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2018年4月，由江苏教育报刊总社主办，在无锡市蠡园中学举办了“第三届江苏省初中数学名师精品课堂观摩与研讨活动”。笔者应主办方邀请，在活动中执教了一节观摩课，课题为“初三专题复习：图形操作与变换——翻折”，并结合本节课做了一个微型报告。笔者现将这节课的教学实践与思考整理成文，与同仁交流。
一、教学实录
1.回顾与思考。
T：翻折是一种常见的图形操作，在我们的学习中常常出现。运用“翻折”，我们探索、验证了很多重要的数学结论。如图1，将等腰三角形翻折，我们验证了等腰三角形三线合一、等边对等角定理。图2验证了哪些定理呢？
S：图2几张图的翻折分别验证了线段垂直平分线性质定理、角平分线性质定理、垂径定理、切线长定理。
T：上述图形中，折痕两旁的部分之间有何关系？
S：全等。
T：上述图形中，每对关键点（如图1中的点B与点C、图2①④中的点A与点B、图2②③中的点C与点D）与折痕之间有何关系？
S：每对关键点关于折痕对称。
T：其实折痕两旁的部分也关于折痕对称。翻折生成轴对称，翻折的本质是轴对称变换，上述图形中都含有的图3是轴对称的基本图形。
2.操作与说理。
教师用PPT呈现：问题1.如何用一张矩形纸片折出等腰三角形？并说明理由。
学生思考，操作。
T：请同学们展示你是如何折的？并说明理由。
几位学生分别展示了如图4（见下页）中的3种不同折法，并分别就①中的△BCE、②中的△ACE、③中的△BCE是等腰三角形进行了说理。
T：几位同学的折法正确，说理清晰。如图4③，当点E在折痕上移动到适当的位置，等腰三角形将特殊化为等边三角形。
教师用PPT呈现：问题2.如何用一张矩形纸片折出等边三角形？并说明理由。
学生思考，操作。
T：请同学们展示你是如何折的？
S1：如图5，沿MN将矩形ABCD对折，沿CF折叠，使点B落在MN上，△BCE是等边三角形。
T：你能证明△BCE是等边三角形吗？
S1：由第一次折叠，得CE=BE，由第二次折叠，得CE=CB，所以CE=BE=CB。因此，△BCE是等边三角形。
T：真棒！两次折叠，实质是在矩形纸片上构造了两个如图3的轴对称基本图形。折叠可以构造轴对称，轴对称可以生成特殊的数量与位置关系。
3.操作与求解。
T：“折”时心中有图形（即图3），“折”后不仅可进行相关结论的说理，还可进行相关线段的长度计算。请大家看下面问题。
PPT呈现：问题3.将矩形ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在CD边上的点F处，折痕为BE。你能画出折痕BE吗？
我们的目标图形如图6，如何在矩形ABCD中画出折痕BE呢？
学生思考分析，操作尝试，交流画法。
T：如图6，若AB=10，BC=8，可求图中哪些线段的长？如何求解？
学生思考分析，展示交流CF、DE、BE的长度计算的方法。
T：请你总结解决“折叠类问题中相关计算”的方法策略。
学生交流、汇报。
教师结合DE的求解中重要过程的板书及学生的汇报，完善板书，如图7。
T：折叠给出不变量，勾股、相似寻关系，方程模型来求解。
4.操作与探索。
教师用PPT呈现：问题4.如图8，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足为D，BD=2，DC=3。AD的长确定吗？
S：AD的长确定。
T：你是如何判断的？
S2：因为AD⊥BC，垂足为D，所以点D在BC上。由BD=2，DC=3，可知点D的位置是确定的。如果AD的长发生变化，那么点A在过D点的垂线上的位置就会改变，同时∠BAC的大小也会改变。而∠BAC=45°，所以AD的长不能改变，是确定的。
T：从变化的视角分析，清晰透彻。既然AD的长确定，如何求AD的长呢？
学生思考、讨论。
T：在巡视中，发现同学们有不同的思考，下面请有思路的同学，和大家分享你的思考。
T：3位同学思路不同，关键是他们从不同角度发挥了∠BAC=45°这一条件的价值。其中，前两种解法都属于静态常规解法，第三种解法运用了动态变换的思路，解答过程更加简洁。
5.小结与思考。
教师用PPT呈現：美籍华人布莱恩·陈是美国麻省理工学院的工艺教授，他最擅长的就是折纸。纸片的翻折成就了麻省理工学院工艺教授，今天的“翻折”复习，你收获了什么？
S6：通过今天的复习，我们进一步认清了翻折的本质，它最基本的图形是图3。
S7：翻折类问题，往往要根据轴对称性质、勾股定理、相似三角形性质，运用方程模型求解。
S8：运用“翻折”可以巧妙地解决问题，如本节课问题4的“翻折”解法。
T：3位同学小结得非常好。希望今天的课能让大家紧扣基本图形、认清“翻折”本质，掌握解决“翻折”类问题的基本策略，形成“翻折”变换意识，培养运动变化的观念。
二、课后反思
1.复习要回归教材。
教材是按照课程标准的要求编写的，经过严格审查，具有全面、系统、科学性的教学用书。它是一个课程的核心教学材料，是数学知识、方法、能力的“生长地”，是考试的重要依据，命题的“策源地”。因此，教师的“教”要立足教材，学生的“学”要始于教材，教与学的活动都要围绕它有序开展，用好它扎实推进。复习阶段的教学也不能丢掉教材，要回归教材。这样有助于学生对概念的再认识，形成完整的知识结构。 本节复习课的引入，是在回归教材中展开。5组教材定理验证图形，引发了学生对等腰三角形性质定理、线段垂直平分线性质定理、角平分线性质定理、垂径定理、切线长定理的回顾；将它们集中呈现在一起，引发了学生对它们之间的联系与共同特征的思考。在“折痕两旁的部分之间有何关系”的思考中，认清翻折的本质，提炼出翻折的基本图形。
2.复习要突出本质。
“本质”是指事物本身所固有的，决定事物性质、面貌和發展的根本属性。数学本质在宏观上就是指“什么是数学”“数学是什么”；在微观上是指具体数学内容的本真意义，隐藏其背后的数学规律，统摄它的数学思想方法。数学教学要突出“本质”，让学生理解数学概念，把握数学思维方式，感悟数学思想方法。数学复习课的教学，更要突出本质，加强联系，形成认知结构。
本节课，在“回顾与思考”环节，让学生在“对由翻折验证的几个定理的回顾、再认识、再思考”中，厘清翻折生成轴对称，翻折的本质是轴对称变换。在“操作与说理”“操作与求解”“操作与探索”三个环节，让学生通过实践操作，数学思考、说理、求解、探索，进一步认清“翻折”前后两部分成轴对称的本质特征，感悟“翻折”中渗透的运动变化观念。
3.复习要提炼方法。
提炼方法是科学思维的重要手段之一。在数学教学过程中，教师不仅要向学生传授数学知识，还要挖掘、提炼知识背后隐含的数学思想方法，从而培养学生的数学思维能力。复习课更要重视解题方法的提炼，让学生能举一反三，从而提高在解题时思维的敏捷性。
本节课的“操作与求解”环节设计思路是：让学生在操作中认识折叠的价值，从而思考求解；在解题后反思提炼，形成策略方法。其中，解决问题后的反思活动，先让学生总结解决“折叠类问题中相关计算”的方法策略，而后在学生反思、交流的基础上，概括、提炼形成了如图7的板书。这样让学生参与，教师提炼，并形成板书的解题反思更充分、更有效。
4.复习要学生参与。
复习是帮助学生对已学知识进行系统回忆并产生再认识的过程。因为具体知识内容已学过，所以复习课没有了新鲜感。简单的重复式复习只会让学生感到枯燥、乏味，教师“满堂灌”式的复习只会让学生缺乏主动性，这些都会导致学生的课堂学习状态不积极、不配合，甚至是不参与，复习的效率低下。因此，提高复习课的效率，除了知识梳理、精选例习题之外，还要精心设计活动，让学生积极参与。
本节课的教学设计，不是单调的知识梳理后的“解题教学”式复习，而是问题导引下的“综合实践活动”式复习。在回顾教材，认清“翻折”的数学本质之后，围绕“翻折”这一复习主题，以4个问题为载体，引领学生在“折纸”操作中说理，在“画图”操作后求解，在“翻折”操作中探索，最后在折纸艺术欣赏中进行课堂小结，感悟数学文化，反思提炼学习收获。本节课的教学，变例题为引领数学活动的问题，设计从实践操作到理性思考、从问题解决到方法提炼、从文化感悟到小结提升的数学活动，有效调动了学生参与的积极性、主动性，提高了复习的效率。
（作者单位：江苏省南京市雨花台中学）
本文系江苏省第11期中小学教学研究课题 “初中数学‘综合与实践’教学的校本化研究” （课题立项编号2015JK11-L004）的阶段性研究成果。
一、教学实录
1.回顾与思考。
T：翻折是一种常见的图形操作，在我们的学习中常常出现。运用“翻折”，我们探索、验证了很多重要的数学结论。如图1，将等腰三角形翻折，我们验证了等腰三角形三线合一、等边对等角定理。图2验证了哪些定理呢？
S：图2几张图的翻折分别验证了线段垂直平分线性质定理、角平分线性质定理、垂径定理、切线长定理。
T：上述图形中，折痕两旁的部分之间有何关系？
S：全等。
T：上述图形中，每对关键点（如图1中的点B与点C、图2①④中的点A与点B、图2②③中的点C与点D）与折痕之间有何关系？
S：每对关键点关于折痕对称。
T：其实折痕两旁的部分也关于折痕对称。翻折生成轴对称，翻折的本质是轴对称变换，上述图形中都含有的图3是轴对称的基本图形。
2.操作与说理。
教师用PPT呈现：问题1.如何用一张矩形纸片折出等腰三角形？并说明理由。
学生思考，操作。
T：请同学们展示你是如何折的？并说明理由。
几位学生分别展示了如图4（见下页）中的3种不同折法，并分别就①中的△BCE、②中的△ACE、③中的△BCE是等腰三角形进行了说理。
T：几位同学的折法正确，说理清晰。如图4③，当点E在折痕上移动到适当的位置，等腰三角形将特殊化为等边三角形。
教师用PPT呈现：问题2.如何用一张矩形纸片折出等边三角形？并说明理由。
学生思考，操作。
T：请同学们展示你是如何折的？
S1：如图5，沿MN将矩形ABCD对折，沿CF折叠，使点B落在MN上，△BCE是等边三角形。
T：你能证明△BCE是等边三角形吗？
S1：由第一次折叠，得CE=BE，由第二次折叠，得CE=CB，所以CE=BE=CB。因此，△BCE是等边三角形。
T：真棒！两次折叠，实质是在矩形纸片上构造了两个如图3的轴对称基本图形。折叠可以构造轴对称，轴对称可以生成特殊的数量与位置关系。
3.操作与求解。
T：“折”时心中有图形（即图3），“折”后不仅可进行相关结论的说理，还可进行相关线段的长度计算。请大家看下面问题。
PPT呈现：问题3.将矩形ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在CD边上的点F处，折痕为BE。你能画出折痕BE吗？
我们的目标图形如图6，如何在矩形ABCD中画出折痕BE呢？
学生思考分析，操作尝试，交流画法。
T：如图6，若AB=10，BC=8，可求图中哪些线段的长？如何求解？
学生思考分析，展示交流CF、DE、BE的长度计算的方法。
T：请你总结解决“折叠类问题中相关计算”的方法策略。
学生交流、汇报。
教师结合DE的求解中重要过程的板书及学生的汇报，完善板书，如图7。
T：折叠给出不变量，勾股、相似寻关系，方程模型来求解。
4.操作与探索。
教师用PPT呈现：问题4.如图8，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足为D，BD=2，DC=3。AD的长确定吗？
S：AD的长确定。
T：你是如何判断的？
S2：因为AD⊥BC，垂足为D，所以点D在BC上。由BD=2，DC=3，可知点D的位置是确定的。如果AD的长发生变化，那么点A在过D点的垂线上的位置就会改变，同时∠BAC的大小也会改变。而∠BAC=45°，所以AD的长不能改变，是确定的。
T：从变化的视角分析，清晰透彻。既然AD的长确定，如何求AD的长呢？
学生思考、讨论。
T：在巡视中，发现同学们有不同的思考，下面请有思路的同学，和大家分享你的思考。
T：3位同学思路不同，关键是他们从不同角度发挥了∠BAC=45°这一条件的价值。其中，前两种解法都属于静态常规解法，第三种解法运用了动态变换的思路，解答过程更加简洁。
5.小结与思考。
教师用PPT呈現：美籍华人布莱恩·陈是美国麻省理工学院的工艺教授，他最擅长的就是折纸。纸片的翻折成就了麻省理工学院工艺教授，今天的“翻折”复习，你收获了什么？
S6：通过今天的复习，我们进一步认清了翻折的本质，它最基本的图形是图3。
S7：翻折类问题，往往要根据轴对称性质、勾股定理、相似三角形性质，运用方程模型求解。
S8：运用“翻折”可以巧妙地解决问题，如本节课问题4的“翻折”解法。
T：3位同学小结得非常好。希望今天的课能让大家紧扣基本图形、认清“翻折”本质，掌握解决“翻折”类问题的基本策略，形成“翻折”变换意识，培养运动变化的观念。
二、课后反思
1.复习要回归教材。
教材是按照课程标准的要求编写的，经过严格审查，具有全面、系统、科学性的教学用书。它是一个课程的核心教学材料，是数学知识、方法、能力的“生长地”，是考试的重要依据，命题的“策源地”。因此，教师的“教”要立足教材，学生的“学”要始于教材，教与学的活动都要围绕它有序开展，用好它扎实推进。复习阶段的教学也不能丢掉教材，要回归教材。这样有助于学生对概念的再认识，形成完整的知识结构。 本节复习课的引入，是在回归教材中展开。5组教材定理验证图形，引发了学生对等腰三角形性质定理、线段垂直平分线性质定理、角平分线性质定理、垂径定理、切线长定理的回顾；将它们集中呈现在一起，引发了学生对它们之间的联系与共同特征的思考。在“折痕两旁的部分之间有何关系”的思考中，认清翻折的本质，提炼出翻折的基本图形。
2.复习要突出本质。
“本质”是指事物本身所固有的，决定事物性质、面貌和發展的根本属性。数学本质在宏观上就是指“什么是数学”“数学是什么”；在微观上是指具体数学内容的本真意义，隐藏其背后的数学规律，统摄它的数学思想方法。数学教学要突出“本质”，让学生理解数学概念，把握数学思维方式，感悟数学思想方法。数学复习课的教学，更要突出本质，加强联系，形成认知结构。
本节课，在“回顾与思考”环节，让学生在“对由翻折验证的几个定理的回顾、再认识、再思考”中，厘清翻折生成轴对称，翻折的本质是轴对称变换。在“操作与说理”“操作与求解”“操作与探索”三个环节，让学生通过实践操作，数学思考、说理、求解、探索，进一步认清“翻折”前后两部分成轴对称的本质特征，感悟“翻折”中渗透的运动变化观念。
3.复习要提炼方法。
提炼方法是科学思维的重要手段之一。在数学教学过程中，教师不仅要向学生传授数学知识，还要挖掘、提炼知识背后隐含的数学思想方法，从而培养学生的数学思维能力。复习课更要重视解题方法的提炼，让学生能举一反三，从而提高在解题时思维的敏捷性。
本节课的“操作与求解”环节设计思路是：让学生在操作中认识折叠的价值，从而思考求解；在解题后反思提炼，形成策略方法。其中，解决问题后的反思活动，先让学生总结解决“折叠类问题中相关计算”的方法策略，而后在学生反思、交流的基础上，概括、提炼形成了如图7的板书。这样让学生参与，教师提炼，并形成板书的解题反思更充分、更有效。
4.复习要学生参与。
复习是帮助学生对已学知识进行系统回忆并产生再认识的过程。因为具体知识内容已学过，所以复习课没有了新鲜感。简单的重复式复习只会让学生感到枯燥、乏味，教师“满堂灌”式的复习只会让学生缺乏主动性，这些都会导致学生的课堂学习状态不积极、不配合，甚至是不参与，复习的效率低下。因此，提高复习课的效率，除了知识梳理、精选例习题之外，还要精心设计活动，让学生积极参与。
本节课的教学设计，不是单调的知识梳理后的“解题教学”式复习，而是问题导引下的“综合实践活动”式复习。在回顾教材，认清“翻折”的数学本质之后，围绕“翻折”这一复习主题，以4个问题为载体，引领学生在“折纸”操作中说理，在“画图”操作后求解，在“翻折”操作中探索，最后在折纸艺术欣赏中进行课堂小结，感悟数学文化，反思提炼学习收获。本节课的教学，变例题为引领数学活动的问题，设计从实践操作到理性思考、从问题解决到方法提炼、从文化感悟到小结提升的数学活动，有效调动了学生参与的积极性、主动性，提高了复习的效率。
（作者单位：江苏省南京市雨花台中学）
本文系江苏省第11期中小学教学研究课题 “初中数学‘综合与实践’教学的校本化研究” （课题立项编号2015JK11-L004）的阶段性研究成果。