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思维科学认为,思维形态包含两个不可分割的层次,即形象思维和抽象思维。从人类思维发展史看,先有形象思维,后有抽象思维。正确地、巧妙地用形象思维和抽象思维相结合的方法,可以充分发挥它们各自的优势,互相补充、相辅相成。数学认识活动中,一方面按照逻辑思维的活动规律,不断进行分析、综合、归纳、演绎;另一方面又运用形象思维进行多层次地思考,并对逻辑思维的结论进行取舍,一旦达到统一就进入创造性思维集中活动阶段。即思维发展的最高阶段是形象思维和抽象思维的相互渗透、紧密结合,合二为一。因此运用这两种思维相结合的方法,可以充分发挥思维潜能,从而获得最佳思维。由于我们对思维科学及其发展不甚了解,加上数学学科本身是抽象思维的典型产物,几乎使“数学”与“抽象”成为同一词。因此,一些教师在教学中过分强调抽象思维而忽略形象思维,致使学生不懂和不能运用形象思维;从而导致学生学习兴趣减退,教学质量低下。因此,教学中加强形象思维训练是非常重要的,也是非常必要的
一、从概念教学入手培养学生的形象思维能力
在概念教学中,应充分发掘形与数的本质联系,使学生对教学中的许多概念、法则、定理、公式等与互相联系的空间形式有深入的认识,从而以形象思维促进抽象思维的发展。
对于数学概念的教学,首先应清楚它是从哪些具体事物中进行概括抽象得来的。要充分揭示它的本质属性,弄清它的内涵和外延,进而阐明在数学中任何“抽象”都有着“形象”的客观基础。这不仅仅是为了加深对概念本身的理解更主要的是如解决某些抽象的数学问题时,便于引导学生在实际生活中找出问题的“原始模型”,从而把抽象思维化为学生熟悉的便于理解和接受的形象思维。如讲解几何的原始概念“直线”,由于它是不定义的,我们可以利用学生头脑中的表象(如两支尾部接在一起的手电筒)来帮助认识理解,将它形象地看作“直”的光线向两方无限延伸,它没有长度、宽度等。而射线和线段则可利用一只开启的手电筒和一只关闭的手电筒加强理解。通过这一番比喻,于是这一组不易理解的概念变得十分明了了。
这种以形象思维为基础进行的抽象思维的方法,可增强学生的可感度和可视度,帮助我们非常形象地理解和记忆难懂的概念。
二、加强数形结合的训练,促进形象思维的提高
数形相结合,直观又入微。数学最本质的东西是抽象,然而数学又要把抽象的东西形象化,
再通过直观的形象来深化抽象的内容,这种抽象的形象就是数形相结合的思想。因此,在教学中要加强数形结合的训练,促进形象思维能力的提高。
例 解方程︳x+1 + ︳x-1 ︳= 4
分析:这是一道代数题;常规解法是分段定出x的取值范围,分类讨论去绝对值符号再解。但这样做费时又费力,教师可引导学生画出数轴,利用绝对值的几何意义求解。
解:画出数轴,定出A(-1),B(1)两点,
A B
——+——+——+——+——+——→
-2 -1 0 1 2
由绝对值的几何意义可知,求这个方程的解即为在数轴上找到一点使之到A、B两点的距离和为4。从图中很容易看到当这点在正负2的位置上时,它到A、B两点的距离和为4。由此可知:x1=2、x2=-2。
三、通过化抽象为直观,促进问题解决。
具有高度抽象的问题,我们可以通过形象化使问题得以解决。
例 若a、b、c、x、y、z为正实数,满足 a + x = b + y =c + z =m,求证:ay+bz+cx<㎡。
分析:问题看起来很抽象,似乎不易将其转化为直观的形象。应注意到式子中的三个数每两个数的和都等于m值,这样可构造一个边长为m的等边三角形,再将三边各分成两部分,则抽象的数量关系就能用直观的图形来表达了,从而有了一条全新的解题思路。
证明:如图,构造一个以m为边长的等边△ABC,并在三边AB、BC、CA上分别取点P、Q、R。使AP = a,PB = x,BQ = c,QC = z,CQ = b,RA =y。设△APR的面积为S1,△QCR的面积为S2 ,△PBQ的面积为S3 ,△ABC的面积为S。显然:S1+ S2 + S3 S2 =bzsinC = bzQ
S3 =cxsinB = cx R
S =m•m= ㎡ APB
所以:由S1+ S2 + S3 引导学生积极进行形象思维,不仅有利于思维能力的提高。而且对于激发学生的学习兴趣,养成丰富的联想也有很大的益处。作为一名中学数学教师,应将形象思维能力的培养贯穿于数学教学的始终
一、从概念教学入手培养学生的形象思维能力
在概念教学中,应充分发掘形与数的本质联系,使学生对教学中的许多概念、法则、定理、公式等与互相联系的空间形式有深入的认识,从而以形象思维促进抽象思维的发展。
对于数学概念的教学,首先应清楚它是从哪些具体事物中进行概括抽象得来的。要充分揭示它的本质属性,弄清它的内涵和外延,进而阐明在数学中任何“抽象”都有着“形象”的客观基础。这不仅仅是为了加深对概念本身的理解更主要的是如解决某些抽象的数学问题时,便于引导学生在实际生活中找出问题的“原始模型”,从而把抽象思维化为学生熟悉的便于理解和接受的形象思维。如讲解几何的原始概念“直线”,由于它是不定义的,我们可以利用学生头脑中的表象(如两支尾部接在一起的手电筒)来帮助认识理解,将它形象地看作“直”的光线向两方无限延伸,它没有长度、宽度等。而射线和线段则可利用一只开启的手电筒和一只关闭的手电筒加强理解。通过这一番比喻,于是这一组不易理解的概念变得十分明了了。
这种以形象思维为基础进行的抽象思维的方法,可增强学生的可感度和可视度,帮助我们非常形象地理解和记忆难懂的概念。
二、加强数形结合的训练,促进形象思维的提高
数形相结合,直观又入微。数学最本质的东西是抽象,然而数学又要把抽象的东西形象化,
再通过直观的形象来深化抽象的内容,这种抽象的形象就是数形相结合的思想。因此,在教学中要加强数形结合的训练,促进形象思维能力的提高。
例 解方程︳x+1 + ︳x-1 ︳= 4
分析:这是一道代数题;常规解法是分段定出x的取值范围,分类讨论去绝对值符号再解。但这样做费时又费力,教师可引导学生画出数轴,利用绝对值的几何意义求解。
解:画出数轴,定出A(-1),B(1)两点,
A B
——+——+——+——+——+——→
-2 -1 0 1 2
由绝对值的几何意义可知,求这个方程的解即为在数轴上找到一点使之到A、B两点的距离和为4。从图中很容易看到当这点在正负2的位置上时,它到A、B两点的距离和为4。由此可知:x1=2、x2=-2。
三、通过化抽象为直观,促进问题解决。
具有高度抽象的问题,我们可以通过形象化使问题得以解决。
例 若a、b、c、x、y、z为正实数,满足 a + x = b + y =c + z =m,求证:ay+bz+cx<㎡。
分析:问题看起来很抽象,似乎不易将其转化为直观的形象。应注意到式子中的三个数每两个数的和都等于m值,这样可构造一个边长为m的等边三角形,再将三边各分成两部分,则抽象的数量关系就能用直观的图形来表达了,从而有了一条全新的解题思路。
证明:如图,构造一个以m为边长的等边△ABC,并在三边AB、BC、CA上分别取点P、Q、R。使AP = a,PB = x,BQ = c,QC = z,CQ = b,RA =y。设△APR的面积为S1,△QCR的面积为S2 ,△PBQ的面积为S3 ,△ABC的面积为S。显然:S1+ S2 + S3
S3 =cxsinB = cx R
S =m•m= ㎡ APB
所以:由S1+ S2 + S3