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[摘 要]人教版教材“数学广角”的教学内容有较高的思维难度，学生学习起来会有一定的困难。以“鸡兔同笼”问题的教学为例，借助动态的直观图，可化复杂、抽象为简明、形象，促进学生在数学活动中理解假设法，对学生认知的建构、方法的感悟和思维能力的培养有着积极的意义。
[关键词]假设法；动态；直观图；鸡兔同笼
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）20-0029-02
人教版教材四年级下册安排了数学广角“鸡兔同笼”这一内容，展示了解决该问题的一些方法，体现了解决问题方法的多样性。其中，将假设法作为一种重要的数学思想方法进行了重点介绍，引导学生在学习中感悟假设法，同时培养学生的推理能力。
在实际教学这一内容时，我们存在许多困惑。一是“假设”这种想法，是教师给出的，而不是学生自然想到的，如何才能让学生自然地萌发这种思想呢？二是假设法伴随着较为复杂的分析推理过程，学生理解起来有一定的困难，如何帮助学生克服困难？三是如何抽象出假设法，使学生有所感悟并在新的情境中进行推广运用？
同时我们也了解到：在先前的学习中，学生从没有系统地接触过假设法，即在他们的知识结构中不存在“假设”这一图式，但他们在日常生活中不乏“假设”的经验，如“过家家”时角色的扮演、“假如”“当成”这些词汇的运用等。基于上述困惑和认识，我对“鸡兔同笼”这一内容中的假设法进行了新的教学尝试。
首先让学生通过画图尝试解决问题（如图1），师生交流解题思路。
生1：先把鸡和兔都看成是4只，画好后数一数，发现脚的只数少了，就再添上一些脚。
师：“先把鸡和兔都看成是4只”是一种很好的想法，数学上把它叫作假设。我们还可以怎样假设呢？
（学生分别假设鸡和兔不同的只数，就是没有假设“笼子里都是鸡”或“笼子里都是兔”这两种情况）
师（动画展示“玉兔拜月”）：从数学的角度看，这时的兔子与鸡就没什么两样了，都是1个头、2只脚。如果笼子中的兔子都在拜月，这时候，笼子中的动物就可以全部看成什么？
生2：全部都是鸡。
生3：由既有兔又有鸡变成全部都是鸡，使问题变得简单了。
仅有这样的“启蒙”还是不够的。假设法要求：“在条件改变之后，根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决”。这样的一个基本思考过程，还是要让学生在动态的图示中去一步步体验和领悟。
接着，我引导学生根据上面的讨论，将笼子里的动物假设都是鸡，画出图2，并进行计算和推理，比较差异。
生4：每只鸡有2只脚，2×8=16（只脚）。实际有26只脚，少了26-16=10（只脚）。
师：这是什么原因呢？
生4：把兔子画成了鸡，脚数变少了。
（我順势画出图3，再进行修正和还原）
师：把几只兔子画成了鸡？
生5：5只。
师：你怎么知道是5只兔子呢？
（虽然学生已通过其他方法得知了鸡和兔的只数，但教师还是要追问推理的过程）
生5（展示推理过程）：一共少画10只脚，每只兔子少画2只脚，10÷2=5（只）（兔），8-5=3（只）（鸡）。
（我出示图4，突出强调求出的是兔子的只数，这也是学生最容易混淆的地方）
师：看了这些怪模怪样的兔子你有什么想法？
生6：把兔子的脚补上去。
（学生在作业纸上补画，教师用投影仪展示学生补画的图，如图5）
师：现在符合条件了吗？算一算，检验一下。
生7：2×3=6（只），4×5=20（只），20 6=26（只），符合题意。
在上述教学过程中，我借助动态的直观图，逐步揭示用假设法解决问题的过程，学生在参与数学活动的过程中，对假设法有了一定的感受和体验。
数学思想方法的感悟不是一蹴而就的。就一节课来说，一种思想方法的学习也不能仅仅通过一两个例子去完成。要让学生将数学思想方法内化为自己的认知，并能自觉地在今后的学习中予以运用，教师就要注意一般方法的概括以及对学生迁移能力的培养。
在这节课的最后一个部分，我安排了以下几个教学内容。
1.如果假设全部是兔子，你是怎样思考的？请用画图法在小组内向同伴说一说你的想法。
2.“新星小学‘环保卫士’小分队12人参加植树活动，男同学每人栽了3棵树，女同学每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男女同学各有几人？”这个问题与“鸡兔同笼”问题有哪些相似的地方？能用画图法解决问题并说明你的想法吗？
3.不用画图，在脑中想象：鸡、兔共有6个头，16只脚。鸡、兔各几只？
这是一个递进的过程，从熟悉的“鸡兔同笼”问题，到情境不同但实质相同的植树问题，从具象到表象，所依托的仍然是图形。在这些感性材料的基础上，引导学生对假设法的一般程序进行初步总结。
课件再次展示以上学习中的直观图，逐步提炼假设法的一般程序：假设一种特殊的情况→根据数量关系计算相关数据→与原来的数据比较（找出不同）→分析这些不同的原因→计算得出正确的答案。
诚然，假设法并不止本文所述的这一种，这里仅以“鸡兔同笼”为例，假设的是一种极端的情况，而不是一般意义上的“对数学问题的一些数据做适当的改变”，是一种特例，其他情况有待于后续的学习。我们在这里只是播下一粒种子，期望今后开出更加美丽迷人的数学之花。
通过画图描述和分析问题，可以使复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，是培养学生思维能力的有力拐杖。可以说，通过画图解决问题，是学生数学素养的一个方面。本文所示的一些示意图，不仅使抽象的思想方法具体化、形象化，有助于学生感悟假设法，动态的生成过程，还契合了学生的思考路径，较好地发展了学生的数学思维。
从更一般的角度来看，“数学广角”教学内容所蕴含的数学思想方法大都有一定的思维难度，考虑到小学生的年龄和心理特点，借助一些直观的图形去体验感悟，是一条有效的路径。
（责编 黄春香）
[关键词]假设法；动态；直观图；鸡兔同笼
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）20-0029-02
人教版教材四年级下册安排了数学广角“鸡兔同笼”这一内容，展示了解决该问题的一些方法，体现了解决问题方法的多样性。其中，将假设法作为一种重要的数学思想方法进行了重点介绍，引导学生在学习中感悟假设法，同时培养学生的推理能力。
在实际教学这一内容时，我们存在许多困惑。一是“假设”这种想法，是教师给出的，而不是学生自然想到的，如何才能让学生自然地萌发这种思想呢？二是假设法伴随着较为复杂的分析推理过程，学生理解起来有一定的困难，如何帮助学生克服困难？三是如何抽象出假设法，使学生有所感悟并在新的情境中进行推广运用？
同时我们也了解到：在先前的学习中，学生从没有系统地接触过假设法，即在他们的知识结构中不存在“假设”这一图式，但他们在日常生活中不乏“假设”的经验，如“过家家”时角色的扮演、“假如”“当成”这些词汇的运用等。基于上述困惑和认识，我对“鸡兔同笼”这一内容中的假设法进行了新的教学尝试。
首先让学生通过画图尝试解决问题（如图1），师生交流解题思路。
生1：先把鸡和兔都看成是4只，画好后数一数，发现脚的只数少了，就再添上一些脚。
师：“先把鸡和兔都看成是4只”是一种很好的想法，数学上把它叫作假设。我们还可以怎样假设呢？
（学生分别假设鸡和兔不同的只数，就是没有假设“笼子里都是鸡”或“笼子里都是兔”这两种情况）
师（动画展示“玉兔拜月”）：从数学的角度看，这时的兔子与鸡就没什么两样了，都是1个头、2只脚。如果笼子中的兔子都在拜月，这时候，笼子中的动物就可以全部看成什么？
生2：全部都是鸡。
生3：由既有兔又有鸡变成全部都是鸡，使问题变得简单了。
仅有这样的“启蒙”还是不够的。假设法要求：“在条件改变之后，根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决”。这样的一个基本思考过程，还是要让学生在动态的图示中去一步步体验和领悟。
接着，我引导学生根据上面的讨论，将笼子里的动物假设都是鸡，画出图2，并进行计算和推理，比较差异。
生4：每只鸡有2只脚，2×8=16（只脚）。实际有26只脚，少了26-16=10（只脚）。
师：这是什么原因呢？
生4：把兔子画成了鸡，脚数变少了。
（我順势画出图3，再进行修正和还原）
师：把几只兔子画成了鸡？
生5：5只。
师：你怎么知道是5只兔子呢？
（虽然学生已通过其他方法得知了鸡和兔的只数，但教师还是要追问推理的过程）
生5（展示推理过程）：一共少画10只脚，每只兔子少画2只脚，10÷2=5（只）（兔），8-5=3（只）（鸡）。
（我出示图4，突出强调求出的是兔子的只数，这也是学生最容易混淆的地方）
师：看了这些怪模怪样的兔子你有什么想法？
生6：把兔子的脚补上去。
（学生在作业纸上补画，教师用投影仪展示学生补画的图，如图5）
师：现在符合条件了吗？算一算，检验一下。
生7：2×3=6（只），4×5=20（只），20 6=26（只），符合题意。
在上述教学过程中，我借助动态的直观图，逐步揭示用假设法解决问题的过程，学生在参与数学活动的过程中，对假设法有了一定的感受和体验。
数学思想方法的感悟不是一蹴而就的。就一节课来说，一种思想方法的学习也不能仅仅通过一两个例子去完成。要让学生将数学思想方法内化为自己的认知，并能自觉地在今后的学习中予以运用，教师就要注意一般方法的概括以及对学生迁移能力的培养。
在这节课的最后一个部分，我安排了以下几个教学内容。
1.如果假设全部是兔子，你是怎样思考的？请用画图法在小组内向同伴说一说你的想法。
2.“新星小学‘环保卫士’小分队12人参加植树活动，男同学每人栽了3棵树，女同学每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男女同学各有几人？”这个问题与“鸡兔同笼”问题有哪些相似的地方？能用画图法解决问题并说明你的想法吗？
3.不用画图，在脑中想象：鸡、兔共有6个头，16只脚。鸡、兔各几只？
这是一个递进的过程，从熟悉的“鸡兔同笼”问题，到情境不同但实质相同的植树问题，从具象到表象，所依托的仍然是图形。在这些感性材料的基础上，引导学生对假设法的一般程序进行初步总结。
课件再次展示以上学习中的直观图，逐步提炼假设法的一般程序：假设一种特殊的情况→根据数量关系计算相关数据→与原来的数据比较（找出不同）→分析这些不同的原因→计算得出正确的答案。
诚然，假设法并不止本文所述的这一种，这里仅以“鸡兔同笼”为例，假设的是一种极端的情况，而不是一般意义上的“对数学问题的一些数据做适当的改变”，是一种特例，其他情况有待于后续的学习。我们在这里只是播下一粒种子，期望今后开出更加美丽迷人的数学之花。
通过画图描述和分析问题，可以使复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，是培养学生思维能力的有力拐杖。可以说，通过画图解决问题，是学生数学素养的一个方面。本文所示的一些示意图，不仅使抽象的思想方法具体化、形象化，有助于学生感悟假设法，动态的生成过程，还契合了学生的思考路径，较好地发展了学生的数学思维。
从更一般的角度来看，“数学广角”教学内容所蕴含的数学思想方法大都有一定的思维难度，考虑到小学生的年龄和心理特点，借助一些直观的图形去体验感悟，是一条有效的路径。
（责编 黄春香）