【摘要】本文主要介绍了黎卡提（Riccati）微分方程运用特解来求解方程通解的几种特殊情形，即通过特解个数的变化来求解出方程的通解。
　　【关键词】黎卡提（Riccati）；微分方程；伯努利方程；特解；通解
　　【中图号】S777【文献标示码】A【文章编号】1005-1074(2009)01-0146-02
　　
　　1引言
　　若一阶微分方程可写成如下形式：
　　dydx=P(x)+Q(x)y+R(x)y2(1)
　　其中P（x）,Q(x),R(x)在区间I上连续，且R（x）≠0，则方程（1）叫做黎卡提（Riccati）微分方程。
　　刘维尔在1846年证明出了少数情形外，它的解不能用初等函数的有限次积分以及有限次代数运算得到。但作为黎卡提（Riccati）微分方程的特殊情形，包含着以下几种可求解的情形。
　　当P（x）,Q(x),R(x)为常数时，方程（1）可化为变量分离方程
　　dyay2+by+c=dx
　　这里a,b,c是常数。
　　当R（x）=0时，方程（1）化为线形方程
　　dydx=P(x)+Q(x)y
　　当P（x）=0时，方程（1）化为伯努利方程
　　dydx=Q(x)y+R（x）y2
　　黎卡提（Riccati）微分方程的一个重要特点就在于，当已知方程的特解时，就可以比较容易地求出其通解。
　　本文主要介绍了在已知特解的情形下来求解黎卡提（Riccati）微分方程的通解。
　　2主要定理的证明及应用
　　定理1 已知方程（1）的一个特解y1，则方程（1）可化为伯努利方程来求解，其通解为
　　1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dx〔∫Re-∫(Q+2Ry1)dxdx+c〕.
　　证明 由题设知y1为特解
　　作变换y=y1+u,(其中u是关于自变量x的新的未知函数)
　　则有y'=y'1+u',代入（1）中得
　　y'1+u'=P(x)+Q(x)(y1+u)+R(x)(y1+u)2
　　整理即得
　　u'=R(x)u2+［Q(x)+2R(x)y1］u-y'1+R(x)y12+Q(x)y1+P(2)
　　而y1为（1）的特解，有
　　y'1=R(x)y12+Q(x)y1+P(x)
　　故（2）式整理得
　　u'=R(x)u2+［Q(x)+2R(x)y1］u (3)
　　(3)式是关于u的一伯努利方程，可解。
　　令v=1u，代入（3）式中化简即得
　　dvdx=［Q(x)+2R(x)y1］v+R(x)
　　对上式运用积分公式解的通解为
　　1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dx〔∫Re-∫(Q+2Ry1)dxdx+c〕.
　　例1 求解下列黎卡提（Riccati）微分方程
　　dydx+x-2x-x2y+1x2-x3y2=0
　　已知y1=x为其特解。
　　解 由于y1=x是方程的特解，根据上面定理1，其通解公式为
　　1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dx〔∫Re-∫(Q+2Ry1)dxdx+c〕.
　　故得到
　　1y-x=e∫(x-2x-x2+21x2-x3x)dx［∫1x2-x3e-∫(x-2x-x2+21x2-x3x)dxdx+c］化简得
　　（y-x）(cx+1)=x(x-1)为方程的通解。
　　定理2 若已知方程（1）的两个特解y1,y2(y1≠y2),则方程（1）仅用一次积分就能求解，其通解为
　　1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dxc+1y2-y1.
　　证明 已知两特解为y1,y2(y1≠y2),设y=y1+u,
　　由定理1的证明过程可得到
　　v=1y-y1
　　v'=［Q(x)+2R(x)y1］v+R(x)(4)
　　又由假设得1y1-y2是方程（4）的特解。
　　一方面因为此方程是线性的，所以方程（1）的通解只要由v'-［Q(x)+2R(x)y1］v=0的通解加上一个特解即可。故方程（1）仅用一次积分即可求解。
　　而v'-［Q(x)+2R(x)y1］v=0的通解为
　　v=e∫(Q+2Ry1)dxc
　　即1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dxc
　　所以方程(1)的通解为
　　1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dxc+1y2-y1.
　　例2 求解下列黎卡提(Riccati)微分方程
　　dydx+x-2x-x2y+1x2-x3y2=0
　　已知y1=x,y2=0为其特解.
　　解 由题意y1=x,y2=0为方程的特解,根据上面定理2,其通解公式为
　　1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dxc+1y2-y1.
　　即得1y-x=e∫（x-2x-x2+21x2-x3x）dxc-1x.
　　化简即有
　　1y-x=cx-1-1x
　　所以y(x-1)=c(y-x)x为方程的解.
　　定理3 若已知方程(1)的3个互异特解y1,y2,y3则不需要积分计算就能求得其通解,其通解为
　　y3-y1y3-y2=y-y1y-y2C.
　　其中C为任一常数.
　　证明 由定理1中黎卡提(Riccati)方程之解法所示的通解
　　1y-y1=e∫（Q+2Ry1）dx〔∫Re-∫(Q+2Ry1)dxdx+c〕.
　　令右边e∫（Q+2Ry1）dx=h(x),∫Re-∫(Q+2Ry1)dxdx=g(x)
　　即1y-y1=h(x)g(x)+h(x)c
　　所以 y=h(x)y1c+h(x)g(x)y1+1h(x)c+h(x)g(x)
　　又令h(x)y1=f1(x),h(x)g(x)y1+1=f2(x),h(x)=f3(x),h(x)g(x)=f4(x),
　　故 y=cf1(x)+f2(x)cf3(x)+f4(x) (a)
　　乃是关于常数C的一次分数函数。
　　又设c1,c2,c3为对应于上式特解y1,y2,y3
　　故有 y=cif1(x)+f2(x)cif3(x)+f4(x)(i=1,2,3) (b)
　　由（a）和(b)式消去f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)得到
　　y3-y1y3-y2/y3-yy3-y=c3-c1c3-c2/c3-cc3-c
　　而其中c,c1,c2,c3均为任一常数，故令
　　c3-c1c3-c2/c3-cc3-c=C (C为任一常数)
　　对y求解即得到方程（1）的通解
　　y3-y1y3-y2=y-y1y-y2C.
　　例3 求解下列黎卡提（Riccati）微分方程
　　dydx+x-2x-x2y+1x2-x3y2=0
　　已知y1=0,y2=x,y3=x3为其特解。
　　解 由已知条件得y1=0,y2=x,y3=x3为方程的特解，根据定理3，不用积分便可求得方程的通解，其通解公式为
　　y3-y1y3-y2=y-y1y-y2C.
　　以代入y1=0,y2=x,y3=x3并对y求解得到
　　x2-0x2-x=y-0y-xC
　　即得（y-x）x=y(x-1)C为方程的通解。
　　
　　4参考文献
　　[1]叶彦谦常微分方程讲义［M］北京：人民教育出版社，1979：45-57
　　[2]矢野健太郎微分方程的基本原理及习题详解［M］北京：晓圆出版社，1994：42-45
　　[3]丁同仁，李承治.常微分方程教程［M］北京：高等教育出版社，2002：61-68
　　[4]汤正谊微分方程解题分析［M］江苏：江苏科学技术出版社，1993：106-107
　　[5]王建锋浅谈黎卡提方程的求解［J］数学理论与应用，2002，22（3）：107-109
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。