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【摘要】数学知识本身是有结构的，教学必须要有利于促进学生学习的知识是结构化的，这有赖于教师本身对小学数学知识的结构化把握。通过“抓核心目标，形成目标结构”“寻联系，形成知识结构”和“析方法，形成方法结构”可以较好地把握好写小学数学知识的结构。
【关键词】小学数学知识结构化;目标结构;知识结构;方法结构
皮亚杰认为，知识的逻辑结构具有客观性、普遍性，是个体理解世界并且作用于世界的图式，是主体与外界环境相互作用的产物，具有整体性、可调节性和可转换性等特点。数学知识本身是有结构的，教师的教学必须要有利于促进学生学习的知识是结构化的。而现实状况是，目前的很多课堂是完全按照教材分课时展开教学，学生所学的知识呈现出零散、孤立、破碎的样态，缺乏清晰完整的结构，学习过程也呈现肤浅、机械的情况。进一步深究，教师眼里也只有一节一节的课，而没有整体的观念，没有对知识深度的、结构化的把握。教师结构化方面的教学知识是比较缺乏的。那么，教师如何对教学的知识进行结构化的把握？下面结合具体的教学实例进行尝试探索。
一、抓核心目标，形成目标结构
无论一节课还是一个单元，往往都有多个学习目标，从分类来说可以分为结果性目标和过程性目标，也可以分为知识技能目标、过程与方法目标（包括数学思考和问题解决）和情感态度目标。这些目标之间有各种各样内在的联系。要把握具体目标体系的内在联系，就必须找“主要矛盾”，也就是其中起统领、支配或者勾连作用的目标。这个起统领、支配或者勾连作用的目标就是核心目标。那么，在多项目标中，怎样去识别“核心目标”呢？教材和参考用书一般都没有明示，比如北师版三年级下册《面积》，教参上单元教学目标有5条，究竟哪一个是核心目标，没有交代;回溯到课程标准，课程标准“课程目标”年段目标表述为：掌握初步的测量、识图和画图的技能。目标的表述过于笼统，太过于宏观，总让人觉得落不了地，难以起到单元核心的作用。总的来说，在教师們的学习储备里边也没有确定核心目标的现成经验。
在识别和确定核心目标的过程中，“大观念”的研究可能启发我们。大观念是什么意思呢？他是居于学科中心，涉及学科主干与核心的内容，深刻而广泛的进入学科内部，具有在新情境下迁移运用的价值，在学生忘记那些非本质信息后仍然能够持续产生影响的东西，简单说，大观念具有中心性、网络状、可迁移和持久性。比如“模式观念”就是指数学情境中出现可预测重复方式的数字或物体时，可以描述关系，以及进行概括。二年级下册“重复的奥秘”一课就体现了这样的观念。这节课学习的是重复的规律，要求能用清楚简单的方式表达规律，了解重复规律的特点，简单运用来解释或解决问题。最核心的是，最后能否在孩子的脑海里留下类似于周期问题中的一周期的模式图。据研究，数学的大观念包括数、十进制计数法、等量、比较、运算意义和关联、测量等21条。其中“测量观念”是指：物体的一些属性可以测量，借助单位量进行量化。显然，隐藏在周长、面积、表面积、体积等学习后面的大观念就是“测量观念”，这一观念是这些内容学习的灵魂，起着内在联系的作用。
如此，面积这一单元的核心目标当然就是“面积的测量”。从教材编排来看，整个单元用了五个课时展开，分别是面积的认识、面积单位、长方形正方形的面积和面积单位的换算。这一系列内容，看似相互独立各有侧重，其实每一课时都围绕着学习“用面积单位测量物体表面或图形大小”这一目标展开，学习了这一单元，学生的脑袋里应该有一个特别的表象——方格。比如“什么是面积”结合具体实例认识面积的意义，在用多种方法比较大小的过程中引出（方块）方格，为测量做概念和单位准备，此时的小方格代表面积是边线围住的平面大小，能用来比较面积大小;“面积单位”体会单位统一的必要性，认识测量面积的单位及其实际大小，此时，学生脑海里的就出现了大小不同的方格，知道了测量面积的一般方法（密铺，选择合适的单位）。长方形的面积则是在对使用小方格对特殊图形面积的测量中推导升华出一般化计算方法并能帮助估测，最后“面积单位的换算”弄清楚三种大小方格的关系。
二、寻联系，形成知识结构
用“联系”的观点看待教学内容，将分散在不同年级、阶段的分散、断裂、散点的知识梳理、归纳和整合，形成结构，弄清不同阶段的侧重点。以小学阶段学习的“平均数”为例。平均数是小学学习的唯一一个统计量，其学科核心素养是“数据分析观念”。小学阶段的数据处理在两个学段中的要求为：
第一学段的目标要求是“经历简单的数据收集、整理和分析的过程，了解简单的数据处理方法”，相应地，课程内容要求：通过对数据的简单分析，体会应用数据进行表达与交流的作用，感受数据蕴涵信息。
第二学段目标要求是“经历数据的收集、整理和分析的过程，掌握一些简单的数据处理技能”。相应地，课程内容要求：体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。
具体来说，第一学段的“数据处理”是从汇总的数据中发现最大、最小、相差、大部分是多少等信息，第二学段学习常用的平均数这个统计量。
从《课标》的要求自己可以看出，对于平均数的学习，必须重视其统计意义的理解而非仅仅会计算，统计意义的理解需要经验的积累，应该有一个螺旋上升的过程。所以北师大版小学数学教材分别安排在四下和五下两次学习，三个课时，每一次学习都是安排在认识统计图的认识之后，每次学习都有其侧重点（如下表），都是对“平均数”认识的“迭代升级”，通过学习促进学生认知结构不断丰满。
再比如，关于“面积”的学习，分布在三、五、六年级。包括面积的意义、长方形正方形三角形平行四边形梯形圆形简单组合图形不规则图形的面积和长方体正方体圆柱的表面积。三年级侧重在用单位面积直接测量基础上的一般化，五年级上册侧重在运用转化的方法推导一般化计算方法，体的表面积侧重在立体与平面转化的基础上推导一般化计算方法。在这些过程中，实际上都在用小方格进行测量，只不过分别遇到了新情况。
在本单元中，围绕面积的测量，先后研究了是什么，怎么比、怎么量、特殊图形的测量这几个知识，其关系可用以下结构图很好的表达。这一结构图展现了认知过程的联系，带有很强的普遍性是在整理中由师生共同完成，学生经历了知识由分散的“点”到联系的“线”，多点关联的过程。
三、析方法，形成方法结构
在核心目标的统领下，具有较强结构联系的知识学习同样容易发现相通的方法结构。这就要求教师指比较的基础上分析归纳。例如面积作为数学“测量”的研究的对象之一，在教学时与周长、体积的测量学习有相似的方法，教师理解这种方法结构上的一致性是必要的。那么，有哪些方法呢？
首先是要结合具体实在的例子认识含义，形成正确的概念。这些例子包括具体的事物、实际的操作活动、多种（直观、直接、间接）比较活动。通过这些活动，认识到“周长就是一根线的长度，面积就是一个面的大小，体积就是一个体的大小”。其次，在测量中体会统一单位的必要性，结合身边熟悉的事物把握测量单位的实际大小，用工具度量和推理的方法弄清楚单位之间的进率。再次，经历探索特殊形体测量的探究过程，从工具度量出发，经过猜想、推理、验证的过程发现计算公式，掌握公式度量的方法。
综上，从目标、知识、方法三个方面入手，可以较好地帮助教师把握小学的知识结构，加强教师学科专业能力，从而为促进学生认知结构化，实现深度学习打下基础。
【参考文献】
[1]皮亚杰.结构主义[M].倪连生，王琳，译.北京：商务印书馆，1994.
[2]《义务教数学课程标准（2011版）》
【关键词】小学数学知识结构化;目标结构;知识结构;方法结构
皮亚杰认为，知识的逻辑结构具有客观性、普遍性，是个体理解世界并且作用于世界的图式，是主体与外界环境相互作用的产物，具有整体性、可调节性和可转换性等特点。数学知识本身是有结构的，教师的教学必须要有利于促进学生学习的知识是结构化的。而现实状况是，目前的很多课堂是完全按照教材分课时展开教学，学生所学的知识呈现出零散、孤立、破碎的样态，缺乏清晰完整的结构，学习过程也呈现肤浅、机械的情况。进一步深究，教师眼里也只有一节一节的课，而没有整体的观念，没有对知识深度的、结构化的把握。教师结构化方面的教学知识是比较缺乏的。那么，教师如何对教学的知识进行结构化的把握？下面结合具体的教学实例进行尝试探索。
一、抓核心目标，形成目标结构
无论一节课还是一个单元，往往都有多个学习目标，从分类来说可以分为结果性目标和过程性目标，也可以分为知识技能目标、过程与方法目标（包括数学思考和问题解决）和情感态度目标。这些目标之间有各种各样内在的联系。要把握具体目标体系的内在联系，就必须找“主要矛盾”，也就是其中起统领、支配或者勾连作用的目标。这个起统领、支配或者勾连作用的目标就是核心目标。那么，在多项目标中，怎样去识别“核心目标”呢？教材和参考用书一般都没有明示，比如北师版三年级下册《面积》，教参上单元教学目标有5条，究竟哪一个是核心目标，没有交代;回溯到课程标准，课程标准“课程目标”年段目标表述为：掌握初步的测量、识图和画图的技能。目标的表述过于笼统，太过于宏观，总让人觉得落不了地，难以起到单元核心的作用。总的来说，在教师們的学习储备里边也没有确定核心目标的现成经验。
在识别和确定核心目标的过程中，“大观念”的研究可能启发我们。大观念是什么意思呢？他是居于学科中心，涉及学科主干与核心的内容，深刻而广泛的进入学科内部，具有在新情境下迁移运用的价值，在学生忘记那些非本质信息后仍然能够持续产生影响的东西，简单说，大观念具有中心性、网络状、可迁移和持久性。比如“模式观念”就是指数学情境中出现可预测重复方式的数字或物体时，可以描述关系，以及进行概括。二年级下册“重复的奥秘”一课就体现了这样的观念。这节课学习的是重复的规律，要求能用清楚简单的方式表达规律，了解重复规律的特点，简单运用来解释或解决问题。最核心的是，最后能否在孩子的脑海里留下类似于周期问题中的一周期的模式图。据研究，数学的大观念包括数、十进制计数法、等量、比较、运算意义和关联、测量等21条。其中“测量观念”是指：物体的一些属性可以测量，借助单位量进行量化。显然，隐藏在周长、面积、表面积、体积等学习后面的大观念就是“测量观念”，这一观念是这些内容学习的灵魂，起着内在联系的作用。
如此，面积这一单元的核心目标当然就是“面积的测量”。从教材编排来看，整个单元用了五个课时展开，分别是面积的认识、面积单位、长方形正方形的面积和面积单位的换算。这一系列内容，看似相互独立各有侧重，其实每一课时都围绕着学习“用面积单位测量物体表面或图形大小”这一目标展开，学习了这一单元，学生的脑袋里应该有一个特别的表象——方格。比如“什么是面积”结合具体实例认识面积的意义，在用多种方法比较大小的过程中引出（方块）方格，为测量做概念和单位准备，此时的小方格代表面积是边线围住的平面大小，能用来比较面积大小;“面积单位”体会单位统一的必要性，认识测量面积的单位及其实际大小，此时，学生脑海里的就出现了大小不同的方格，知道了测量面积的一般方法（密铺，选择合适的单位）。长方形的面积则是在对使用小方格对特殊图形面积的测量中推导升华出一般化计算方法并能帮助估测，最后“面积单位的换算”弄清楚三种大小方格的关系。
二、寻联系，形成知识结构
用“联系”的观点看待教学内容，将分散在不同年级、阶段的分散、断裂、散点的知识梳理、归纳和整合，形成结构，弄清不同阶段的侧重点。以小学阶段学习的“平均数”为例。平均数是小学学习的唯一一个统计量，其学科核心素养是“数据分析观念”。小学阶段的数据处理在两个学段中的要求为：
第一学段的目标要求是“经历简单的数据收集、整理和分析的过程，了解简单的数据处理方法”，相应地，课程内容要求：通过对数据的简单分析，体会应用数据进行表达与交流的作用，感受数据蕴涵信息。
第二学段目标要求是“经历数据的收集、整理和分析的过程，掌握一些简单的数据处理技能”。相应地，课程内容要求：体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。
具体来说，第一学段的“数据处理”是从汇总的数据中发现最大、最小、相差、大部分是多少等信息，第二学段学习常用的平均数这个统计量。
从《课标》的要求自己可以看出，对于平均数的学习，必须重视其统计意义的理解而非仅仅会计算，统计意义的理解需要经验的积累，应该有一个螺旋上升的过程。所以北师大版小学数学教材分别安排在四下和五下两次学习，三个课时，每一次学习都是安排在认识统计图的认识之后，每次学习都有其侧重点（如下表），都是对“平均数”认识的“迭代升级”，通过学习促进学生认知结构不断丰满。
再比如，关于“面积”的学习，分布在三、五、六年级。包括面积的意义、长方形正方形三角形平行四边形梯形圆形简单组合图形不规则图形的面积和长方体正方体圆柱的表面积。三年级侧重在用单位面积直接测量基础上的一般化，五年级上册侧重在运用转化的方法推导一般化计算方法，体的表面积侧重在立体与平面转化的基础上推导一般化计算方法。在这些过程中，实际上都在用小方格进行测量，只不过分别遇到了新情况。
在本单元中，围绕面积的测量，先后研究了是什么，怎么比、怎么量、特殊图形的测量这几个知识，其关系可用以下结构图很好的表达。这一结构图展现了认知过程的联系，带有很强的普遍性是在整理中由师生共同完成，学生经历了知识由分散的“点”到联系的“线”，多点关联的过程。
三、析方法，形成方法结构
在核心目标的统领下，具有较强结构联系的知识学习同样容易发现相通的方法结构。这就要求教师指比较的基础上分析归纳。例如面积作为数学“测量”的研究的对象之一，在教学时与周长、体积的测量学习有相似的方法，教师理解这种方法结构上的一致性是必要的。那么，有哪些方法呢？
首先是要结合具体实在的例子认识含义，形成正确的概念。这些例子包括具体的事物、实际的操作活动、多种（直观、直接、间接）比较活动。通过这些活动，认识到“周长就是一根线的长度，面积就是一个面的大小，体积就是一个体的大小”。其次，在测量中体会统一单位的必要性，结合身边熟悉的事物把握测量单位的实际大小，用工具度量和推理的方法弄清楚单位之间的进率。再次，经历探索特殊形体测量的探究过程，从工具度量出发，经过猜想、推理、验证的过程发现计算公式，掌握公式度量的方法。
综上，从目标、知识、方法三个方面入手，可以较好地帮助教师把握小学的知识结构，加强教师学科专业能力，从而为促进学生认知结构化，实现深度学习打下基础。
【参考文献】
[1]皮亚杰.结构主义[M].倪连生，王琳，译.北京：商务印书馆，1994.
[2]《义务教数学课程标准（2011版）》