论文部分内容阅读
摘 要:本文首先在两种情况下用切线法证明形如![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps213.png)
且满足
的对称不等式,构造在均值
点处的切线
,用
来近似
在
处的值;然后通过举例可知用切线法证明该类不等式是比较有效的.
关键词:不等式;切线法;对称性
1引言
不等式与函数是两个重要的工具,二者有着紧密联系.在数学思想方法中,常见的用来证明不等式的有很多,例如构造函数法,构造向量法,构造对偶式法,增量代换法,均值不等式法等.本文用切线法来处理不等式问题,借助函数的图像,利用数形结合思想,往往能收到意想不到的效果.
2 用切线法证明一类不等式
下面重点研究用直接法和间接法来证明不等式.通过具体实例,展现切线法证明不等式的灵活和简便.为今后的一类不等式的证明打开思路,另辟新径.
2.1直接使用切线方法证明一类不等式
首先从求一个函数的最小值出发,给出用切线法证明一类特殊不等式的基本思想.
例1
均是正实数,且
,
求三元函数
的最小值,并给出证明.(03湖南省数学竞赛题)[1]
解:设
.
则
在
處的切线方程为
.
首先证明
,
, (1)
即证
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps231.png)
此式显然成立.
同理有
(2)
(3)
式相加得
,当且仅当
时,
这里,我们考虑
与
有什么关系?研究函数的性质不难发现直线
是函数
在
处的切线,且位于
圖像的下侧,故在
附近可用
来近似估计
.
例2 设
且
证明:
(05第八届香港奥数)[1]
证明:设
原不等式即为
其中
且
.
因为
在
处的切线为
下面证明
,
即证
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps261.png)
上式顯然成立.
所以
故
原不等式得证.
通过例2的证明,我们可以得到如下结论:在证明形如
且满足
的不等式(或对称不等式)时,可以构造在均值
点处的切线
,用
来近似估计
的值,再比较
与
的大小,从而完成不等式的证明.
三、总结
通过以上的一类不等式可以看出
利用切线方法证明是非常有效的.在各类数学竞赛试题中
有的不等式证明可以利用本文所述的方法.在众多的证明方法中
选择合适有效的策略
无疑为不等式的解题提供更大的平台[5].
参考文献
[1] 蔡玉书.数学奥林匹克中的不等式研究[M].苏州大学出版社.2007年9月.
[2] 邓赞武.用切线法新探一类条件不等式[J].数学教学通讯.2008(06).
[3] 蒋斌编.通过构造“零件不等式” 证明不等式[J].中学数学研究.2008(07).
[4] 张宏.利用切线方程证明不等式[J].中等数学.2009(04).
[5] 周斌.构造切线证明一类对称不等式[J].中学数学研究.2011(01).
作者简介:张丹,(1987,10-),汉,内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹镇,大学本科,中学一级教师,毕业院校,内蒙古民族大学。
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps213.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps214.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps215.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps216.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps217.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps218.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps219.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps220.png)
关键词:不等式;切线法;对称性
1引言
不等式与函数是两个重要的工具,二者有着紧密联系.在数学思想方法中,常见的用来证明不等式的有很多,例如构造函数法,构造向量法,构造对偶式法,增量代换法,均值不等式法等.本文用切线法来处理不等式问题,借助函数的图像,利用数形结合思想,往往能收到意想不到的效果.
2 用切线法证明一类不等式
下面重点研究用直接法和间接法来证明不等式.通过具体实例,展现切线法证明不等式的灵活和简便.为今后的一类不等式的证明打开思路,另辟新径.
2.1直接使用切线方法证明一类不等式
首先从求一个函数的最小值出发,给出用切线法证明一类特殊不等式的基本思想.
例1
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps221.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps222.png)
求三元函数
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps223.png)
解:设
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps224.png)
则
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps225.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps226.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps227.png)
首先证明
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps228.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps229.png)
即证
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps230.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps231.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps232.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps233.png)
此式显然成立.
同理有
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps234.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps235.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps236.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps237.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps238.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps239.png)
这里,我们考虑
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps240.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps241.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps242.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps243.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps244.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps245.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps246.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps247.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps248.png)
例2 设
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps249.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps250.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps251.png)
证明:设
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps252.png)
原不等式即为
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps253.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps254.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps255.png)
因为
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps256.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps257.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps258.png)
下面证明
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps259.png)
即证
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps260.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps261.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps262.png)
上式顯然成立.
所以
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps263.png)
故
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps264.png)
原不等式得证.
通过例2的证明,我们可以得到如下结论:在证明形如
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps265.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps266.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps267.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps268.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps269.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps270.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps271.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps272.png)
三、总结
通过以上的一类不等式可以看出
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps273.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps274.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps275.png)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml3284\wps276.png)
参考文献
[1] 蔡玉书.数学奥林匹克中的不等式研究[M].苏州大学出版社.2007年9月.
[2] 邓赞武.用切线法新探一类条件不等式[J].数学教学通讯.2008(06).
[3] 蒋斌编.通过构造“零件不等式” 证明不等式[J].中学数学研究.2008(07).
[4] 张宏.利用切线方程证明不等式[J].中等数学.2009(04).
[5] 周斌.构造切线证明一类对称不等式[J].中学数学研究.2011(01).
作者简介:张丹,(1987,10-),汉,内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹镇,大学本科,中学一级教师,毕业院校,内蒙古民族大学。