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【摘要】数学中考复习教学是初中教学的一个重要环节，从历年的复习情况看，仍有相当一批教师复习思路不清，方法不当，导致效果不明显.笔者结合多年初三教学经验，总结出数学中考复习应研究试题，提炼出典型模型、结论、方法，形成解题经验的模块与网络，提升复习的效益.
【关键词】数学中考复习；典型模型；典型结论；典型方法
中考试题都是经过命题专家在课标、教材的指引下精心设计的，只有深入其中去思考、去体会、去研究，才会发现其引导功能和教学价值，进而加深对课标和教材的理解，使教师的教学工作游刃有余.
初三复习教学中不妨多提炼一些解题的典型模型、典型结论经、典型方法，取一些易懂、易记的名字，形成模块，织成一张大网，覆盖问题的核心，达到以不变应万变.
一、追“本”溯源模型拓展
“以教材为根本”一直是中考数学命题的一大特色.最短问题同样在教材上有着明确的例题或影子，中考中形式各异的考题一般都是从教材出发，再加以引申和改编.
例1已知，如图1，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA的距离之和最小.
解析如图2，作M关于直线OB的对称点M1，作M1Q⊥OA，交OB于点P，则点P为所求点，连接PM，此时PM PQ为最小.
教材原型探究“造桥选址”：如图3，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥EF，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
解析如图4，过点A作直线垂直于河边，在直线上截取AC等于桥长，然后，连接CB交河边于点F，最后，过点F作FE垂直于河边.则EF即为所求的架设桥的地点.分析出“AE BF”转化为“CF FB”，从而实现了问题的求解.
例2已知，如图5，∠MON=30°，A为OM上一点，OA=5，D为ON上一点，OD=12，C为射线AM上任意一点，B为线段OD上任意一点，求拆线AB-BC-CD的长度的最小值.
解析如图6，作点D关于OM的对称点D′，作点A关于ON的对称点A′，连接A′D′，分别交OM、ON于点C、B，则拆线长最小值为AB BC CD=A′B BC CD′=A′D′.在直角三角形A′OD′中，∠A′OD′=90°，OD′=12，OA′=5，所以A′D′=13，即折线AB-BC-CD的长度的最小值为13.
教材原型探究“将军饮马”：
如图7，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？
解析如图8作点A关于河岸的对称点A1，连接A1B，交河岸于P点，边接AP，则AP PB就是最短路径.很显然“AP PB”最小转化为“A1P PB”最小，利用“两点之间线段最短”.
通过教材原型探究可以让学生充分认识到“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”是最短问题的核心依据；充分掌握“平移、旋转、翻折”等基本方法；熟练运用“作图、计算、推理”等基本手段，而且让学生明白了知识的真谛，成就了解题的大智慧.
二、且做且思提炼结论
数学学习的最终目标是“随机而发”，从而使解题变得快速而精确，充满穿透力.提炼“基本结论”是解题高效的最好保障.当学生学会自觉地反思、推进、提炼的时候，解题将会充满乐趣.
例3如图9，在平面直角坐标系中，已知点A（6，0），B（0，6），动点C在半径为3的⊙O上，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积最大值.
解析如图10，因为△OAB为等腰直角三角形，所以AB=2OA=62.当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大.
过O点作OD⊥AB于D，OD的反向延長线交⊙O于C，此时点C到AB的距离最大.OD=1〖〗2AB=32，所以CD=OC OD=3 32.
△ABC的面积为12AB·CD=12×62×（3 32）=92 18.
提炼结论如图11，直线l与⊙O相离，线段OP⊥l，垂足为P，交⊙O于点M，PO的延长线交⊙O于点N，则⊙O上各点到直线l的距离中，最小距离是PM，最大距离是PN.
例4如图12，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为.
解析如图13，连接OP，OQ.由PQ是⊙O的切线，得QO⊥PQ.由勾股定理，得PQ=OP2-OQ2.因为OQ=3，是定值，所以当OP最小时，线段PQ最小，即当PO⊥AB时，线段PQ最短.
在Rt△AOB中，OA=OB=32，所以AB=2OA=6，OP=OA·OB AB=3.
所以PQ=OP2-OQ2=32-12=22.即PQ的最小值为22.
提炼结论直线l与半径为r的⊙O相离，圆心O到直线l的距离为d，点P为直线l上任一点，PA与⊙O相切于点A，则PA的最小值是d2-r2.
显然，有了这些结论的提炼，解题方向更加明确，并且可以借鉴这些结论举一反三，触类旁通，轻松解决同一类型的数学问题.基本结论无穷尽，常做有心人，且思且提炼.
三、舍繁求简优化方法
教学过程中既要关注方法的多样化，又对方法进行优化，那么教学效果定能明显提高.通过方法比较，使学生从多个角度思考问题，形成多样化的问题解决意识，又帮助学生舍繁求简，归纳提炼了思考问题的基本方法和途径.
例5如图14，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE⊥BC，DF⊥AC，则EF的最小值是.
方法优化如图15，连接CD，由题设可知四边形FDEC为矩形，则CD=EF，故EF的最小值可转化为求CD的最小值，所以当CD⊥AB时，CD最小，利用“等积法”易求出此时CD的最小值为4.8. 例6如图16，△ABC中，AB=7，BC=8，AC=9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，求DE的长.
3.方法优化如图17，连接BI，CI，因为⊙I为△ABC的内切圆，所以∠DBI=∠CBI.因为DE∥BC，所以∠DBI=∠IBC，∠DBI=∠DIB，所以DI=DB.同理IE=EC，所以DE=DI IE=DB EC.所以△ADE的周长=AD DE AE=AD DB CE AE=AB AC=16.因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.所以C△
例7如图18，已知四边形ABCD为直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求直角梯形ABCD的面积.
解法如图19，作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别M，N.
设AB=m，PM=x，PN=y，
则x2 y2=4，x2 （m-y）2=1，（m-x）2-y2=9， 解得m2=5±22.由题设取m2=5 22，
方法优化如图20，将△APB绕点B顺时针旋转90°得△CBE.连接PE，则△PBE为等腰直角三角形，∠PEB=45°，所以PE2=BP2 BE2=8，EC2=1.所以PE2 CE2=9=PC2，故∠PEC=90°，∠BEC=135°，作BF⊥CE交CE延长线于点F，则∠BEF=45°，
一个好的解题方法，一定有方法常用、思路常见、运算简洁等特征，以上三個例题的优化方法正是如此，不仅大大简化了运算过程，解题中所涉及的知识与方法都是平时学习中经常出现，反复用到了.通过这种对比，能够激发学生主动探索的欲望，从不同的角度去研究一个题目的解法，寻找更有价值的解题方法，从而大大提升自身的数学水平和解题能力.
初三复习教学中，如果复习思路不清，方法不当，学生负担就会过重，总体效果也不明显，所以复习中应关注基础，构建模块，突出专题，提炼典型模型、典型结论、典型方法才能在复习中提高学生，才能提高复习效率.
【参考文献】
[1]范建兵.追“本”溯源，品味“最短问题”[J].中学数学（下），2014（6）：94-96.
[2]田传弟.聚焦中考热点之圆中的几何最值问题[J].中学数学（下），2014（8）：81-82.
【关键词】数学中考复习；典型模型；典型结论；典型方法
中考试题都是经过命题专家在课标、教材的指引下精心设计的，只有深入其中去思考、去体会、去研究，才会发现其引导功能和教学价值，进而加深对课标和教材的理解，使教师的教学工作游刃有余.
初三复习教学中不妨多提炼一些解题的典型模型、典型结论经、典型方法，取一些易懂、易记的名字，形成模块，织成一张大网，覆盖问题的核心，达到以不变应万变.
一、追“本”溯源模型拓展
“以教材为根本”一直是中考数学命题的一大特色.最短问题同样在教材上有着明确的例题或影子，中考中形式各异的考题一般都是从教材出发，再加以引申和改编.
例1已知，如图1，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA的距离之和最小.
解析如图2，作M关于直线OB的对称点M1，作M1Q⊥OA，交OB于点P，则点P为所求点，连接PM，此时PM PQ为最小.
教材原型探究“造桥选址”：如图3，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥EF，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
解析如图4，过点A作直线垂直于河边，在直线上截取AC等于桥长，然后，连接CB交河边于点F，最后，过点F作FE垂直于河边.则EF即为所求的架设桥的地点.分析出“AE BF”转化为“CF FB”，从而实现了问题的求解.
例2已知，如图5，∠MON=30°，A为OM上一点，OA=5，D为ON上一点，OD=12，C为射线AM上任意一点，B为线段OD上任意一点，求拆线AB-BC-CD的长度的最小值.
解析如图6，作点D关于OM的对称点D′，作点A关于ON的对称点A′，连接A′D′，分别交OM、ON于点C、B，则拆线长最小值为AB BC CD=A′B BC CD′=A′D′.在直角三角形A′OD′中，∠A′OD′=90°，OD′=12，OA′=5，所以A′D′=13，即折线AB-BC-CD的长度的最小值为13.
教材原型探究“将军饮马”：
如图7，将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？
解析如图8作点A关于河岸的对称点A1，连接A1B，交河岸于P点，边接AP，则AP PB就是最短路径.很显然“AP PB”最小转化为“A1P PB”最小，利用“两点之间线段最短”.
通过教材原型探究可以让学生充分认识到“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”是最短问题的核心依据；充分掌握“平移、旋转、翻折”等基本方法；熟练运用“作图、计算、推理”等基本手段，而且让学生明白了知识的真谛，成就了解题的大智慧.
二、且做且思提炼结论
数学学习的最终目标是“随机而发”，从而使解题变得快速而精确，充满穿透力.提炼“基本结论”是解题高效的最好保障.当学生学会自觉地反思、推进、提炼的时候，解题将会充满乐趣.
例3如图9，在平面直角坐标系中，已知点A（6，0），B（0，6），动点C在半径为3的⊙O上，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积最大值.
解析如图10，因为△OAB为等腰直角三角形，所以AB=2OA=62.当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大.
过O点作OD⊥AB于D，OD的反向延長线交⊙O于C，此时点C到AB的距离最大.OD=1〖〗2AB=32，所以CD=OC OD=3 32.
△ABC的面积为12AB·CD=12×62×（3 32）=92 18.
提炼结论如图11，直线l与⊙O相离，线段OP⊥l，垂足为P，交⊙O于点M，PO的延长线交⊙O于点N，则⊙O上各点到直线l的距离中，最小距离是PM，最大距离是PN.
例4如图12，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为.
解析如图13，连接OP，OQ.由PQ是⊙O的切线，得QO⊥PQ.由勾股定理，得PQ=OP2-OQ2.因为OQ=3，是定值，所以当OP最小时，线段PQ最小，即当PO⊥AB时，线段PQ最短.
在Rt△AOB中，OA=OB=32，所以AB=2OA=6，OP=OA·OB AB=3.
所以PQ=OP2-OQ2=32-12=22.即PQ的最小值为22.
提炼结论直线l与半径为r的⊙O相离，圆心O到直线l的距离为d，点P为直线l上任一点，PA与⊙O相切于点A，则PA的最小值是d2-r2.
显然，有了这些结论的提炼，解题方向更加明确，并且可以借鉴这些结论举一反三，触类旁通，轻松解决同一类型的数学问题.基本结论无穷尽，常做有心人，且思且提炼.
三、舍繁求简优化方法
教学过程中既要关注方法的多样化，又对方法进行优化，那么教学效果定能明显提高.通过方法比较，使学生从多个角度思考问题，形成多样化的问题解决意识，又帮助学生舍繁求简，归纳提炼了思考问题的基本方法和途径.
例5如图14，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE⊥BC，DF⊥AC，则EF的最小值是.
方法优化如图15，连接CD，由题设可知四边形FDEC为矩形，则CD=EF，故EF的最小值可转化为求CD的最小值，所以当CD⊥AB时，CD最小，利用“等积法”易求出此时CD的最小值为4.8. 例6如图16，△ABC中，AB=7，BC=8，AC=9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，求DE的长.
3.方法优化如图17，连接BI，CI，因为⊙I为△ABC的内切圆，所以∠DBI=∠CBI.因为DE∥BC，所以∠DBI=∠IBC，∠DBI=∠DIB，所以DI=DB.同理IE=EC，所以DE=DI IE=DB EC.所以△ADE的周长=AD DE AE=AD DB CE AE=AB AC=16.因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.所以C△
例7如图18，已知四边形ABCD为直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求直角梯形ABCD的面积.
解法如图19，作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别M，N.
设AB=m，PM=x，PN=y，
则x2 y2=4，x2 （m-y）2=1，（m-x）2-y2=9， 解得m2=5±22.由题设取m2=5 22，
方法优化如图20，将△APB绕点B顺时针旋转90°得△CBE.连接PE，则△PBE为等腰直角三角形，∠PEB=45°，所以PE2=BP2 BE2=8，EC2=1.所以PE2 CE2=9=PC2，故∠PEC=90°，∠BEC=135°，作BF⊥CE交CE延长线于点F，则∠BEF=45°，
一个好的解题方法，一定有方法常用、思路常见、运算简洁等特征，以上三個例题的优化方法正是如此，不仅大大简化了运算过程，解题中所涉及的知识与方法都是平时学习中经常出现，反复用到了.通过这种对比，能够激发学生主动探索的欲望，从不同的角度去研究一个题目的解法，寻找更有价值的解题方法，从而大大提升自身的数学水平和解题能力.
初三复习教学中，如果复习思路不清，方法不当，学生负担就会过重，总体效果也不明显，所以复习中应关注基础，构建模块，突出专题，提炼典型模型、典型结论、典型方法才能在复习中提高学生，才能提高复习效率.
【参考文献】
[1]范建兵.追“本”溯源，品味“最短问题”[J].中学数学（下），2014（6）：94-96.
[2]田传弟.聚焦中考热点之圆中的几何最值问题[J].中学数学（下），2014（8）：81-82.