[摘要]在大学物理课的教学中,由界面反射形成驻波的问题是一个教学难点.本文在导出界面反射波方程的基础上,重点介绍了如何用旋转矢量法得到一般的驻波方程,并对结果进行了讨论.理论分析和计算结果表明,驻波问题可以用旋转矢量法得到很好的描述.
　　[关键词]驻波 旋转矢量 物理教学
　　
　　在一般的大学物理教程中,将驻波定义为在无限大介质中沿相反方向传播的两列等振幅的相干波的叠加.驻波没有振动状态的传播,也没有相位的依次滞后.设y1和y2是两列振幅相同的相干波,则[1]
　　(1)
　　
　　(2)
　　对于这种情况, 叠加而成的驻波方程为
　　
　　(3)
　　其中w=2πν.从(3)式可以看出驻波的以下几个特点:(1)由于方程不含 ，所以驻波不同于行波,它没有传播过程;(2)有些点振幅为零,称为波节(node)有些点振幅最大,称为波腹(antinode),波节和波腹的距离为λ/4，相邻波节和或相邻波腹之间的距离为λ/2;(3)没有能量的定向传播。能量只是在波节和波腹之间，进行动能和势能的转化;(4)相邻两个波节间各点的振动相位相同,同一节点两侧各点的振动相位相反.
　　但实际上并不存在无界介质,一般的入射波都是由入射波和从界面处反射回来的反射波叠加形成的.下面我们将推导一般的驻波方程.
　　设入射波方程为
　　
　　(4)
　　为求反射波方程,设界面距离原点为ι,如图1.
　　我们研究x处质点的运动情况。当入射波传到x处以后,又经2(ι-x)/υ的时间从界面处反射回到x点,这样x处反射波的相位较入射波的相位落后一个相角2ω（ι-x）/υ=4π（ι-x）/λ。又因在一般情况下，界面处出现相位突变现象，所以应把相位损失β考虑进去(0≤β≤π），那么反射波方程为
　　 (5)
　　下面我们用旋转矢量法[2]推到驻波方程。令 ，又设 为合成驻波振幅矢量。由于驻波不可能在界面右侧形成，所以x≤ι，4πx/λ≤4πι/λ，因此可画出初始时刻的旋转矢量图，如图2所示。
　　从图2中看出：，
　　即 ，所以合成波振幅为
　　
　　初位相是
　　
　　因而驻波方程为
　　(6)
　　当然我们也可以利用解析法y=y1+y2直接推到(6)式，但旋转矢量法更具有简明、形象等特点。
　　从(6)式可以看出，由于振幅是x的周期函数，且相位与x无关，所以无论ι与β取何值，只要 ，则合成波必为驻波，很显然(6)式也具有前面提到的驻波的四个特点。下面讨论几种特殊情形：
　　(1)在无限大介质中形成的驻波方程。此时
　　β=0，ι=kλ,(k=0,±1，±2，...),代入(6)式得
　　(7)
　　此即(3)式。
　　(2)存在半波损失时的驻波方程。
　　代入(6)式得
　　(8)
　　以上讨论的是入射波和反射波的振幅相等的情形。那么振幅不等的情形又如何呢？
　　由图3知
　　
　　所以
　　
　　在△A10A′中利用余弦定理得
　　
　　(9)
　　当然初位相 也可以导出.(9)式证明合成波不再是驻波，因为合成波的振幅并非x的周期函数.
　　
　　图1：有界面时X处入射波和反射波的相位情况
　　
　　
　　图2：入射波和反射波振幅相等时的旋转矢量图
　　
　　
　　图3：入射波和反射波振幅不等时的旋转矢量图
　　基金项目：南方医科大学博士启动基金（B1000365）
　　[参考文献]
　　[1]东南大学等编.马文蔚等.改编.物理学(下册)北京:高等教育出版社, 2006(第5版).64
　　[2]吴百诗.主编.大学物理(上册).北京:科学出版社,2001(新版).244
　　（作者单位：南方医科大学生物医学工程学院 广州）
　　
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