平时相对独立的知识点串成线，连成片，结成网，精选一批有代表性的问题，将数学知识，思想方法融入其中，在知识的交汇点处设计问题，并且注意难易度，遵循学生思维共性，循序渐进，深入浅出。
案例2：（番禺区2012年第2学期八年级数学期末考题改编）
如图3已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过点A（-1，6）.
（1）求m的值；
（2）在y=的图象上取两点M（x1，y1），N（x2，y2）
若x1
y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=BC，求点B的坐标；
（4）根据函数图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（5）求出直线AC与x轴的交点C和与y轴交点D的坐标；
（6）连结OA，OB，求出△OAB的面积；
（7） 求出原点O到直线AC的距离；
以相同的题目已知条件，以问题串的形式由浅入深层层设置研学问题，（1）旨在复习待定系数法，（2）旨在复习反比例函数的单调性，（3）学习在平面直角坐标系中，求点坐标的方法——如果已知点的横坐标或纵坐标，用代入法，如果横坐标与纵坐标都不知的情况下，过点作坐标轴的垂线，把求点的坐标转化求线段的长度（对初二学生而言，主要的方法是勾股定理，30度角所对的直角边等于写边的一半，中位线定理等），（4）复习数形给合地写出自变量的范围，（5）复习 轴和 轴点坐标特点与求法，（6）平面直角坐标系中图形面积的两种求法（直接法和分割法），（7）复习勾股定理，等面积法求直角三角形边上的高。
三、后教——教师精讲，讲透解题思路的探索过程
罗素（Russell）说过：“凡是你教的东西，要教得透彻；所以在学生先研学的基础上，教师的后教策略应在“精讲”上着力，在“讲透”下功。学生已经理解、掌握的内容不需多讲；学生了解但需不断深化和提高的内容需指导地讲；学生理解不深，掌握不熟练的内容只做稍加点拨的讲；学生不理解的难点需精心的讲。重点是解题思路的探索过程，核心是要教“怎样想”而不是“怎样做”，对学生而言，怎样想”而不是“怎样做”更重要。因为“想”指导“做”，“想”是“做”做的前提，没有“想”好的‘“做”是盲目试误。
案例3：
如图5，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且
DE=BC。
学生不理解的难点：
1.怎样想到要这样作辅助线呢？
2.如何想到用一组对边平行且相等的方法证明 □DBCF
如图5，首先，从问题的目标出发思考，
要证明DE∥BC，且DE=BC，把DE=BC 变形为2DE=BC，就是要证明DE∥BC，且2DE=BC，要证明两线段“平行且相等”的方法我们可以联想到平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等。所以想到构造一个平行四边形，使得2DE和BC能成为同一个平行四边形的一组对边，而2DE怎样得到呢？自然想到中点性质，延长DE到点F，使DE=EF，使得2DE=DF，以DF，BC为一组对边的平行四边形DBCF还需要连结CF，到此，添加的两条辅助线就产生了。
其次，如图7，由辅助线和题目的条件，清楚地呈现出△ADE≌△CFE，再想到全等三角形作用是对应边，对应角相等，联想到AD平行且相等CF。
四、后教——引导学生反思提炼
解题后的回顾与反思，这是“后教”中重要必要的环节。通过解题过程的反思，教师一定要把知识梳理出来，帮助学生形成良好的认知结构，把隐含在解题过程中的数学思想方法显性化，呈现给学生，这些是数学教师的价值，也是责任！因为大多数学生往往是对解题过程中的数学思想方法“看不到”，提炼不出，似懂非懂。经历过这样回顾与反思，方法和经验才能有效迁移，学生问题解决的能力才能有效提高。
案例4：
圆周角定理：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半”的证明
学生常把目标放到解决这个问题上，而不是通过这个问题学习到怎样思考问题，所以教师要引导学生回顾反思，总结与提升：
1.什么情况下对解题进行分类讨论？
如上图，当弧AB确定后，所对圆心角∠AOB就确定，而所对的圆周角∠ACB的位置是不确定的，这是由C点的运动而产生的，同时导致图形的位置也跟着变化，因此对于一些动点问题，不确定问题等解题时往往要分类讨论，有几种位置关系就分几类，有几种可能也分几类。
2.为什么要这样作辅助线（作直经或半径），如何想到的？
学生开始往往是试误地连结AB，或CO，没有明确的思考方向。在图形8得以解决的情况下，面对图9，图10的新的问题情景，新的问题能否转化为已解决的问题呢？用已解决的问题再去解新问题呢？这就是转化的思想方法引导我们探求思路。新图形转化为旧图形，复杂图形转化为简单图形。
图9的转化：
图10的转化：
把末知转化为已知是数学思考的指引，同时在解决圆的问题中，常常要根据圆的对称性作出直径（半径），这是惯用的解题方法。
综上所述，研学后教理念指导下的初中数学教题教学精心设计研学问题，坚持培养学生良好的读题习惯，精讲、讲透解题思路的探索过程，引导学生提炼总结解题过程中数学思想方法，帮助学生形成良好的认知结构，有效地提高学生问题解决的能力。
参考文献：
[1]波利亚.怎样解题[M].上海科技教育出版社，2007，5.
[2]喻平.数学教育心理学[M].北京： 北京师范大学出版社，2010 .
[3]林群.数学[M].人民教育出版社，2007 .
[4]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012.
[5]皮连生.学与教的心理学[M].华东师范大学出版社，2009.