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【摘 要】随着新课程改革的不断深入，要求教师必须转变自己的角色，确立“教为学服务”的思想，以促进学生的发展为己任。教育之本在于立人，如何形成符合课改要求的教学新模式，作者在课堂教学方面作了一些尝试和探讨。
【关键词】问题；结论；解法；条件；反思
义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。数学教育要改革，要成为可持续发展的教育，在这一方面开放式教学正在成为新课程下数学教学的新的增长点。以下，以一道常见的几何题为例，谈谈如何进行数学开放式教学。
问题：如图1，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=BC，
BD平分∠ABC交AC于点D。求证：BC=AB+AD。
1 结论开放
教学中作者把此题改为开放的、动态的问题：已知在△ABC中，
∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，问图1中的：（1）角的大小关系如何？（2）线段之间有何关系？
这一问题的设计，可以让学生通过分析角和线段之间的关系来认识图形，研究图形，为下一步的更深入的问题探索打下基础。
有不少学生很快发现：（1）∠ABC=∠C=45°，∠ABD=∠CBD=22.5°，∠ADB=67.5°，∠BDC=90°+22.5°=112.5°；（2）如图2，因为BD平分∠ABC，故过点D作DE⊥BC于E，可以推出：AD=DE，又因为∠C=45°且DE⊥BC，故可以得出：DE=EC，BC=AB+AD。
2 解题策略开放
此时作者又继续引导学生讨论上述问题中线段之间关系的多种证明方法。有的学生得出可以在线段BC上截取BE=AB，再來证明剩下的线段和AD相等。此时启发学生称这种证明方法为截长法。学生由此得到启发既有截长，那么就可能会有补短。故大部分学生得出以下证明方法：延长BA到F，使BF=BC，连结DF；或作∠ADF=45°，交BA的延长线于F等方法。
3 题设开放
学生已经顺利地解决了该问题后，作者又引导学生思考：如果上述问题中的∠A=90°这一条件改成另外的角度，其余的条件不变，图形中线段之间还有和差关系吗？此时问题的难度加大，作者注意留给学生足够的时间组织分组讨论：∠A改成多大时，还有和原问题类似的结论呢？较多的小组学生很快发现：（1）当∠A=120°，∠B=45°时，有BC=AB+2AD。（2）减弱原命题的条件，引导学生更为深入地思考。作者又在上面讨论的基础上引导学生进一步思考：原命题的条件还可以改换为什么形式？学生很快将原命题改为：在△ABC中
∠A=2∠C=2∠B，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：BC=AB+AD。如果减弱该命题的条件为：∠A=2∠C，BD平分∠ABC交AC于点D，其结论BC=AB+AD还能成立吗？学生们很快就能证明其结论仍然成立。（3）引导学生对原命题进行逆向思维。先让学生用比较简洁的符号表述上面减弱后的命题：
条件为： ①∠A=2∠C ②BD平分∠ABC，推出结论为：③BC=AB+AD。上述命题更为简洁的表达：①②→③。此时作者引导学生展开联想：由此命题可以得出哪些命题？于是学生得到启发后得出：①③→②；②③→①。后两个命题可以留给学生课后去思考（事实上后两个命题也是真命题）。
4 质疑和反思
（1）教师应进一步引导学生对这节课的整个分析和探讨过程进行回顾与反思。在教学活动中教会学生总结，研究自己的解题过程，有什么成功的方面，遇到什么困难，可以培养学生发现问题，发现规律的能力，更为重要的是可以培养学生更为深入思考问题的习惯和能力。可以要求学生自问：这种解题方法是怎样想到的？其中什么条件的启发性最大？通过这番回顾和思考，可以从中发现一些解题规律，把这些规律总结起来，就可以解类似的题目，起到由例及类的作用。（2）对上述探索过程中所涉及的知识进行反思。（3）对原问题本身进行反思。作者注意引导学生对原问题的条件作进一步的推敲，使学生能够对问题有全面的理解并作进一步的推广，或者把条件和结论做适当的变换，探索可能得到什么样的新问题？在作者的启发下有学生发现原命题的部分条件和结论可以改为：①∠A=2∠C ②BD⊥AC于点D→③CD=AB+AD。（如图3）又有学生在上面命题讨论的基础上进一步得出：
①③→②或②③→①两个命题。课后有学生发现后两个命题经过证明也是真命题。
通过对解题过程的认真反思，可以帮助
学生从传统教学的例行公事行为中解脱出来，帮助学生学会学习；可以使学生的数学学习活动成为有目的、有策略的主动行为；可以使学习过程成为探究性、研究性的活动，增强学生的能力，提高个人的创造力，可以有利于学生在学习活动中获得个人经验，使他们变得成熟，促进学生更好地全面发展。
总之，开放数学课堂教学，离不开教师教学理念的开放，离不开教学内容、教学过程和教学方法的开放。开放性问题的教学注重数学解决问题的过程，侧重学生解决问题的思路和策略，强调学生在教学活动中的主体作用，能更好地激发学生的主动性和创造性。传统教学重视学生“双基”的培养。所以在教学过程中既要注意培养学生良好的“双基”，又要注意实施开放式教学，以更好地培养学生的创新精神和创新能力。
【关键词】问题；结论；解法；条件；反思
义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。数学教育要改革，要成为可持续发展的教育，在这一方面开放式教学正在成为新课程下数学教学的新的增长点。以下，以一道常见的几何题为例，谈谈如何进行数学开放式教学。
问题：如图1，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=BC，
BD平分∠ABC交AC于点D。求证：BC=AB+AD。
1 结论开放
教学中作者把此题改为开放的、动态的问题：已知在△ABC中，
∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，问图1中的：（1）角的大小关系如何？（2）线段之间有何关系？
这一问题的设计，可以让学生通过分析角和线段之间的关系来认识图形，研究图形，为下一步的更深入的问题探索打下基础。
有不少学生很快发现：（1）∠ABC=∠C=45°，∠ABD=∠CBD=22.5°，∠ADB=67.5°，∠BDC=90°+22.5°=112.5°；（2）如图2，因为BD平分∠ABC，故过点D作DE⊥BC于E，可以推出：AD=DE，又因为∠C=45°且DE⊥BC，故可以得出：DE=EC，BC=AB+AD。
2 解题策略开放
此时作者又继续引导学生讨论上述问题中线段之间关系的多种证明方法。有的学生得出可以在线段BC上截取BE=AB，再來证明剩下的线段和AD相等。此时启发学生称这种证明方法为截长法。学生由此得到启发既有截长，那么就可能会有补短。故大部分学生得出以下证明方法：延长BA到F，使BF=BC，连结DF；或作∠ADF=45°，交BA的延长线于F等方法。
3 题设开放
学生已经顺利地解决了该问题后，作者又引导学生思考：如果上述问题中的∠A=90°这一条件改成另外的角度，其余的条件不变，图形中线段之间还有和差关系吗？此时问题的难度加大，作者注意留给学生足够的时间组织分组讨论：∠A改成多大时，还有和原问题类似的结论呢？较多的小组学生很快发现：（1）当∠A=120°，∠B=45°时，有BC=AB+2AD。（2）减弱原命题的条件，引导学生更为深入地思考。作者又在上面讨论的基础上引导学生进一步思考：原命题的条件还可以改换为什么形式？学生很快将原命题改为：在△ABC中
∠A=2∠C=2∠B，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：BC=AB+AD。如果减弱该命题的条件为：∠A=2∠C，BD平分∠ABC交AC于点D，其结论BC=AB+AD还能成立吗？学生们很快就能证明其结论仍然成立。（3）引导学生对原命题进行逆向思维。先让学生用比较简洁的符号表述上面减弱后的命题：
条件为： ①∠A=2∠C ②BD平分∠ABC，推出结论为：③BC=AB+AD。上述命题更为简洁的表达：①②→③。此时作者引导学生展开联想：由此命题可以得出哪些命题？于是学生得到启发后得出：①③→②；②③→①。后两个命题可以留给学生课后去思考（事实上后两个命题也是真命题）。
4 质疑和反思
（1）教师应进一步引导学生对这节课的整个分析和探讨过程进行回顾与反思。在教学活动中教会学生总结，研究自己的解题过程，有什么成功的方面，遇到什么困难，可以培养学生发现问题，发现规律的能力，更为重要的是可以培养学生更为深入思考问题的习惯和能力。可以要求学生自问：这种解题方法是怎样想到的？其中什么条件的启发性最大？通过这番回顾和思考，可以从中发现一些解题规律，把这些规律总结起来，就可以解类似的题目，起到由例及类的作用。（2）对上述探索过程中所涉及的知识进行反思。（3）对原问题本身进行反思。作者注意引导学生对原问题的条件作进一步的推敲，使学生能够对问题有全面的理解并作进一步的推广，或者把条件和结论做适当的变换，探索可能得到什么样的新问题？在作者的启发下有学生发现原命题的部分条件和结论可以改为：①∠A=2∠C ②BD⊥AC于点D→③CD=AB+AD。（如图3）又有学生在上面命题讨论的基础上进一步得出：
①③→②或②③→①两个命题。课后有学生发现后两个命题经过证明也是真命题。
通过对解题过程的认真反思，可以帮助
学生从传统教学的例行公事行为中解脱出来，帮助学生学会学习；可以使学生的数学学习活动成为有目的、有策略的主动行为；可以使学习过程成为探究性、研究性的活动，增强学生的能力，提高个人的创造力，可以有利于学生在学习活动中获得个人经验，使他们变得成熟，促进学生更好地全面发展。
总之，开放数学课堂教学，离不开教师教学理念的开放，离不开教学内容、教学过程和教学方法的开放。开放性问题的教学注重数学解决问题的过程，侧重学生解决问题的思路和策略，强调学生在教学活动中的主体作用，能更好地激发学生的主动性和创造性。传统教学重视学生“双基”的培养。所以在教学过程中既要注意培养学生良好的“双基”，又要注意实施开放式教学，以更好地培养学生的创新精神和创新能力。