论文部分内容阅读
【摘要】在高中数学复合函数的教学中，复合函数的性质与构成与它的函数的性质密切相关。复合函数的定义、定义域、奇偶性、单调性和解法精选所涉及的问题及解决方法，要理解法则，掌握步骤，善于应用。
【关键词】高中数学 复合函数 解法 应用
1.定义
复合函数： 一般来说，如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x）， 那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数.其中u叫做中间变量.
例如： f（x） = 3x+5， g（x） = 2x+1；复合函数f（g（x））即把f（x）里面的x换成g（x）， f（g（x）） = 3g（x）+5 = 3×（2x+1）+5 = 6x+8.
2.定义域
若函数y=f（u）的定义域是B﹐u=g（x）的定义域是A﹐则复合函数y=f[g（x）]的定义域是： D={x|x∈A，且g（x）∈B}.
3.复合函数——奇偶性
复合函数的性质与构成与它的函数的性质密切相关，其规律可列表如下： 若函数f（x）， g（x）， f[g（x）] 的定义域都是关于原点对称的，那么由u=g（x）， y=f（u） 的奇偶性得到y= f[g（x）] 的奇偶性的规律是：即当且仅当 u=g（x）和 y=f（x） 都是奇函数时，复合函数y=f[g（x）] 是奇函数. 若u=g（x）或y=f（x）中只要有一个为偶函数，则复合函数y=f[g（x）] 是偶函数。
4.复合函数——单调性
若函数u=g（x），在区间[a，b]上是单调函数， 函数y=f（u）在[g（a），g（b）]或[g（b），g（a）]上也是单调函数，那么复合函数y=f[g（x）]在区间[a，b]上是单调函数，其单调性规律是：
即u=g（x），y=f（u）增减性相同时，y=f[g（x）]为增函数，当u=g（x），y=f（u）增减性相反时，y=f[g（x）]为减函数。
5.解法精选
5.1 求复合函数的定义域。
例1：已知f（x）的定义域为（1，2] ，求函数y=f（1+x2） 的定义域。
分析：由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只须将所求式中括号内的式子看成已知式中的x，再解不等式，求出其定义域。
解：由1≤1+x2<2得0≤x2 即x2<1，
∴|x|<1，∴-1 ∴函数y=f（1+x2）的定义域为（-1，1）
例2：已知y=f（x2-2x-1）的定义为（0，3] ，求函数f（x） 的定义域。
分析：由复合函数的定义域，求原来函数的定义域，只要根据x的范围确定复合函数中间变量的范围即可。
解：设u=x2-2x-1，則u=（x-1）2-2. 当0 ∴函数y=f（x2-2x-1）的定义域为[-2，2]
5.2 确定复合函数的值域。
求复合函数y=f[φ（x）] 的值域，实际上是在函数的定义域上先求出u=φ（x） 的值域，以确定y=f（x） 的定义域，再求出函数y=f（x） 的值域（对于两重以上的复合函数仍按此法依次进行）。
例：求函数y=11-x2-4x+13 的值域.
解：设t=x2-4x+13，v=t，u=1-v，则 y=1u
由t=（x-2）2+9≥9 得v≥3
∴-v≤-3 ∴≤-2
由反比例函数的图象可知-12≤y<0
∴函数y=11-x2-4x+13的值域为[-12 ，0）.
5.3 复合函数的解析式。
（1）已知内层与外层函数，求复合函数。
例1：已知f（x）=3x2-x-1，g（x）=2x+3，则f[g（x）] .
解： f[g（x）]=3[g（x）]2-g（x）-1
=3（2x+3）2-（2x+3）-1
=12x2+34x+23
点拨：解决这类问题，一般用代换法将外层函数的自变量用内层函数表示。
（2）已知内层函数及复合函数，求外层函数。
例2：设f（x-1）=2x2-3x，求f（x）。
解法1：设t=x-1，则x=t+1代入原式得：
f（t）=2（t+1）2-3（t+1）=2t2+t-1
所以f（x）=2x2+x-1.
解法2：f（x-1）=2x2-3x=2（x-1）2-3x+4x-2
=2（x-1）2+（x-1）-1
所以f（x）=2x2+x-1.
5.4 求复合函数的单调区间。
例1：求函数y=log12（x2+2x-3） 的递增区间.
解： 由x2+2x-3>0解得函数的定义域为{x|x<-3或3>1|}
设u=x2+2x-3，则y=log12u
∵0<12<1，
∴y=log12u是（0，+∞）上的减函数.
由复合函数的单调性可知：
u=x2+2x-3（x<-3或x>1）的递减区间就是函数
y=log12（x2+2x-3）的递增区间
∵u=（x+1）2-4
∴当x≤-1时，u=x2+2x-3是减函数.
{x|x<-3或x>1}∪{x|x≤-1}={x|x<-3}
∴函数y=log12（x2+2x-3）的递增区是（-∞，-3）.
例2：已知函数y=f（x）与y=g（x）的定义域都是R，值域分别是（0.+∞）与（-∞，0） ，在R上f（x）是增函数而g（x）是减函数，求证：F（x）=f（x）·g（x）在R上为减函数.
分析：证明的依据应是减函数的定义. 证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1 则F（x1）-F（x2）=f（x1）g（x1）-f（x2）g（x2）
=f（x1）g（x1）-f（x1）g（x2）+f（x1）g（x2）-f（x2）g（x2）
=f（x1）[g（x1）-g（x2）]+g（x2）[f（x1）-f（x2）]
∵f（x）是R上的增函数，g（x）是R上的减函数，且x1 ∴f（x1）g（x2）即f（x1）-f（x2）<0，g（x1）-g（x2）>0.
又f（x）的值域为（0，+∞），g（x）的值域为（-∞，0），
∴f（x1）>0，g（x2）<0.
∴F（x1）-F（x2）>0即F（x1）>F（x2）
∴F（x）在R上为减函数.
小结：此题涉及抽象函数的有关证明，要求较高，此外在F（x1）-F（x2） 的变形中涉及到增减项的技巧，它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值，必须构造出f（x1） 与f（x2）的差和g（x1）与g（x2）的差。
5.5 奇偶性与单调性。
深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象是高考的重点内容之一。
设a>0，f（x）=exa+aex 是R上的偶函数，（1）求a的值；（2）证明： f（x）在（0，+∞）上是增函数.
案例探究
[例1]已知函数f（x）在（-1，1）上有定义，f（12）=-1，当且仅当0 （1）f（x）为奇函数；（2）f（x）在（-1，1）上单调递减.
命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力。属★★★★题目。
知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想。
错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得。
技巧与方法：对于（1），获得f（0）的值进而取x=-y是解题关键；对于（2），判定x2-x11-x1x2 的范围是焦点。
证明：（1）由f（x）+f（y）=f（ ），令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（ ）=f（0）=0.∴f（x）=-f（-x）.∴f（x）为奇函数.
（2）先证f（x）在（0，1）上单调递减
令0 ∵00，1-x1x2>0，∴x2-x11-x2x1 >0，
又（x2-x1）-（1-x2x1）=（x2-1）（x1+1）<0
∴x2-x1<1-x2x1，
∴0 即f（x2） ∴f（x）在（0，1）上为减函数，又f（x）为奇函数且f（0）=0.
∴f（x）在（-1，1）上为减函数.
例2：设函数f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内单调递增，f（2a2+a+1） 命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法。本题属于★★★★★级题目。
知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题。
错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱。
技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法。
解：设0 ∴f（-x2） ∴f（x2） 又2a2+a+1=2（a+14）2+78>0，3a2-2a+1=3（a-13）2+23>0.
由f（2a2+a+1）3a2-2a+1.解之，得0 又f（2a2+a+1）3a2-2a+1.解之，得0 又a2-3a+1=（a-32）2-54.
∴函數y=（12 ）a2-3a+1 的单调减区间是[ 32，+∞]
结合0 本难点所涉及的问题及解决方法主要有：
（1）判断函数的奇偶性与单调性。
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性。
若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性。
同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一。
复合函数的奇偶性、单调性。问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数。
（2）加强逆向思维、数形统一，正反结合解决基本应用题目。
5.6 复合函数的导数。
关于复合函数的导数，要理解法则，掌握步骤，善于应用。
（1）法则：y'x = y'u ·u'x 。
（2）步骤：分解——求导——回代（熟练后可省写步骤）。
（3）应用：能对复合函数求导；能解有关的应用问题。
例1：求y =sin4x +cos 4x的导数.
【解法一】y =sin 4x +cos 4x=（sin2x +cos2x）2-2sin2cos2x
=1- 12sin22 x
=1-14 （1-cos 4 x）
=34 +14 cos 4 x.y′=-sin 4 x.
【解法二】y′=（sin 4 x）′+（cos 4 x）′=4 sin 3 x（sin x）′+4 cos 3x （cos x）′=4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x （-sin x）=4 sin x cos x （sin 2 x -cos 2 x）=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x
【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确。解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步。
例2：曲线y =x（x +1）（2-x）有两条平行于直线y =x的切线，求此二切线之间的距离。
【解】y =-x 3 +x 2 +2 x y′=-3 x 2+2 x +2
令y′=1即3 x2-2 x -1=0，解得 x =-13 或x =1.
于是切点为P（1，2），Q（-13 ，-1427 ），
过点P的切线方程为，y -2=x -1即 x -y +1=0.
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为=|-13+1427+1|2 =16272.
【关键词】高中数学 复合函数 解法 应用
1.定义
复合函数： 一般来说，如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x）， 那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数.其中u叫做中间变量.
例如： f（x） = 3x+5， g（x） = 2x+1；复合函数f（g（x））即把f（x）里面的x换成g（x）， f（g（x）） = 3g（x）+5 = 3×（2x+1）+5 = 6x+8.
2.定义域
若函数y=f（u）的定义域是B﹐u=g（x）的定义域是A﹐则复合函数y=f[g（x）]的定义域是： D={x|x∈A，且g（x）∈B}.
3.复合函数——奇偶性
复合函数的性质与构成与它的函数的性质密切相关，其规律可列表如下： 若函数f（x）， g（x）， f[g（x）] 的定义域都是关于原点对称的，那么由u=g（x）， y=f（u） 的奇偶性得到y= f[g（x）] 的奇偶性的规律是：即当且仅当 u=g（x）和 y=f（x） 都是奇函数时，复合函数y=f[g（x）] 是奇函数. 若u=g（x）或y=f（x）中只要有一个为偶函数，则复合函数y=f[g（x）] 是偶函数。
4.复合函数——单调性
若函数u=g（x），在区间[a，b]上是单调函数， 函数y=f（u）在[g（a），g（b）]或[g（b），g（a）]上也是单调函数，那么复合函数y=f[g（x）]在区间[a，b]上是单调函数，其单调性规律是：
即u=g（x），y=f（u）增减性相同时，y=f[g（x）]为增函数，当u=g（x），y=f（u）增减性相反时，y=f[g（x）]为减函数。
5.解法精选
5.1 求复合函数的定义域。
例1：已知f（x）的定义域为（1，2] ，求函数y=f（1+x2） 的定义域。
分析：由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只须将所求式中括号内的式子看成已知式中的x，再解不等式，求出其定义域。
解：由1≤1+x2<2得0≤x2 即x2<1，
∴|x|<1，∴-1
例2：已知y=f（x2-2x-1）的定义为（0，3] ，求函数f（x） 的定义域。
分析：由复合函数的定义域，求原来函数的定义域，只要根据x的范围确定复合函数中间变量的范围即可。
解：设u=x2-2x-1，則u=（x-1）2-2. 当0
5.2 确定复合函数的值域。
求复合函数y=f[φ（x）] 的值域，实际上是在函数的定义域上先求出u=φ（x） 的值域，以确定y=f（x） 的定义域，再求出函数y=f（x） 的值域（对于两重以上的复合函数仍按此法依次进行）。
例：求函数y=11-x2-4x+13 的值域.
解：设t=x2-4x+13，v=t，u=1-v，则 y=1u
由t=（x-2）2+9≥9 得v≥3
∴-v≤-3 ∴≤-2
由反比例函数的图象可知-12≤y<0
∴函数y=11-x2-4x+13的值域为[-12 ，0）.
5.3 复合函数的解析式。
（1）已知内层与外层函数，求复合函数。
例1：已知f（x）=3x2-x-1，g（x）=2x+3，则f[g（x）] .
解： f[g（x）]=3[g（x）]2-g（x）-1
=3（2x+3）2-（2x+3）-1
=12x2+34x+23
点拨：解决这类问题，一般用代换法将外层函数的自变量用内层函数表示。
（2）已知内层函数及复合函数，求外层函数。
例2：设f（x-1）=2x2-3x，求f（x）。
解法1：设t=x-1，则x=t+1代入原式得：
f（t）=2（t+1）2-3（t+1）=2t2+t-1
所以f（x）=2x2+x-1.
解法2：f（x-1）=2x2-3x=2（x-1）2-3x+4x-2
=2（x-1）2+（x-1）-1
所以f（x）=2x2+x-1.
5.4 求复合函数的单调区间。
例1：求函数y=log12（x2+2x-3） 的递增区间.
解： 由x2+2x-3>0解得函数的定义域为{x|x<-3或3>1|}
设u=x2+2x-3，则y=log12u
∵0<12<1，
∴y=log12u是（0，+∞）上的减函数.
由复合函数的单调性可知：
u=x2+2x-3（x<-3或x>1）的递减区间就是函数
y=log12（x2+2x-3）的递增区间
∵u=（x+1）2-4
∴当x≤-1时，u=x2+2x-3是减函数.
{x|x<-3或x>1}∪{x|x≤-1}={x|x<-3}
∴函数y=log12（x2+2x-3）的递增区是（-∞，-3）.
例2：已知函数y=f（x）与y=g（x）的定义域都是R，值域分别是（0.+∞）与（-∞，0） ，在R上f（x）是增函数而g（x）是减函数，求证：F（x）=f（x）·g（x）在R上为减函数.
分析：证明的依据应是减函数的定义. 证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1
=f（x1）g（x1）-f（x1）g（x2）+f（x1）g（x2）-f（x2）g（x2）
=f（x1）[g（x1）-g（x2）]+g（x2）[f（x1）-f（x2）]
∵f（x）是R上的增函数，g（x）是R上的减函数，且x1
又f（x）的值域为（0，+∞），g（x）的值域为（-∞，0），
∴f（x1）>0，g（x2）<0.
∴F（x1）-F（x2）>0即F（x1）>F（x2）
∴F（x）在R上为减函数.
小结：此题涉及抽象函数的有关证明，要求较高，此外在F（x1）-F（x2） 的变形中涉及到增减项的技巧，它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值，必须构造出f（x1） 与f（x2）的差和g（x1）与g（x2）的差。
5.5 奇偶性与单调性。
深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象是高考的重点内容之一。
设a>0，f（x）=exa+aex 是R上的偶函数，（1）求a的值；（2）证明： f（x）在（0，+∞）上是增函数.
案例探究
[例1]已知函数f（x）在（-1，1）上有定义，f（12）=-1，当且仅当0
命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力。属★★★★题目。
知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想。
错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得。
技巧与方法：对于（1），获得f（0）的值进而取x=-y是解题关键；对于（2），判定x2-x11-x1x2 的范围是焦点。
证明：（1）由f（x）+f（y）=f（ ），令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（ ）=f（0）=0.∴f（x）=-f（-x）.∴f（x）为奇函数.
（2）先证f（x）在（0，1）上单调递减
令0
又（x2-x1）-（1-x2x1）=（x2-1）（x1+1）<0
∴x2-x1<1-x2x1，
∴0
∴f（x）在（-1，1）上为减函数.
例2：设函数f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内单调递增，f（2a2+a+1）
知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题。
错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱。
技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法。
解：设0
由f（2a2+a+1）
∴函數y=（12 ）a2-3a+1 的单调减区间是[ 32，+∞]
结合0
（1）判断函数的奇偶性与单调性。
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性。
若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性。
同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一。
复合函数的奇偶性、单调性。问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数。
（2）加强逆向思维、数形统一，正反结合解决基本应用题目。
5.6 复合函数的导数。
关于复合函数的导数，要理解法则，掌握步骤，善于应用。
（1）法则：y'x = y'u ·u'x 。
（2）步骤：分解——求导——回代（熟练后可省写步骤）。
（3）应用：能对复合函数求导；能解有关的应用问题。
例1：求y =sin4x +cos 4x的导数.
【解法一】y =sin 4x +cos 4x=（sin2x +cos2x）2-2sin2cos2x
=1- 12sin22 x
=1-14 （1-cos 4 x）
=34 +14 cos 4 x.y′=-sin 4 x.
【解法二】y′=（sin 4 x）′+（cos 4 x）′=4 sin 3 x（sin x）′+4 cos 3x （cos x）′=4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x （-sin x）=4 sin x cos x （sin 2 x -cos 2 x）=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x
【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确。解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步。
例2：曲线y =x（x +1）（2-x）有两条平行于直线y =x的切线，求此二切线之间的距离。
【解】y =-x 3 +x 2 +2 x y′=-3 x 2+2 x +2
令y′=1即3 x2-2 x -1=0，解得 x =-13 或x =1.
于是切点为P（1，2），Q（-13 ，-1427 ），
过点P的切线方程为，y -2=x -1即 x -y +1=0.
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为=|-13+1427+1|2 =16272.