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摘 要：通过对区间直觉模糊数的隶属区间和非隶属区间进行讨论，本文将反映决策者风险倾向的参数引入隶属区间和非隶属区间，构造出含决策者风险倾向参数的新得分函数，进而提出了区间直觉模糊数的新排序指标。本文借助于偏导数、单调性等微分方法，对新得分函数的性质进行证明，从而说明新得分函数作为排序指标的可行性。
关键词：区间直觉模糊数;风险参数;排序指标
中图分类号：C934 文献标识码：A
1 绪论
区间直觉模糊集的概念最早是由Atanassov和Gargov[1]提出的，由于其在反映事物的不确定性方面更加精确，排序区间直觉模糊数的方法也成为学者研究的主题。文献[2]探讨了区间直觉模糊数的距离公式，在此基础上提出了基于TOPSIS的区间直觉模糊决策方法。文献[3]将排序直觉模糊集的方法推广到区间直觉模糊集中。
文献[4]利用得分函数和精确函数排序区间直觉模糊数。文献[56]研究了排序区间直觉模糊的排序指标。本文在此基础上，结合文献定义的Vague集得分函数，将决策者的风险倾向考虑进得分函数，提出新的得分函数，在此基础上提出了排序区间直觉模糊数的新方法。本文借助于偏导函数、单调性等微分方法对新得分函数性质进行证明，说明该方法在排序区间直觉模糊数上的可行性。
2 区间直觉模糊集的定义
定义2.1[1]设A～=〈x，μ～A～（x），υ～A～（x）〉x∈X，称A～为区间直觉模糊集，其中X是一个非空集合，μ～A～（x）为元素x属于A～的隶属度区间，υ～A～（x）为x属于A～的非隶属度区间，且μ～A～（x）[0，1]，υ～A～（x）[0，1]，supμ～A～（x）+sup υ～A～（x）
1，x∈X。
定义2.2[4]设α～=（[a，b]，[c，d]），称α～为区间直觉模糊数，πα～=[1-b-d，1-a-c]为区间直觉模糊数的犹豫区间，则α～∈A～。
定义2.3[4]设α～1=（[a1，b1]，[c1，d1]），α～2=（[a2，b2]，[c2，d2]）为两个区间直觉模糊数，则：
（1）α～1∩α～2=（[min{a1，a2}，min{b1，b2}]，[max{c1，c2}，max{d1，d2}]）;
（2）α～1∪α～2=（[max{a1，a2}，max{b1，b2}]，[min{c1，c2}，min{d1，d2}]）;
（3）α～1α～2=（[a1+a2-a1a2，b1+b2-b1b2]，[c1c2，d1d2]）;
（4）a～1a～2=（[a1a2，b1b2]，[c1+c2-c1c2，d1+d2-d1d2]）;
（5）λα～1=（[1-（1-a1）λ，1-（1-b1）λ]，[（c1）λ，（d1）λ]），λ>0;
（6）a～1λ=（[（a1）λ，（b1）λ]，[1-（1-c1）λ，1-（1-d1）λ]），λ>0。
定義2.4[4]设α～j=（[aj，bj]，[cj，dj]）（j=1，2，…，n）为n个区间直觉模糊数，IIFWA：Θn→Θ，若IIFWAω（α～1，α～2，…，α～n）=ω1α～1ω2α～2…ωnα～n，其中ω=（ω1，ω2，…，ωn）T为α～j（j=1，2，…，n）的权重，这里ωj∈[0，1]，（j=1，2，…，n），∑nj=1ωj=1，则区间直觉模糊加权平均算子记为：
IIFWAω（α～1，α～2，…，α～n）
=1-∏nj=1（1-aj）ωj，1-∏nj=1（1-bj）ωj，∏nj=1（cj）ωj，∏nj=1（dj）ωj（1）
3 区间直觉模糊数得分函数
对于区间直觉模糊数α～1=（[a1，b1]，[c1，d1]）和α～2=（[a2，b2]，[c2，d2]），如果a1a2，b1b2，c1
d2，则α～1α～2;α～1=α～2 a1=a2，b1=b2，c1=c2，d1=d2。
定义3.1[4]设α～=（[a，b]，[c，d]）为区间直觉模糊数，则
S（α～）=12（a-c+b-d）（2）
h（α～）=12（a+b+c+d）（3）
分别为区间直觉模糊数α～的得分函数和精确函数，S（α～）∈[-1，1]，h（α～）∈[0，1]，并且S（α～）越大，α～越优。
在定义3.1的基础上，文献[4]提出了排序方法：
定义3.2[4]设α～1和α～2为区间直觉模糊数，则
（1）若S（α～1）<S（α～2），则α～1<α～2; （2）若S（α～1）>S（α～2），则α～1>α～2;
（3）若S（α～1）=S（α～2），则：
①若h（α～1）<h（α～2），则α～1<α～2;
②若h（α～1）>h（α～2），则α～1>α～2;
③若h（α～1）=h（α～2），则α～1～α～2。
该方法从客观的角度来定义，忽视了决策者的主观意愿对决策结果的影响。一般情况下，决策结果会受决策者自身风险倾向的影响，本文将表达决策者意愿的参数考虑进得分函数，提出新的排序区间直觉模糊排序指标，如下：
定义3.3设α～=（[a，b]，[c，d]）为区间直觉模糊数，[a，b][0，1]，[c，d][0，1]，且b+d
1，则α～的新得分函数为：
Hλ（α～）=Tλ（uα～）-Tλ（vα～）（4）
其中：
Tλ（uα～）=a+λ（b-a），Tλ（vα～）=c+（1-λ）（d-c）
Tλ（uα～）∈[0，1]，Tλ（vα～）∈[0，1]，λ∈[0，1]
公式（4）进一步可化为：
Hλ（α～）=a-d+λ（b+d-a-c）（5）
λ∈[0，1]，λ反映了决策者的风险偏好，当0
λ<12时，决策者为保守型决策者;当λ=12时，决策者为中立型决策者;当12<λ
1时，决策者是冒险型决策者。
4 新得分函数的性质
新定义的得分函数具有如下性质：
定理4.1設α～=（[a，b]，[c，d]）为区间直觉模糊数，Hλ（α～）为新得分函数，则：
对任意的λ∈[0，1]，都有：
（1）-1Hλ（α～）
1;
（2）Hλ（α～）=1的充要条件是α～=（[1，1]，[0，0]）;
（3）Hλ（α～）=-1的充要条件是α～=（[0，0]，[1，1]）。
证明：（1）对于Hλ（α～）=Tλ（uα～）-Tλ（vα～）
因为0
d2，则有Hλ（α～）Hλ（β～）。
定理4.3设α～=（[a1，b1]，[c1，d1]）和β～=（[a2，b2]，[c2，d2]）为两个区间直觉模糊数，对任意的λ∈[0，1]，若α～=β～，则Hλ（α～）=Hλ（β～）。
证明：若α～=β～，则a1=a2，b1=b2，c1=c2，d1=d2，由于Hλ（α～）=a-d+λ（b+d-a-c），故Hλ（α～）=Hλ（β～）。
5 结语
本文对区间直觉模糊数的运算法则、集成算子和排序指标做了介绍，由于现有的排序指标忽视了决策者的主观态度对决策结果的影响，本文提出了反映决策者风险倾向的新得分函数。借助于偏导数、单调性等微分方法对新得分函数的性质进行证明，从而说明了新得分函数作为排序指标的可行性。
参考文献：
[1]Atanassov K，Gargov G.Intervalvalued intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1989，31：343349.
[2]胡辉，徐泽水.基于TOPSIS的区间直觉模糊多属性决策方法[J].模糊系统与数学，2007，21（5）：14.
[3]王坚强.信息不完全确定的多准则区间直觉模糊决策方法[J].控制与决策，2006，21（11）：12531256.
[4]徐泽水.区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应用[J].控制与决策，2007，22（2）：215219.
[5]Wang C Y，Chen S M.An improved multiattribute decision making method based on new score function of intervalvalued intuitionistic fuzzy values and linear programming methodology[J].Inf Sci，2017，411：176184.
[6]Wang C Y，Chen S M.A new multiple attribute decision making method based on linear programming methodology and novel score function and novel accuracy function of intervalvalued intuitionistic fuzzy values[J].Inf Sci，2018，438：145155.
基金项目：广西大学行健文理学院科研基金项目（Y2018ZKT01）;2021年度广西高校中青年教师科研基础能力提升项目：2021KY1563
作者简介：牛利利（1986— ），女，河南洛阳人，硕士，研究方向：模糊优化与决策。
关键词：区间直觉模糊数;风险参数;排序指标
中图分类号：C934 文献标识码：A
1 绪论
区间直觉模糊集的概念最早是由Atanassov和Gargov[1]提出的，由于其在反映事物的不确定性方面更加精确，排序区间直觉模糊数的方法也成为学者研究的主题。文献[2]探讨了区间直觉模糊数的距离公式，在此基础上提出了基于TOPSIS的区间直觉模糊决策方法。文献[3]将排序直觉模糊集的方法推广到区间直觉模糊集中。
文献[4]利用得分函数和精确函数排序区间直觉模糊数。文献[56]研究了排序区间直觉模糊的排序指标。本文在此基础上，结合文献定义的Vague集得分函数，将决策者的风险倾向考虑进得分函数，提出新的得分函数，在此基础上提出了排序区间直觉模糊数的新方法。本文借助于偏导函数、单调性等微分方法对新得分函数性质进行证明，说明该方法在排序区间直觉模糊数上的可行性。
2 区间直觉模糊集的定义
定义2.1[1]设A～=〈x，μ～A～（x），υ～A～（x）〉x∈X，称A～为区间直觉模糊集，其中X是一个非空集合，μ～A～（x）为元素x属于A～的隶属度区间，υ～A～（x）为x属于A～的非隶属度区间，且μ～A～（x）[0，1]，υ～A～（x）[0，1]，supμ～A～（x）+sup υ～A～（x）
1，x∈X。
定义2.2[4]设α～=（[a，b]，[c，d]），称α～为区间直觉模糊数，πα～=[1-b-d，1-a-c]为区间直觉模糊数的犹豫区间，则α～∈A～。
定义2.3[4]设α～1=（[a1，b1]，[c1，d1]），α～2=（[a2，b2]，[c2，d2]）为两个区间直觉模糊数，则：
（1）α～1∩α～2=（[min{a1，a2}，min{b1，b2}]，[max{c1，c2}，max{d1，d2}]）;
（2）α～1∪α～2=（[max{a1，a2}，max{b1，b2}]，[min{c1，c2}，min{d1，d2}]）;
（3）α～1α～2=（[a1+a2-a1a2，b1+b2-b1b2]，[c1c2，d1d2]）;
（4）a～1a～2=（[a1a2，b1b2]，[c1+c2-c1c2，d1+d2-d1d2]）;
（5）λα～1=（[1-（1-a1）λ，1-（1-b1）λ]，[（c1）λ，（d1）λ]），λ>0;
（6）a～1λ=（[（a1）λ，（b1）λ]，[1-（1-c1）λ，1-（1-d1）λ]），λ>0。
定義2.4[4]设α～j=（[aj，bj]，[cj，dj]）（j=1，2，…，n）为n个区间直觉模糊数，IIFWA：Θn→Θ，若IIFWAω（α～1，α～2，…，α～n）=ω1α～1ω2α～2…ωnα～n，其中ω=（ω1，ω2，…，ωn）T为α～j（j=1，2，…，n）的权重，这里ωj∈[0，1]，（j=1，2，…，n），∑nj=1ωj=1，则区间直觉模糊加权平均算子记为：
IIFWAω（α～1，α～2，…，α～n）
=1-∏nj=1（1-aj）ωj，1-∏nj=1（1-bj）ωj，∏nj=1（cj）ωj，∏nj=1（dj）ωj（1）
3 区间直觉模糊数得分函数
对于区间直觉模糊数α～1=（[a1，b1]，[c1，d1]）和α～2=（[a2，b2]，[c2，d2]），如果a1a2，b1b2，c1
d2，则α～1α～2;α～1=α～2 a1=a2，b1=b2，c1=c2，d1=d2。
定义3.1[4]设α～=（[a，b]，[c，d]）为区间直觉模糊数，则
S（α～）=12（a-c+b-d）（2）
h（α～）=12（a+b+c+d）（3）
分别为区间直觉模糊数α～的得分函数和精确函数，S（α～）∈[-1，1]，h（α～）∈[0，1]，并且S（α～）越大，α～越优。
在定义3.1的基础上，文献[4]提出了排序方法：
定义3.2[4]设α～1和α～2为区间直觉模糊数，则
（1）若S（α～1）<S（α～2），则α～1<α～2; （2）若S（α～1）>S（α～2），则α～1>α～2;
（3）若S（α～1）=S（α～2），则：
①若h（α～1）<h（α～2），则α～1<α～2;
②若h（α～1）>h（α～2），则α～1>α～2;
③若h（α～1）=h（α～2），则α～1～α～2。
该方法从客观的角度来定义，忽视了决策者的主观意愿对决策结果的影响。一般情况下，决策结果会受决策者自身风险倾向的影响，本文将表达决策者意愿的参数考虑进得分函数，提出新的排序区间直觉模糊排序指标，如下：
定义3.3设α～=（[a，b]，[c，d]）为区间直觉模糊数，[a，b][0，1]，[c，d][0，1]，且b+d
1，则α～的新得分函数为：
Hλ（α～）=Tλ（uα～）-Tλ（vα～）（4）
其中：
Tλ（uα～）=a+λ（b-a），Tλ（vα～）=c+（1-λ）（d-c）
Tλ（uα～）∈[0，1]，Tλ（vα～）∈[0，1]，λ∈[0，1]
公式（4）进一步可化为：
Hλ（α～）=a-d+λ（b+d-a-c）（5）
λ∈[0，1]，λ反映了决策者的风险偏好，当0
λ<12时，决策者为保守型决策者;当λ=12时，决策者为中立型决策者;当12<λ
1时，决策者是冒险型决策者。
4 新得分函数的性质
新定义的得分函数具有如下性质：
定理4.1設α～=（[a，b]，[c，d]）为区间直觉模糊数，Hλ（α～）为新得分函数，则：
对任意的λ∈[0，1]，都有：
（1）-1Hλ（α～）
1;
（2）Hλ（α～）=1的充要条件是α～=（[1，1]，[0，0]）;
（3）Hλ（α～）=-1的充要条件是α～=（[0，0]，[1，1]）。
证明：（1）对于Hλ（α～）=Tλ（uα～）-Tλ（vα～）
因为0
d2，则有Hλ（α～）Hλ（β～）。
定理4.3设α～=（[a1，b1]，[c1，d1]）和β～=（[a2，b2]，[c2，d2]）为两个区间直觉模糊数，对任意的λ∈[0，1]，若α～=β～，则Hλ（α～）=Hλ（β～）。
证明：若α～=β～，则a1=a2，b1=b2，c1=c2，d1=d2，由于Hλ（α～）=a-d+λ（b+d-a-c），故Hλ（α～）=Hλ（β～）。
5 结语
本文对区间直觉模糊数的运算法则、集成算子和排序指标做了介绍，由于现有的排序指标忽视了决策者的主观态度对决策结果的影响，本文提出了反映决策者风险倾向的新得分函数。借助于偏导数、单调性等微分方法对新得分函数的性质进行证明，从而说明了新得分函数作为排序指标的可行性。
参考文献：
[1]Atanassov K，Gargov G.Intervalvalued intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1989，31：343349.
[2]胡辉，徐泽水.基于TOPSIS的区间直觉模糊多属性决策方法[J].模糊系统与数学，2007，21（5）：14.
[3]王坚强.信息不完全确定的多准则区间直觉模糊决策方法[J].控制与决策，2006，21（11）：12531256.
[4]徐泽水.区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应用[J].控制与决策，2007，22（2）：215219.
[5]Wang C Y，Chen S M.An improved multiattribute decision making method based on new score function of intervalvalued intuitionistic fuzzy values and linear programming methodology[J].Inf Sci，2017，411：176184.
[6]Wang C Y，Chen S M.A new multiple attribute decision making method based on linear programming methodology and novel score function and novel accuracy function of intervalvalued intuitionistic fuzzy values[J].Inf Sci，2018，438：145155.
基金项目：广西大学行健文理学院科研基金项目（Y2018ZKT01）;2021年度广西高校中青年教师科研基础能力提升项目：2021KY1563
作者简介：牛利利（1986— ），女，河南洛阳人，硕士，研究方向：模糊优化与决策。