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摘 要: 从特殊入手研究数列的性质,再扩大到一般,有利于培养学生良好的思维习惯,提高分析问题和解决问题的能力.
关键词: 函数与数列 特殊到一般 类比归纳
数列的学习在整个高中数学中比重很大,难度不小,重在培养学生的观察、分析、归纳、猜想、推理能力,以及知识、方法的迁移能力,使学生逐步养成细心观察、认真分析、善于总结的好习惯.这所迷宫以等差数列、等比数列为基石,复杂多变,让很多学生都难以捉摸.数列的通项和前项和是问题的关卡,从特殊到一般[1],运用已有的认知结构,才能打通新问题的转化路径.
1.探求数列通项
数列作为一种特殊的函数,数列的通项公式是相应的函数解析式.研究函数性质主要是抓住函数解析式,所以研究数列性质时经常需要求出数列的通项公式.
案例1:已知数列{a■}中首项a■=a,满足a■=a■ n 1,求数列{a■}的通项.
解法一:(累加法)移项得a■-a■=n 1,有a■-a■=2,a■-a■=3,…,a■-a■=n,变形相加得a■-a■=■-1(n≥2);当n=1时,也适合左边的等式.所以a■=■ a-1.
解法二:(待定系数法)设a■=x·n■ yn z,依次求出前四项为a,a 2,a 5,a 9,代入解出x=■,y=■,z=a-1,则a■=■ a-1.代入验证,递推公式成立.
解法一对多个等式进行累加消去,转化为一般项a■与首项a■的关系,进而表示通项公式.解法二是建立在解法一的基础上,通过观察分析通项结果形式,直接设通项公式的类型,由特殊几项求出系数,得到一般项的公式,即通项公式.不妨推广到一般情况.
推广1:已知数列{a■}中首项a■=a,满足a■=a■ kn p(其中k,p为常数),求数列{a■}的通项.
分析:设a■=A·n■ Bn C,依次求出前四项为a,a k p,a 3k 2p,a 6k 3p,代入解出A=■,B=p-■,C=a-p.代入验证,递推公式成立.当k=p=1时,与案例1吻合.当k=0时,a■=a■ p,则{a■}是等差数列,此时A=0,B=p,C=a-p.
等差数列是一类重要的数列模型,从函数角度看,等差数列是一次型函数[2].推广1数列是二次型函数,数列的后一项减前一项,组成的新数列是等差数列,这样的数列被称为二级等差数列,形象地称差后等差数列,比如3,7,12,18,25,….等差数列求和后得到的数列{S■}满足S■-S■=a■(n≥2),所以{S■}是二级等差数列.从公式S■=na■ ■d可看出等差数列的前n项和是二次型函数.类似的,三级等差数列是三次型函数,比如1,10,31,70,133,…通项公式为a■=n■ 2n-2.从递推关系的特征入手,由特殊到一般,确定数列的通项公式.这样的方法同样适用数列的前n项和问题.
2.研究等比数列
等比数列是刻画离散现象的重要数学模型,可帮助解决很多实际问题,比如生活中的分期付款、资产折旧等,数学上的分形几何等.从函数角度看,等比数列是指数型函数,可类比等差数列进行分析.
案例2:已知数列{a■}中首项a■=a,满足a■=2a■ n 1,求数列{a■}的通项.
解法一:(构造法)令a■ x(n 1) y=2(a■ xn y),与已知递推公式比较,解出x=1,y=2,从而转化为新数列{b■},b■=a■ n 2,新首项b■=a 3.若a=-3即b■=0,则b■=0,即新数列是等差数列,所以a■=-n-2,也是等差数列;若a≠-3即b■≠0,则新数列是公比为2的等比数列,所以b■=b■·2■=(a 3)·2■,得出a■=(a 3)·2■-n-2.分类讨论后对比两个公式,数列{a■}可以统一为a■=(a 3)·2■-n-2.
解法二:(待定系数法)设a■=x·2■ yn z,依次求出前四项为a,2a 2,4a 7,8a 18,代入解出x=■,y=-1,z=-2,则a■=(a 3)·2■-n-2.代入验证,递推公式成立.
推广2已知数列{a■}中首项a■=a,满足a■=qa■ kn p(q≠0且q≠1,k,p为常数),求数列{a■}的通项.
分析:设a■=A·q■ Bn C,依次求出前三项为a,qa k p,q■a q(k p) 2k p,代入解出A=■ ■-■,B=■,C=■-■.代入验证,递推公式成立.
当q=2,k=1,p=1时,与案例2吻合.当q=2,k=0,p=1时,a■=2a■ 1,A=■,B=0,C=-1,有a■=(a 1)·2■-1.当q=2,k=0,p=0时,a■=2a■,则{a■}是等比数列(首项a≠0),此时A=■,B=C=0,a■=a·2■.
3.反思分析
等比数列求和的第一步是辨清q=1还是q≠1,若q=1则数列也是公差为0的等差数列,称为常数列.在推广2中若q=1,推广2的结论将没有意义,要回到推广1.在实际教学中,学生总会忽视对公比的讨论.
在案例2解法一的构造过程中,需要对{a■}的首项分两种情况讨论,因为这直接影响新数列{b■}的类型,以及原数列{a■}的性质.在推广2中令A=0,即a=■-■时,{a■}是关于的一次函数,所以{a■}是等差数列.当a≠■-■即A≠0时,a■表达式中含有q■项,也就是说a■不是关于n的一次函数,所以{a■}不是等差数列.所以对于同一个递推关系,首项的异样会导致数列性质的不同.特别是在填空题中,检验核对前三项,可避免计算错误,减少低级问题,比如首项不符的分段数列.
参考文献:
[1]杨鹏飞.例谈从特殊到一般思维方法的培养[J].数学学习与研究,2011(19).
[2]梁长会,任宪伟.多角度求解一类等差数列客观题[J].数学通讯,2013(17).
关键词: 函数与数列 特殊到一般 类比归纳
数列的学习在整个高中数学中比重很大,难度不小,重在培养学生的观察、分析、归纳、猜想、推理能力,以及知识、方法的迁移能力,使学生逐步养成细心观察、认真分析、善于总结的好习惯.这所迷宫以等差数列、等比数列为基石,复杂多变,让很多学生都难以捉摸.数列的通项和前项和是问题的关卡,从特殊到一般[1],运用已有的认知结构,才能打通新问题的转化路径.
1.探求数列通项
数列作为一种特殊的函数,数列的通项公式是相应的函数解析式.研究函数性质主要是抓住函数解析式,所以研究数列性质时经常需要求出数列的通项公式.
案例1:已知数列{a■}中首项a■=a,满足a■=a■ n 1,求数列{a■}的通项.
解法一:(累加法)移项得a■-a■=n 1,有a■-a■=2,a■-a■=3,…,a■-a■=n,变形相加得a■-a■=■-1(n≥2);当n=1时,也适合左边的等式.所以a■=■ a-1.
解法二:(待定系数法)设a■=x·n■ yn z,依次求出前四项为a,a 2,a 5,a 9,代入解出x=■,y=■,z=a-1,则a■=■ a-1.代入验证,递推公式成立.
解法一对多个等式进行累加消去,转化为一般项a■与首项a■的关系,进而表示通项公式.解法二是建立在解法一的基础上,通过观察分析通项结果形式,直接设通项公式的类型,由特殊几项求出系数,得到一般项的公式,即通项公式.不妨推广到一般情况.
推广1:已知数列{a■}中首项a■=a,满足a■=a■ kn p(其中k,p为常数),求数列{a■}的通项.
分析:设a■=A·n■ Bn C,依次求出前四项为a,a k p,a 3k 2p,a 6k 3p,代入解出A=■,B=p-■,C=a-p.代入验证,递推公式成立.当k=p=1时,与案例1吻合.当k=0时,a■=a■ p,则{a■}是等差数列,此时A=0,B=p,C=a-p.
等差数列是一类重要的数列模型,从函数角度看,等差数列是一次型函数[2].推广1数列是二次型函数,数列的后一项减前一项,组成的新数列是等差数列,这样的数列被称为二级等差数列,形象地称差后等差数列,比如3,7,12,18,25,….等差数列求和后得到的数列{S■}满足S■-S■=a■(n≥2),所以{S■}是二级等差数列.从公式S■=na■ ■d可看出等差数列的前n项和是二次型函数.类似的,三级等差数列是三次型函数,比如1,10,31,70,133,…通项公式为a■=n■ 2n-2.从递推关系的特征入手,由特殊到一般,确定数列的通项公式.这样的方法同样适用数列的前n项和问题.
2.研究等比数列
等比数列是刻画离散现象的重要数学模型,可帮助解决很多实际问题,比如生活中的分期付款、资产折旧等,数学上的分形几何等.从函数角度看,等比数列是指数型函数,可类比等差数列进行分析.
案例2:已知数列{a■}中首项a■=a,满足a■=2a■ n 1,求数列{a■}的通项.
解法一:(构造法)令a■ x(n 1) y=2(a■ xn y),与已知递推公式比较,解出x=1,y=2,从而转化为新数列{b■},b■=a■ n 2,新首项b■=a 3.若a=-3即b■=0,则b■=0,即新数列是等差数列,所以a■=-n-2,也是等差数列;若a≠-3即b■≠0,则新数列是公比为2的等比数列,所以b■=b■·2■=(a 3)·2■,得出a■=(a 3)·2■-n-2.分类讨论后对比两个公式,数列{a■}可以统一为a■=(a 3)·2■-n-2.
解法二:(待定系数法)设a■=x·2■ yn z,依次求出前四项为a,2a 2,4a 7,8a 18,代入解出x=■,y=-1,z=-2,则a■=(a 3)·2■-n-2.代入验证,递推公式成立.
推广2已知数列{a■}中首项a■=a,满足a■=qa■ kn p(q≠0且q≠1,k,p为常数),求数列{a■}的通项.
分析:设a■=A·q■ Bn C,依次求出前三项为a,qa k p,q■a q(k p) 2k p,代入解出A=■ ■-■,B=■,C=■-■.代入验证,递推公式成立.
当q=2,k=1,p=1时,与案例2吻合.当q=2,k=0,p=1时,a■=2a■ 1,A=■,B=0,C=-1,有a■=(a 1)·2■-1.当q=2,k=0,p=0时,a■=2a■,则{a■}是等比数列(首项a≠0),此时A=■,B=C=0,a■=a·2■.
3.反思分析
等比数列求和的第一步是辨清q=1还是q≠1,若q=1则数列也是公差为0的等差数列,称为常数列.在推广2中若q=1,推广2的结论将没有意义,要回到推广1.在实际教学中,学生总会忽视对公比的讨论.
在案例2解法一的构造过程中,需要对{a■}的首项分两种情况讨论,因为这直接影响新数列{b■}的类型,以及原数列{a■}的性质.在推广2中令A=0,即a=■-■时,{a■}是关于的一次函数,所以{a■}是等差数列.当a≠■-■即A≠0时,a■表达式中含有q■项,也就是说a■不是关于n的一次函数,所以{a■}不是等差数列.所以对于同一个递推关系,首项的异样会导致数列性质的不同.特别是在填空题中,检验核对前三项,可避免计算错误,减少低级问题,比如首项不符的分段数列.
参考文献:
[1]杨鹏飞.例谈从特殊到一般思维方法的培养[J].数学学习与研究,2011(19).
[2]梁长会,任宪伟.多角度求解一类等差数列客观题[J].数学通讯,2013(17).