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【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B【文章编号】1001-4128（2011）03-00101-01
二次函数是高中数学的重要内容。虽然在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，但是由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
1 进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知(x)= 2x2+x+2，求(x+1)
这里不能把(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设(x+1)=x2－4x+1,求(x)
这个问题理解为，已知对应法则下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得(x)=x2－6x+6
(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而(x)= x2－6x+6
2 二次函数的单调性，最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－12a］及［－b2a，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ设(x)=x2－2x－1在区间［t,t+1］上的最小值是g(t)。
求：g(t)并画出 y=g(t)的图象
解：(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2
当1∈［t,t+1］即0≤t≤1，g(t)=－2
当t＞1时，g(t)=(t)=t2－2t－1
当t＜0时，g(t)=(t+1)=t2－2
g(t)=
t2－2, (t<0)
-2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
3 二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维
类型Ⅴ：设二次函数(x)=ax2+bx+c(a>0)方程(x)－x=0的两个根x1，x2满足0 当X∈(0,x1)时，证明X<(x) 解题思路：
本题要证明的是x<(x)，(x) (1)先证明x 因为00,又a＞0,因此f(x) ＞0,即f(x)-x＞0.至此,证得x 根据韦达定理,有 x1x2=c3∵ 0＜x1＜x2<12，c=ax1x2f(0)，所以当x∈(0,x1)时f(x) 即x 二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。
紧接着师展示楠溪江的鹅卵石图创设情境：楠溪江不仅有蓝蓝的天、清清的水，而且还有各种各样形状的鹅卵石。女儿她爱不释手。她捡起小小的一块：“妈妈，它的密度又是多少？”此氛围中提出问题2：怎样知道鹅卵石的密度？从而进入固体密度的复习。
这种在课堂上精心创设情境，给学生提供丰富的、充足的、典型的、较为完整的情境氛围，有目的地创设学生学习的空间，调动学生的多种感官，放手让学生动手、动口、动脑全方位参与教学活动。使学生在生动活泼的情境中去发现、认识、理解、掌握、探究所学知识，发展自己的认知结构。在教学中，把抽象的科学知识同具体的情境结合起来，化难为易，化抽象为具体，让学生在教学氛围中暴发出学生的学习动力，有效地提高了教学质量。
总之，教师的“教”是为了“不教”，我们在教学中要提高教学的有效性就要有多种高效的教学策略，这样才能调动学生学习的主观能动性，发挥学生的创造思维，产生学生高涨的学习热情，使我们的课堂教学“回归主体，发展主体”，真正提高教学的有效性和高效性。
参考文献
［1］ 教育部《科学7-9年级课程标准》 北京大学出版社
［2］ 李琴《教师如何让课堂更加生动有趣》 吉林大学出版社
［3］ 余文森《有效教学十讲》 华东师范大学出版社
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
二次函数是高中数学的重要内容。虽然在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，但是由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
1 进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知(x)= 2x2+x+2，求(x+1)
这里不能把(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设(x+1)=x2－4x+1,求(x)
这个问题理解为，已知对应法则下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得(x)=x2－6x+6
(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而(x)= x2－6x+6
2 二次函数的单调性，最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－12a］及［－b2a，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ设(x)=x2－2x－1在区间［t,t+1］上的最小值是g(t)。
求：g(t)并画出 y=g(t)的图象
解：(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2
当1∈［t,t+1］即0≤t≤1，g(t)=－2
当t＞1时，g(t)=(t)=t2－2t－1
当t＜0时，g(t)=(t+1)=t2－2
g(t)=
t2－2, (t<0)
-2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
3 二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维
类型Ⅴ：设二次函数(x)=ax2+bx+c(a>0)方程(x)－x=0的两个根x1，x2满足0
本题要证明的是x<(x)，(x)
紧接着师展示楠溪江的鹅卵石图创设情境：楠溪江不仅有蓝蓝的天、清清的水，而且还有各种各样形状的鹅卵石。女儿她爱不释手。她捡起小小的一块：“妈妈，它的密度又是多少？”此氛围中提出问题2：怎样知道鹅卵石的密度？从而进入固体密度的复习。
这种在课堂上精心创设情境，给学生提供丰富的、充足的、典型的、较为完整的情境氛围，有目的地创设学生学习的空间，调动学生的多种感官，放手让学生动手、动口、动脑全方位参与教学活动。使学生在生动活泼的情境中去发现、认识、理解、掌握、探究所学知识，发展自己的认知结构。在教学中，把抽象的科学知识同具体的情境结合起来，化难为易，化抽象为具体，让学生在教学氛围中暴发出学生的学习动力，有效地提高了教学质量。
总之，教师的“教”是为了“不教”，我们在教学中要提高教学的有效性就要有多种高效的教学策略，这样才能调动学生学习的主观能动性，发挥学生的创造思维，产生学生高涨的学习热情，使我们的课堂教学“回归主体，发展主体”，真正提高教学的有效性和高效性。
参考文献
［1］ 教育部《科学7-9年级课程标准》 北京大学出版社
［2］ 李琴《教师如何让课堂更加生动有趣》 吉林大学出版社
［3］ 余文森《有效教学十讲》 华东师范大学出版社
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文