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【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B【文章编号】1001-4128(2011)03-00101-01
二次函数是高中数学的重要内容。虽然在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,但是由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。
1 进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射?:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
类型I:已知(x)= 2x2+x+2,求(x+1)
这里不能把(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ:设(x+1)=x2-4x+1,求(x)
这个问题理解为,已知对应法则下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。
一般有两种方法:
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得(x)=x2-6x+6
(2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而(x)= x2-6x+6
2 二次函数的单调性,最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-12a]及[-b2a,+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。
(1)y=x2+2|x-1|-1
(2)y=|x2-1|
(3)= x2+2|x|-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。
类型Ⅳ设(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求:g(t)并画出 y=g(t)的图象
解:(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2
当t>1时,g(t)=(t)=t2-2t-1
当t<0时,g(t)=(t+1)=t2-2
g(t)=
t2-2, (t<0)
-2,(0≤t≤1)
t2-2t-1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。
3 二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维
类型Ⅴ:设二次函数(x)=ax2+bx+c(a>0)方程(x)-x=0的两个根x1,x2满足0 当X∈(0,x1)时,证明X<(x) 解题思路:
本题要证明的是x<(x),(x) (1)先证明x 因为00,又a>0,因此f(x) >0,即f(x)-x>0.至此,证得x 根据韦达定理,有 x1x2=c3∵ 0<x1<x2<12,c=ax1x2f(0),所以当x∈(0,x1)时f(x) 即x 二次函数的内容涉及很广,本文只讨论至此,希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识,使我们对它的研究更深入。
紧接着师展示楠溪江的鹅卵石图创设情境:楠溪江不仅有蓝蓝的天、清清的水,而且还有各种各样形状的鹅卵石。女儿她爱不释手。她捡起小小的一块:“妈妈,它的密度又是多少?”此氛围中提出问题2:怎样知道鹅卵石的密度?从而进入固体密度的复习。
这种在课堂上精心创设情境,给学生提供丰富的、充足的、典型的、较为完整的情境氛围,有目的地创设学生学习的空间,调动学生的多种感官,放手让学生动手、动口、动脑全方位参与教学活动。使学生在生动活泼的情境中去发现、认识、理解、掌握、探究所学知识,发展自己的认知结构。在教学中,把抽象的科学知识同具体的情境结合起来,化难为易,化抽象为具体,让学生在教学氛围中暴发出学生的学习动力,有效地提高了教学质量。
总之,教师的“教”是为了“不教”,我们在教学中要提高教学的有效性就要有多种高效的教学策略,这样才能调动学生学习的主观能动性,发挥学生的创造思维,产生学生高涨的学习热情,使我们的课堂教学“回归主体,发展主体”,真正提高教学的有效性和高效性。
参考文献
[1] 教育部《科学7-9年级课程标准》 北京大学出版社
[2] 李琴《教师如何让课堂更加生动有趣》 吉林大学出版社
[3] 余文森《有效教学十讲》 华东师范大学出版社
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
二次函数是高中数学的重要内容。虽然在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,但是由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。
1 进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射?:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
类型I:已知(x)= 2x2+x+2,求(x+1)
这里不能把(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ:设(x+1)=x2-4x+1,求(x)
这个问题理解为,已知对应法则下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。
一般有两种方法:
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得(x)=x2-6x+6
(2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而(x)= x2-6x+6
2 二次函数的单调性,最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-12a]及[-b2a,+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。
(1)y=x2+2|x-1|-1
(2)y=|x2-1|
(3)= x2+2|x|-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。
类型Ⅳ设(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求:g(t)并画出 y=g(t)的图象
解:(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2
当t>1时,g(t)=(t)=t2-2t-1
当t<0时,g(t)=(t+1)=t2-2
g(t)=
t2-2, (t<0)
-2,(0≤t≤1)
t2-2t-1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。
3 二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维
类型Ⅴ:设二次函数(x)=ax2+bx+c(a>0)方程(x)-x=0的两个根x1,x2满足0
本题要证明的是x<(x),(x)
紧接着师展示楠溪江的鹅卵石图创设情境:楠溪江不仅有蓝蓝的天、清清的水,而且还有各种各样形状的鹅卵石。女儿她爱不释手。她捡起小小的一块:“妈妈,它的密度又是多少?”此氛围中提出问题2:怎样知道鹅卵石的密度?从而进入固体密度的复习。
这种在课堂上精心创设情境,给学生提供丰富的、充足的、典型的、较为完整的情境氛围,有目的地创设学生学习的空间,调动学生的多种感官,放手让学生动手、动口、动脑全方位参与教学活动。使学生在生动活泼的情境中去发现、认识、理解、掌握、探究所学知识,发展自己的认知结构。在教学中,把抽象的科学知识同具体的情境结合起来,化难为易,化抽象为具体,让学生在教学氛围中暴发出学生的学习动力,有效地提高了教学质量。
总之,教师的“教”是为了“不教”,我们在教学中要提高教学的有效性就要有多种高效的教学策略,这样才能调动学生学习的主观能动性,发挥学生的创造思维,产生学生高涨的学习热情,使我们的课堂教学“回归主体,发展主体”,真正提高教学的有效性和高效性。
参考文献
[1] 教育部《科学7-9年级课程标准》 北京大学出版社
[2] 李琴《教师如何让课堂更加生动有趣》 吉林大学出版社
[3] 余文森《有效教学十讲》 华东师范大学出版社
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文