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摘要：高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法.经过对高中数学的学习，对一些数学知识有一定的了解，后来通过对大学数学的学习，有了更深一层的认识，且知道了高中数学与大学数学的有关问题的联系与区别.
关键词：导数；极限；不等式；联系.
1 导数的应用
导数是研究函数的工具，利用导数来研究函数的性质问题.可以比较容易地得到结果或找到解题的方向。
1.1 导数的单调性
定理1.1 设函数 在 上连续，在 内可导
如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；
如果在 内 ，那么函数 在 上单调减少.
例1-1 确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解法一：设 是 上的任意两个实数，且 ，则
由 得
要使 ，则 .
于是 .
即 时， 是增函数； 时， 是减函数.
解法二：
令 解得 ；因此，当 时， 是增函数.
再令 ，解得 ，因此，当 时， 是减函数.
经过对两种方法的对比，我发现大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回来看一下高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一些弊端.
1.2 利用导数可求出某些曲线的切线
例1-2求椭圆 上任意一点 处的切线方程.
解法一：设切线方程为
将切线方程代入椭圆方程，令判别式 ，解得 .
所以切线方程 ，化简得 .
解法二：由 ，得 .
从而 .
所以 .
切线方程 ，化简得 .
通过解法一和解法二的对比，我发现某些曲线的切线用初等方法计算很麻烦，甚至求不出来，利用导数求曲线的切线既简捷又明了，可以达到事半功倍的效果.
2 极限的应用
学习极限是从一个“有限”到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极
限问题是认识和解决问题的需要.
2.1 数列极限
高中我们给出了数列极限的概念：
如果当项数 无限增大时，无穷数列 的项 无限地趋近于某个常数 （即 无限地趋近于0），那么就说数列 以 为极限.或者说 是数列 的极限.
数学分析里也给出了数列极限的概念：
定义2.1 设 为数列， 为有限常数，若对 总存在正整数 ，使得当 时，有
则称数列 收敛于 ， 是数列的极限.并记作 ，或 .若数列 没有极限，则称 不收敛或称 为发散数列.
中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称 定义）来证明高中数列极限中所用的结论.
例2-1 证明 （ 均为常数，且 ）
在中学，我们直观地知道，当 时， 这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的 定义来证明这个结论的正确性.
证明 由 有 即
对 ，则当 时，有
.
即
利用 定义，同样可以证明在中学常用的数列极限的四则运算法则.
例2-2 若数列 与 都收敛，则和数列 也收敛，且
.
证明 设 与 .根据数列极限的定义，即
有
有
同时有
与
于是， 有
即
在高中，我们就已经开始接触了数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也将越显灵活.
2.2函数极限
与数列极限一样，中学同样给出了 无限地趋于 时的函数极限定义.即：
如果函数 无限趋于一个常数 ，就说当 趋于 时，函数 的极限是 ，记作
也可记作
当 时，
也叫做函数 在点 处的极限.
但中学课本给出的函数极限定义，只是一种定性的解释，并没有给出精确的量的刻画和描述.因此，我们只能根据定义，证明某一个常数是不是某一个函数的极限.
当 趋于 时函数极限的精确定义：
定义2.2 设函数 在点 的某一去心领域内有定义.如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式
那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作
或 （当 ）.
由于 趋于 时，有两个方向，大学数学还给出了单侧极限的定义，单侧极限是讨论函数在某一点事否连续的重要定理，这里不做过多的论述.
当 趋于 时，函数极限精确定义：
定义2.3 设函数 当 大于某一正数时有定义.如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在着正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式
那么常数 就叫做函数 （当 时）的极限，记作
或 （当 ）.
函数极限所具有的性质与数列极限极为相似，与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论： 运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.
例2-5 求 的值.
解
令 当 时，即
故
中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型，即 但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则，其解答过程显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法.这使某些问题的解决更简便快捷.
例2-6 求 的值.
我们先用中学的方法来求解：
解 =
这是中学最基本的求解极限的方法.当所给函数是连续函数时，先将复杂的分式通过因式分解的方法，化为最简分式后.利用函数的连续性将数值代入得到答案.而站在大学的角度，当 时，所给分式的分子分母分别趋近于 ，可以运用洛必达法则求解.
运用洛必达法则，有：
此题似乎没有体现洛必达法则的优越性，但下面一题就可以看出，洛必达法则在解决一些复杂的问题时，显得极其方便简单.
例2-7 求 的值.
在中学，我们可以这样求解
解 原式
现在用洛必达法则解答，可以比较一下：
解 由于当 时， 故是 型
用洛必达法则有
在中学，关于数列极限与函数极限的讨论，我们基本上都是分开来讨论的，并没有特别强调其间的关系.但在大学，证明一些数列极限问题，我们往往可以将数列问题先转化为函数问题，使问题快速得到解答.
3 不等式
不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别.不等式在解决优化问题中有广泛应用，也是学习高等数学的重要基础. 不等式的内容体现了数学思想的精深.不等式的性质贯穿于不等式的证明，求解和实际应用.充分理解不等式的性质是学习不等式的关键. 不等式作为中学教学内容，大体可以分为四个部分：一、不等式的概念与性质；二、解不等式；三、不等式的证明；四、不等式的应用.大学虽然没有专门介绍不等式，但不等式的应用，特别是几个常见的有关不等式的定理的应用，在整个大学数学几乎随处可见.
3.1 不等式的证明
不等式的证明、方法灵活多变，有时要用多种方法，并且不等式的证明常和函数联系，这体现了数学素质的要求.在中学，我们所学的不等式证明所用的最基本的方法主要有比较法、分析法、综合法、归纳法以及放缩法、换元法、反证法、判别式法等.某些不等式，我们虽然可以用中学的知识解答，但是用大学所学的某些知识来解答，我们会发现明显简单的多.
定理3.1 （拉格朗日（Lagrange））中值定理：若函数 满足如下条件：
在闭区间 上连续；
在开区间 内可导.
则在开区间 内至少存在一点 ，使得
例3-1 证明：当 时，不等式 在 时成立.
在中学，我们可以用作差法来证明此题.这里不再证明.下面我们就用大学所学的拉格朗日中值定理来证明此题.
证明 设 则 当 时，对 在区间 上应用拉格朗日中值定理有
其中 因为 时， 所以
.
故有
运用精确的定义对高中的某些结论进行证明，也就让我们从只是纯粹地接受结论上升为自主地去探讨结论的正确性，这本身就是在认识上的一个质的飞跃.而且大学的证明方法更简便快捷，使我们一目了然.
3.2解不等式
不等式的解法在中学我们就已经介绍了很多.在大学我们在解不等式时基本上也是沿用中学学过的方法.但是在解决一些问题时，为了快捷解答问题，我们还引进了一些新方法.
定理3.2 （介值定理）设函数 在闭区间 上连续，且 若 为介于 与 之间的任何实数（ 或 ），则至少存在一点 使得
例2-3 解不等式
在中学，我们可以用常规解不等式的方法求解此题，过程如下：
解 不等式的定义域为
对于不等式
通过移项，去根号，合并同类项，整理得：
解不等式，得不等式的解集为
下面我们再用介值定理求解不等式，并对这两种方法进行比较.
解 不等式的定义域为 方程
在 内有两个根， 由此可得三个小区间
设
取
因为
故原不等式的解集为
这两种方法各有千秋.常规法适用于次数比较低，未知数少，过程及结果简单的不等式.而介值定理，除可以证明一般不等式，更适用于证明某些抽象的定义，定理及其一些常用不等式结论.
初等数学与高等数学有机地紧密结合着，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.
通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握. 尽管我的水平还很有限，但通过这次训练，我有很大的进步，并且大大地激发了我的学习热情.
参考文献：
[1] 同济大学应用数学系主编.高等数学（第五版 上册）.北京：高等教育出版社，2002.
[2]数学分析讲义. 上册/刘玉琏等编. —5版.—北京：高等教育出版社.2008.5
[3]全日制普通高级中学教科书（必修）数学 第一册（上）人民教育出版社中学数学室 编著
[4]洪毅.数学分析[M].广东：华南理工大学出版社，2003.
[5]张文琦.浅谈中学数学与大学数学的衔接[J].山西农业大学文理院，2010，1（25）：111-114.
关键词：导数；极限；不等式；联系.
1 导数的应用
导数是研究函数的工具，利用导数来研究函数的性质问题.可以比较容易地得到结果或找到解题的方向。
1.1 导数的单调性
定理1.1 设函数 在 上连续，在 内可导
如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；
如果在 内 ，那么函数 在 上单调减少.
例1-1 确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解法一：设 是 上的任意两个实数，且 ，则
由 得
要使 ，则 .
于是 .
即 时， 是增函数； 时， 是减函数.
解法二：
令 解得 ；因此，当 时， 是增函数.
再令 ，解得 ，因此，当 时， 是减函数.
经过对两种方法的对比，我发现大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回来看一下高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一些弊端.
1.2 利用导数可求出某些曲线的切线
例1-2求椭圆 上任意一点 处的切线方程.
解法一：设切线方程为
将切线方程代入椭圆方程，令判别式 ，解得 .
所以切线方程 ，化简得 .
解法二：由 ，得 .
从而 .
所以 .
切线方程 ，化简得 .
通过解法一和解法二的对比，我发现某些曲线的切线用初等方法计算很麻烦，甚至求不出来，利用导数求曲线的切线既简捷又明了，可以达到事半功倍的效果.
2 极限的应用
学习极限是从一个“有限”到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极
限问题是认识和解决问题的需要.
2.1 数列极限
高中我们给出了数列极限的概念：
如果当项数 无限增大时，无穷数列 的项 无限地趋近于某个常数 （即 无限地趋近于0），那么就说数列 以 为极限.或者说 是数列 的极限.
数学分析里也给出了数列极限的概念：
定义2.1 设 为数列， 为有限常数，若对 总存在正整数 ，使得当 时，有
则称数列 收敛于 ， 是数列的极限.并记作 ，或 .若数列 没有极限，则称 不收敛或称 为发散数列.
中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称 定义）来证明高中数列极限中所用的结论.
例2-1 证明 （ 均为常数，且 ）
在中学，我们直观地知道，当 时， 这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的 定义来证明这个结论的正确性.
证明 由 有 即
对 ，则当 时，有
.
即
利用 定义，同样可以证明在中学常用的数列极限的四则运算法则.
例2-2 若数列 与 都收敛，则和数列 也收敛，且
.
证明 设 与 .根据数列极限的定义，即
有
有
同时有
与
于是， 有
即
在高中，我们就已经开始接触了数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也将越显灵活.
2.2函数极限
与数列极限一样，中学同样给出了 无限地趋于 时的函数极限定义.即：
如果函数 无限趋于一个常数 ，就说当 趋于 时，函数 的极限是 ，记作
也可记作
当 时，
也叫做函数 在点 处的极限.
但中学课本给出的函数极限定义，只是一种定性的解释，并没有给出精确的量的刻画和描述.因此，我们只能根据定义，证明某一个常数是不是某一个函数的极限.
当 趋于 时函数极限的精确定义：
定义2.2 设函数 在点 的某一去心领域内有定义.如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式
那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作
或 （当 ）.
由于 趋于 时，有两个方向，大学数学还给出了单侧极限的定义，单侧极限是讨论函数在某一点事否连续的重要定理，这里不做过多的论述.
当 趋于 时，函数极限精确定义：
定义2.3 设函数 当 大于某一正数时有定义.如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在着正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式
那么常数 就叫做函数 （当 时）的极限，记作
或 （当 ）.
函数极限所具有的性质与数列极限极为相似，与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论： 运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.
例2-5 求 的值.
解
令 当 时，即
故
中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型，即 但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则，其解答过程显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法.这使某些问题的解决更简便快捷.
例2-6 求 的值.
我们先用中学的方法来求解：
解 =
这是中学最基本的求解极限的方法.当所给函数是连续函数时，先将复杂的分式通过因式分解的方法，化为最简分式后.利用函数的连续性将数值代入得到答案.而站在大学的角度，当 时，所给分式的分子分母分别趋近于 ，可以运用洛必达法则求解.
运用洛必达法则，有：
此题似乎没有体现洛必达法则的优越性，但下面一题就可以看出，洛必达法则在解决一些复杂的问题时，显得极其方便简单.
例2-7 求 的值.
在中学，我们可以这样求解
解 原式
现在用洛必达法则解答，可以比较一下：
解 由于当 时， 故是 型
用洛必达法则有
在中学，关于数列极限与函数极限的讨论，我们基本上都是分开来讨论的，并没有特别强调其间的关系.但在大学，证明一些数列极限问题，我们往往可以将数列问题先转化为函数问题，使问题快速得到解答.
3 不等式
不等式是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别.不等式在解决优化问题中有广泛应用，也是学习高等数学的重要基础. 不等式的内容体现了数学思想的精深.不等式的性质贯穿于不等式的证明，求解和实际应用.充分理解不等式的性质是学习不等式的关键. 不等式作为中学教学内容，大体可以分为四个部分：一、不等式的概念与性质；二、解不等式；三、不等式的证明；四、不等式的应用.大学虽然没有专门介绍不等式，但不等式的应用，特别是几个常见的有关不等式的定理的应用，在整个大学数学几乎随处可见.
3.1 不等式的证明
不等式的证明、方法灵活多变，有时要用多种方法，并且不等式的证明常和函数联系，这体现了数学素质的要求.在中学，我们所学的不等式证明所用的最基本的方法主要有比较法、分析法、综合法、归纳法以及放缩法、换元法、反证法、判别式法等.某些不等式，我们虽然可以用中学的知识解答，但是用大学所学的某些知识来解答，我们会发现明显简单的多.
定理3.1 （拉格朗日（Lagrange））中值定理：若函数 满足如下条件：
在闭区间 上连续；
在开区间 内可导.
则在开区间 内至少存在一点 ，使得
例3-1 证明：当 时，不等式 在 时成立.
在中学，我们可以用作差法来证明此题.这里不再证明.下面我们就用大学所学的拉格朗日中值定理来证明此题.
证明 设 则 当 时，对 在区间 上应用拉格朗日中值定理有
其中 因为 时， 所以
.
故有
运用精确的定义对高中的某些结论进行证明，也就让我们从只是纯粹地接受结论上升为自主地去探讨结论的正确性，这本身就是在认识上的一个质的飞跃.而且大学的证明方法更简便快捷，使我们一目了然.
3.2解不等式
不等式的解法在中学我们就已经介绍了很多.在大学我们在解不等式时基本上也是沿用中学学过的方法.但是在解决一些问题时，为了快捷解答问题，我们还引进了一些新方法.
定理3.2 （介值定理）设函数 在闭区间 上连续，且 若 为介于 与 之间的任何实数（ 或 ），则至少存在一点 使得
例2-3 解不等式
在中学，我们可以用常规解不等式的方法求解此题，过程如下：
解 不等式的定义域为
对于不等式
通过移项，去根号，合并同类项，整理得：
解不等式，得不等式的解集为
下面我们再用介值定理求解不等式，并对这两种方法进行比较.
解 不等式的定义域为 方程
在 内有两个根， 由此可得三个小区间
设
取
因为
故原不等式的解集为
这两种方法各有千秋.常规法适用于次数比较低，未知数少，过程及结果简单的不等式.而介值定理，除可以证明一般不等式，更适用于证明某些抽象的定义，定理及其一些常用不等式结论.
初等数学与高等数学有机地紧密结合着，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.
通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握. 尽管我的水平还很有限，但通过这次训练，我有很大的进步，并且大大地激发了我的学习热情.
参考文献：
[1] 同济大学应用数学系主编.高等数学（第五版 上册）.北京：高等教育出版社，2002.
[2]数学分析讲义. 上册/刘玉琏等编. —5版.—北京：高等教育出版社.2008.5
[3]全日制普通高级中学教科书（必修）数学 第一册（上）人民教育出版社中学数学室 编著
[4]洪毅.数学分析[M].广东：华南理工大学出版社，2003.
[5]张文琦.浅谈中学数学与大学数学的衔接[J].山西农业大学文理院，2010，1（25）：111-114.