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点、线段、角规律探索问题在中考中时常出现，这类题目的解决，要灵活运用基础知识，通过观察、分析、比较、概括、归纳、判断得出结论.
例1 如图1，A、B、C、D为4个不在同一条直线上的村庄，现在政府要建立一个中转站P，向4个村庄铺设天然气管道，中转站P建在什么位置最节省管道？
分析 要做到最节省管道，就要使中转站P到4个点的线段和最小，此时中转站P既要在线段AC上，也要在线段BD上.就应该在线段AC与BD的交点位置.
解：连接AC、BD交于点P，满足PA+PB+PC+PD最小，P点就是中转站的位置.如图2所示.
例2 （2007年贵州省贵阳市中考试题）如图3所示，平面内有公共端点的6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7…
（1） “17”在射线________上；
（2） 请任意写出3条射线上数字的排列规律；
（3） “2007”在哪条射线上？
分析 射线OA上的数字依次是1、7、13、19…这些数字都是比6的整数倍小5的数，即6n-5（n是正整数）；射线OB上的数字依次是2、8、14、20…这些数字都是比6的整数倍小4的数，即6n-4；同理，OC、OD、OE、OF上的数字分别是6n-3、6n-2、6n-1、6n，以上n均为正整数.
解：（1） 17比6的3倍少1，因此，“17”在射线OE上；
（2） 射线OA上数字的排列规律：6n-5；射线OB上数字的排列规律：6n-4；射线OC上数字的排列规律：6n-3；射线OD上数字的排列规律：6n-2；射线OE上数字的排列规律：6n-1；射线OF上数字的排列规律：6n（n为正整数）.
（3） 在6条射线所呈现的规律中，只有6n-3=2 007有整数解，解得：n=335，故“2 007”在射线OC上.
变式一 （2011年广东省肇庆市中考试题）如图4所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是________.
分析 第一个图形有3条边，每条边上1个点，则3×1＝（1+2）×1＝3个点；
第二个图形有4条边，每条边上2个点，则4×2＝（2+2）×2＝8个点；
第三个图形有5条边，每条边上3个点，则5×3＝（3+2）×3＝15个点；
……
第n个图形（n+2）边，每条边上n个点，共n（n+2）个点.
例4 如图5，在∠AOD（∠AOD为小于平角的角）内部作两条射线OB、OC，以点O为端点的4条射线OA、OB、OC、OD中的两条射线为边组成的角有多少个？如图6，在∠AOD（∠AOD为小于平角的角）内部作3条射线OB、OC、OG，这5条射线组成多少个角呢？n条射线呢？
解：按顺时针方向，以OA为边的角有3个，以OB为边的角有2个，以OC为边的角有1个，共有3+2+1=6（个）.
若共有5条射线，则有4+3+2+1=10个角……若有n 条射线，则有■个角.
点评 数几何图形的个数，必须做到不重、不漏，可以按一定的顺序去数，如按方向（从左到右、从上到下、按顺时针、按逆时针等）去数.
例5 一条直线分平面成2个部分，2条直线分平面成3个部分或4个部分，3条直线分平面成4个部分、6个部分或7个部分，n条直线最多可将平面分成几部分？
分析 ① n=1时，2＝■；
② n=2时，4＝■；
③ n=3时，7＝■.
n条直线最多可将平面分成■个部分.
例1 如图1，A、B、C、D为4个不在同一条直线上的村庄，现在政府要建立一个中转站P，向4个村庄铺设天然气管道，中转站P建在什么位置最节省管道？
分析 要做到最节省管道，就要使中转站P到4个点的线段和最小，此时中转站P既要在线段AC上，也要在线段BD上.就应该在线段AC与BD的交点位置.
解：连接AC、BD交于点P，满足PA+PB+PC+PD最小，P点就是中转站的位置.如图2所示.
例2 （2007年贵州省贵阳市中考试题）如图3所示，平面内有公共端点的6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7…
（1） “17”在射线________上；
（2） 请任意写出3条射线上数字的排列规律；
（3） “2007”在哪条射线上？
分析 射线OA上的数字依次是1、7、13、19…这些数字都是比6的整数倍小5的数，即6n-5（n是正整数）；射线OB上的数字依次是2、8、14、20…这些数字都是比6的整数倍小4的数，即6n-4；同理，OC、OD、OE、OF上的数字分别是6n-3、6n-2、6n-1、6n，以上n均为正整数.
解：（1） 17比6的3倍少1，因此，“17”在射线OE上；
（2） 射线OA上数字的排列规律：6n-5；射线OB上数字的排列规律：6n-4；射线OC上数字的排列规律：6n-3；射线OD上数字的排列规律：6n-2；射线OE上数字的排列规律：6n-1；射线OF上数字的排列规律：6n（n为正整数）.
（3） 在6条射线所呈现的规律中，只有6n-3=2 007有整数解，解得：n=335，故“2 007”在射线OC上.
变式一 （2011年广东省肇庆市中考试题）如图4所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是________.
分析 第一个图形有3条边，每条边上1个点，则3×1＝（1+2）×1＝3个点；
第二个图形有4条边，每条边上2个点，则4×2＝（2+2）×2＝8个点；
第三个图形有5条边，每条边上3个点，则5×3＝（3+2）×3＝15个点；
……
第n个图形（n+2）边，每条边上n个点，共n（n+2）个点.
例4 如图5，在∠AOD（∠AOD为小于平角的角）内部作两条射线OB、OC，以点O为端点的4条射线OA、OB、OC、OD中的两条射线为边组成的角有多少个？如图6，在∠AOD（∠AOD为小于平角的角）内部作3条射线OB、OC、OG，这5条射线组成多少个角呢？n条射线呢？
解：按顺时针方向，以OA为边的角有3个，以OB为边的角有2个，以OC为边的角有1个，共有3+2+1=6（个）.
若共有5条射线，则有4+3+2+1=10个角……若有n 条射线，则有■个角.
点评 数几何图形的个数，必须做到不重、不漏，可以按一定的顺序去数，如按方向（从左到右、从上到下、按顺时针、按逆时针等）去数.
例5 一条直线分平面成2个部分，2条直线分平面成3个部分或4个部分，3条直线分平面成4个部分、6个部分或7个部分，n条直线最多可将平面分成几部分？
分析 ① n=1时，2＝■；
② n=2时，4＝■；
③ n=3时，7＝■.
n条直线最多可将平面分成■个部分.