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摘 要：“平方差公式”的导入除教材的三种基本导入外，教师还可以钻研教材，用发现导入法精心设计其他的导入，如故事导入、游戏导入、操作导入和实例导入等，使导入课回归自然，让学生顺利实现新知识向旧知识的同化，经历一次探究发现的活动过程，从而丰富学生的数学活动经验，提高思维能力。
关键词：钻研教材；精心设计；导入课；切实有效
“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心地位。导入时，教师在学生已有的认知基础上，引领学生经历公式的形成过程，即“观察——归纳——猜想——验证——证明——符号化”的发现过程。通过创设问题情境，培养观察、发现、猜想、提出命题等基本能力，调动学生的学习兴趣，激活学生的思维，激发学生的创新热情。
“平方差公式”这部分内容人教版是这样编排的：先设置一个探究栏目，安排了3个具有特殊形式的两个多项式相乘的题目，让学生运用已经学习的知识计算多项式的积，并探索其中所蕴涵的规律。然后再计算（a b）（a-b），进而得出平方差公式。再后又设置一个思考栏目，让学生利用算两次原理得出图形中的面积关系，通过图形直观说明平方差公式的合理性。
一、教材三种基本导入的思考
第一，为什么教材没有通过让学生直接计算（a b）（a-b）导入，而是设计了一个探究栏目？
多项式乘以多项式法则和平方差公式是上下位关系，可以按照运算法则直接结算即可实现自然轻松地过渡，为什么不让直接推理，经过分析，我觉得其目的是，让学生在已有的认知基础上经历一次从发现公式到导出公式的全过程，即利用已经掌握的多项式乘以多项式法则得出三个算式的结果，在此基础上让学生经历观察（每个算式及其结果的特点）、比较（不同算式及其结果间的异同）、归纳（不同算式及其结果的共同特征）、猜想（可能具有的规律）、推理（论证猜想的结果）的过程.这个过程可以充分体现学生对数学知识的认识过程，其中，从多项式乘法到3个特殊算式的运算，是从一般到特殊的认识过程；从3个特殊算式的运算再到平方差公式，是从特殊到一般的认识过程；而从多项式乘法到平方差公式，又是从一般到特殊的认识过程（如图）.整个过程经过多次“一般”与“特殊”的转换，能够充分体现学生参与数学活动的深度和广度，是一种真正意义上的数学学习，而不只是简单、机械地模仿与记忆。
第二，为什么教材没有通过拼图计算发现公式直接引入？而是把拼图计算仅作公式的几何解释。
通过拼图计算导入，起点低、落点高，数学活动展示充分，既可以直观明了说明公式的几何特征，又可以体现数形结合思想，教材没有这样安排我认为有以下两个原因：一是《数学课程标准》对“平方差公式”的目标要求是“了解公式的几何背景”，只要知道此公式可以通过几何图形的面积加以说明即可，并不要求达到“理解”或“掌握”的程度。因此，通过拼图计算说明平方差公式不是本节课的重点，而数形结合思想也不是本节课的核心思想。二是学习公式的关键是理解公式的结构特征，而公式的结构特征仅从几何图形的面积关系是无法充分体现出来的，因为几何图形仅局限在正数范围内，由此得出的公式要扩大其外延还要回到计算推理上来，这样看来图形导入有点多此一举，而目前教材的编写计算发现法导入可以避免其不足，要得出规律，需要对几个题目进行反复观察、比较、归纳、猜想，使得对公式的结构特征有更深刻的认识。
第三，为什么教材没有从现实情境出发引入课题？
培养学生应用意识是新课程强调的重要目标之一，主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中具有广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。课程标准还要求数学教学要采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开。这使部分教师理解上出现偏差，好像每一节课都必须与实际应用建立联系，挖空心思地寻找或者“创造”应用背景，致使一些应用题的设置或者毫无实际意义，或者超出学生的阅历。我们知道，并不是所有的数学内容都需要从现实情境引入的，这要依据教学内容的特点和学生的学习规律而定。“平方差公式”是一种特殊形式，这节内容相对于学生已有认知结构中的多项式乘以多项式的知识来说，处于下位关系.而在下位学习中，新内容和原有认知结构的作用方式是同化，平方差公式可以直接和原数学认知结构中的多项式乘以多项式的知识相联系，直接纳入原有的认知结构之中，因此，本节课可以直接从数学问题本身引入课题，不需要从现实情境出发引入课题。
二、精心设计导入，回归自然
从数学课程目标的要求、学生的认知结构、数学教育的培养方向来看，教材安排得最为合适。笔者认为，平方差公式是多项式乘以多项式的特殊形式，属于下位学习，发现导入法可以顺利实现新知识向旧知识的同化，让学生经历一次探究发现的活动过程，可以进一步丰富学生的数学活动经验，提高学生的思维能力。
（一）故事导入
1.创设情境，快乐启航
从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植。第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧.”回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊.你知道张老汉是否吃亏了吗？学习了本节课的知识，你将能轻松地解决.
2.自主探索，获取新知
问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题。再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？（让学生进行小组讨论）
（1）（a b）（m n）=
（2）（x 3）（x 4）=
（3）（y 3）（y-2）= （4）（a 5）（a-5）=
（5）（p q）（p-q）=
（6）（2x 1）（2x-1）=
问题2：通过这些题目的计算，你发现了什么？
（二）游戏导入
1.创设情境，诱发主动
教师出示幻灯片：①写出你最喜欢的个位数；②计算100与这个数的和乘以100与这个数的差的积。
师：同学们计算得很投入，你们只要告诉我你写出的个位数，我就能马上说出计算结果，你们信吗？
生：我最喜欢的个位数字是4。
师：你算出的答案是9984，（100 4）（100-4）=9984。
生：我最喜欢的数字是8。
师：你算的答案是9936，（100 8）（100-8）=9936。
师：神奇吗？想学这招吗？学完这节课.你肯定会明白其中的奥妙所在。
2.动手操作
（1）现有两个数，不知其大小，请你随意用两个字母来表示这两个数；（2）请把这两个数的和与差分别表示出来.这两个式子是多项式还是单项式？（3）请将所得的和与差相乘并化简；（4）请思考：两个数的和与这两个数的差的乘积等于什么？（让学生用自己的语言描述出来）
（三）实例导入
1.创设情境，导入新课
小明去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器.小明就说出应付99.96元。这与售货员计算出的结果一样。售货员很惊讶地说：“你真是个神童，怎么算得这么快？”小明说：“过奖了，我用了刚学过的一个数学公式。”
你想知道小明用的是一个什么样的公式吗？下面我们一起来学习研究。
2.自主探究，归纳发现
师：我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘。在合并同类项前有几项？
生：4项。
师：合并同类项后，积可能是3项吗？积可能是2项吗？
生：可能。
教师出示下列习题：
（1）（x 1）（x-1）=
（2）（m 2）（m-2）=
（3）（2x 1）（2x-1）=
（4）（x 5y）（x-5y）=
（四）操作导入
问题1：你能计算下面图形（如图1）的面积吗？你能用图示法展示上述计算过程吗？
（101×99=1002-12）
问题2：将长为（a b）、宽为（a-b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形（如图2），并请用等式表示你拼成图形的面积关系.
（（a b）（a-b）=a2-b2）
问题3：此等式中的a、b应满足什么条件？对于任意的a、b，此等式成立吗？
（①a>b>0；②此式可作为公式，计算过程可省）
提供足够数量、可供归纳的素材，并具有一定的“原生态”的特征，让学生经历自然的筛选、归纳过程。
只有提供足够数量、目标明确的素材，学生才容易发现规律，产生归纳的心理需求，自发地进行归纳。人教版数学课本仅提供三个题目，素材明显不足，而且仅有正例没有反例，缺乏“衬托”，有失自然，需要增加反例重新布局。探究栏目可修改如下：
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（a b）（m n）
（2）（x p）（x q）
（3）（a b）（a b）
（4）（x 1）（x-1）
（5）（m 2）（m-2）
（6）（2x 1）（2x-1）
（7）（a 3b）（a-3b）
（8）（3x 2y）（3x-2y）
问题（1）是基本格式，以复习多项式乘法法则；问题（2）是一个重要的典型结构，映射后续的一元二次方程和一元二次函数；问题（3）一来与平方差公式作陪衬，二来为完全平方公式打基础，通过计算繁简比较，（4）到（8）这5个正例特征足以从前三个反例中显现出来。由于可供归纳的素材较多，学生很容易归纳出平方差公式，并自觉验证、运用平方差公式。学生先经过“炳杂”的计算，后享受“发现”的乐趣，经历了一个拟真的“观察比较——归纳概括——猜想验证——推理应用”的“再创造”过程。
平方差公式是多项式乘以多项式的特殊形式，教师通过钻研教材，用发现导入法精心设计，使导入课更切实有效，就是让学生顺利实现新知识向旧知识的同化，经历一次探究发现的活动过程，进一步丰富学生的数学活动经验，提高学生的思维能力。
[参 考 文 献]
[1]邬云德.初中数学导入性教学的理论与实践[J].数学教学研究.2012（12）.
[2]何昆生.初中数学导入技巧与艺术案例[J].中学教学参考.2012（19）.
（责任编辑：张华伟）
关键词：钻研教材；精心设计；导入课；切实有效
“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心地位。导入时，教师在学生已有的认知基础上，引领学生经历公式的形成过程，即“观察——归纳——猜想——验证——证明——符号化”的发现过程。通过创设问题情境，培养观察、发现、猜想、提出命题等基本能力，调动学生的学习兴趣，激活学生的思维，激发学生的创新热情。
“平方差公式”这部分内容人教版是这样编排的：先设置一个探究栏目，安排了3个具有特殊形式的两个多项式相乘的题目，让学生运用已经学习的知识计算多项式的积，并探索其中所蕴涵的规律。然后再计算（a b）（a-b），进而得出平方差公式。再后又设置一个思考栏目，让学生利用算两次原理得出图形中的面积关系，通过图形直观说明平方差公式的合理性。
一、教材三种基本导入的思考
第一，为什么教材没有通过让学生直接计算（a b）（a-b）导入，而是设计了一个探究栏目？
多项式乘以多项式法则和平方差公式是上下位关系，可以按照运算法则直接结算即可实现自然轻松地过渡，为什么不让直接推理，经过分析，我觉得其目的是，让学生在已有的认知基础上经历一次从发现公式到导出公式的全过程，即利用已经掌握的多项式乘以多项式法则得出三个算式的结果，在此基础上让学生经历观察（每个算式及其结果的特点）、比较（不同算式及其结果间的异同）、归纳（不同算式及其结果的共同特征）、猜想（可能具有的规律）、推理（论证猜想的结果）的过程.这个过程可以充分体现学生对数学知识的认识过程，其中，从多项式乘法到3个特殊算式的运算，是从一般到特殊的认识过程；从3个特殊算式的运算再到平方差公式，是从特殊到一般的认识过程；而从多项式乘法到平方差公式，又是从一般到特殊的认识过程（如图）.整个过程经过多次“一般”与“特殊”的转换，能够充分体现学生参与数学活动的深度和广度，是一种真正意义上的数学学习，而不只是简单、机械地模仿与记忆。
第二，为什么教材没有通过拼图计算发现公式直接引入？而是把拼图计算仅作公式的几何解释。
通过拼图计算导入，起点低、落点高，数学活动展示充分，既可以直观明了说明公式的几何特征，又可以体现数形结合思想，教材没有这样安排我认为有以下两个原因：一是《数学课程标准》对“平方差公式”的目标要求是“了解公式的几何背景”，只要知道此公式可以通过几何图形的面积加以说明即可，并不要求达到“理解”或“掌握”的程度。因此，通过拼图计算说明平方差公式不是本节课的重点，而数形结合思想也不是本节课的核心思想。二是学习公式的关键是理解公式的结构特征，而公式的结构特征仅从几何图形的面积关系是无法充分体现出来的，因为几何图形仅局限在正数范围内，由此得出的公式要扩大其外延还要回到计算推理上来，这样看来图形导入有点多此一举，而目前教材的编写计算发现法导入可以避免其不足，要得出规律，需要对几个题目进行反复观察、比较、归纳、猜想，使得对公式的结构特征有更深刻的认识。
第三，为什么教材没有从现实情境出发引入课题？
培养学生应用意识是新课程强调的重要目标之一，主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中具有广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。课程标准还要求数学教学要采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开。这使部分教师理解上出现偏差，好像每一节课都必须与实际应用建立联系，挖空心思地寻找或者“创造”应用背景，致使一些应用题的设置或者毫无实际意义，或者超出学生的阅历。我们知道，并不是所有的数学内容都需要从现实情境引入的，这要依据教学内容的特点和学生的学习规律而定。“平方差公式”是一种特殊形式，这节内容相对于学生已有认知结构中的多项式乘以多项式的知识来说，处于下位关系.而在下位学习中，新内容和原有认知结构的作用方式是同化，平方差公式可以直接和原数学认知结构中的多项式乘以多项式的知识相联系，直接纳入原有的认知结构之中，因此，本节课可以直接从数学问题本身引入课题，不需要从现实情境出发引入课题。
二、精心设计导入，回归自然
从数学课程目标的要求、学生的认知结构、数学教育的培养方向来看，教材安排得最为合适。笔者认为，平方差公式是多项式乘以多项式的特殊形式，属于下位学习，发现导入法可以顺利实现新知识向旧知识的同化，让学生经历一次探究发现的活动过程，可以进一步丰富学生的数学活动经验，提高学生的思维能力。
（一）故事导入
1.创设情境，快乐启航
从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植。第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧.”回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊.你知道张老汉是否吃亏了吗？学习了本节课的知识，你将能轻松地解决.
2.自主探索，获取新知
问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题。再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？（让学生进行小组讨论）
（1）（a b）（m n）=
（2）（x 3）（x 4）=
（3）（y 3）（y-2）= （4）（a 5）（a-5）=
（5）（p q）（p-q）=
（6）（2x 1）（2x-1）=
问题2：通过这些题目的计算，你发现了什么？
（二）游戏导入
1.创设情境，诱发主动
教师出示幻灯片：①写出你最喜欢的个位数；②计算100与这个数的和乘以100与这个数的差的积。
师：同学们计算得很投入，你们只要告诉我你写出的个位数，我就能马上说出计算结果，你们信吗？
生：我最喜欢的个位数字是4。
师：你算出的答案是9984，（100 4）（100-4）=9984。
生：我最喜欢的数字是8。
师：你算的答案是9936，（100 8）（100-8）=9936。
师：神奇吗？想学这招吗？学完这节课.你肯定会明白其中的奥妙所在。
2.动手操作
（1）现有两个数，不知其大小，请你随意用两个字母来表示这两个数；（2）请把这两个数的和与差分别表示出来.这两个式子是多项式还是单项式？（3）请将所得的和与差相乘并化简；（4）请思考：两个数的和与这两个数的差的乘积等于什么？（让学生用自己的语言描述出来）
（三）实例导入
1.创设情境，导入新课
小明去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器.小明就说出应付99.96元。这与售货员计算出的结果一样。售货员很惊讶地说：“你真是个神童，怎么算得这么快？”小明说：“过奖了，我用了刚学过的一个数学公式。”
你想知道小明用的是一个什么样的公式吗？下面我们一起来学习研究。
2.自主探究，归纳发现
师：我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘。在合并同类项前有几项？
生：4项。
师：合并同类项后，积可能是3项吗？积可能是2项吗？
生：可能。
教师出示下列习题：
（1）（x 1）（x-1）=
（2）（m 2）（m-2）=
（3）（2x 1）（2x-1）=
（4）（x 5y）（x-5y）=
（四）操作导入
问题1：你能计算下面图形（如图1）的面积吗？你能用图示法展示上述计算过程吗？
（101×99=1002-12）
问题2：将长为（a b）、宽为（a-b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形（如图2），并请用等式表示你拼成图形的面积关系.
（（a b）（a-b）=a2-b2）
问题3：此等式中的a、b应满足什么条件？对于任意的a、b，此等式成立吗？
（①a>b>0；②此式可作为公式，计算过程可省）
提供足够数量、可供归纳的素材，并具有一定的“原生态”的特征，让学生经历自然的筛选、归纳过程。
只有提供足够数量、目标明确的素材，学生才容易发现规律，产生归纳的心理需求，自发地进行归纳。人教版数学课本仅提供三个题目，素材明显不足，而且仅有正例没有反例，缺乏“衬托”，有失自然，需要增加反例重新布局。探究栏目可修改如下：
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（a b）（m n）
（2）（x p）（x q）
（3）（a b）（a b）
（4）（x 1）（x-1）
（5）（m 2）（m-2）
（6）（2x 1）（2x-1）
（7）（a 3b）（a-3b）
（8）（3x 2y）（3x-2y）
问题（1）是基本格式，以复习多项式乘法法则；问题（2）是一个重要的典型结构，映射后续的一元二次方程和一元二次函数；问题（3）一来与平方差公式作陪衬，二来为完全平方公式打基础，通过计算繁简比较，（4）到（8）这5个正例特征足以从前三个反例中显现出来。由于可供归纳的素材较多，学生很容易归纳出平方差公式，并自觉验证、运用平方差公式。学生先经过“炳杂”的计算，后享受“发现”的乐趣，经历了一个拟真的“观察比较——归纳概括——猜想验证——推理应用”的“再创造”过程。
平方差公式是多项式乘以多项式的特殊形式，教师通过钻研教材，用发现导入法精心设计，使导入课更切实有效，就是让学生顺利实现新知识向旧知识的同化，经历一次探究发现的活动过程，进一步丰富学生的数学活动经验，提高学生的思维能力。
[参 考 文 献]
[1]邬云德.初中数学导入性教学的理论与实践[J].数学教学研究.2012（12）.
[2]何昆生.初中数学导入技巧与艺术案例[J].中学教学参考.2012（19）.
（责任编辑：张华伟）