直线的参数方程是新课标选修教材中的重要内容,主要考查直线与直线、直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦、最值、及动点轨迹等问题,特别是直线参数方程的标准形式中参数t的几何意义的应用更为解题提供了捷径,但在应用时学生准确率很低,常犯的错误即是见到参数方程就套用参数的几何意义解题。
　　
　　一、出示病例
　　【例1】直线 (t为参数)上到点A(-1,2)的距离为 ,且在点A上方的点的坐标为_____。
　　错解:∵所求点在点A的上方,且距离点A的距离为 ,则将 代入参数方程得 ,∴所求点的坐标为(0,1)。
　　【例2】已知过点M(2,-1)的直线(t为参数)与圆 交于A,B两点,求 及
　　错解:将直线方程代入圆方程化简得 , ,设方程两根分别为 ,则 , ,从而 ,
　　
　　二、知识链接
　　1.直线参数方程的标准形式为 (t为参数),其中M(x,y)为直线上任意一点, 为直线上一定点, 为直线的倾斜角,且 。
　　参数t的几何意义(只有在标准式中才具有)为:
　　(1)|t|是直线上任一点M(x,y)到 的距离,即 ,若t>0,则 的方向向上;若t<0,则 的方向向下;若t=0,则M与 重合。
　　(2)设A,B为直线上任意两点,它们所对应的参数值为
　　 ,则 , 线段AB的中点对应的参数值为 。
　　2.直线的参数方程一般形式为 (t为参数)。
　　其中,①直线斜率为 ;②t不具有标准式中的几何意义;③当时 ,一般式可化为标准式:
　　 或
　　 ;
　　当 时,参数方程的标准式为 ,此时 或-t具有标准式中的的几何意义,用 代之即可。
　　三、修正解析
　　例1、例2中的直线参数方程都是一般形式 (t为参数),t不具有参数方程的标准形式 中的t的几何意义。
　　例1【正解】(法1):将直线的参数方程 变形为 ,令 ,则直线参数方程的标准形式为( 为参数),∵所求点在点A的上方,且与点A的距离为 ,则将 代入此式即得所求点坐标为(-2,3)。
　　(法2):∵已知直线的斜率为-1, ,故已知直线参数方程的标准形式为 (t为参数),下面只需将 代入即可。
　　例2【正解】直线 变形为 ,令 ,则有 ( 为参数)为该直线参数方程的标准形式,将此方程代入圆方程化简得 , ,设 是方程的两个根,由根与系数关系可得 。
　　∴ ,
　　
　　四、巩固练习
　　1.直线 (t为参数)的倾斜角大小为___;
　　2.直线 (t为参数)上与点M (-2,3)的距离等于 的点的坐标为______;
　　3.求直线 (t为参数)与直线 的交点到定点(4,3)的距离。
　　4.已知直线 (t为参数)与曲线 交于A,B两点,
　　(1)求 ;(2)求点M (-1,2)到线段AB中点C的距离|MC|.
　　(答案:1.2.(-3,4)和(-1,2) 3. 4.(1)(2) )
　　总之,直线参数方程中参数t的几何意义应用广泛,为解题带来不少方便,但在应用时一定要注意此参数方程是否是标准形式,如果不是,需将方程变形为标准式,参数t才具有其真正的使用含义。
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　　收稿日期:2010-07-09