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【摘要】本文借鉴物理中“量纲”分析和“量纲”运算的基本思路，论述在小学数学教学中运用“量纲”分析数学单位、乘法分配律和分数运算的本质内涵和内在联系，并根据这种理解方式拓展延伸对应的解题方法，加深学生对相关知识点的理解，提升学生灵活使用已学知识、探索创新解题思路的能力。
【关键词】量纲 单位 乘法分配律 分数运算
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）21-0114-02
在物理学中，“量纲”是物理量的基本属性，是在量值中用基本量的幂积表示数值系数为1的量的表达式。对固定的单位制，每个基本量均定义了一个基本单位，这就是我们常用的“单位”。无论是在数学还是物理学科中，“统一度量”是所有计算的前提条件，而“量纲”运算是将这种统一的度量单位提取出来，单独进行分析和运算，以便对各种量之间内在关系进行研究。在小学数学学习中巧妙运用这种思路，不仅可以帮助学生对数学单位、乘法分配律、分数运算等知识点加深理解，而且能够在复杂的综合运算中举一反三，推导新的简便算法。
一、利用“量纲”加深对数学单位的理解
只有相同单位的数字才能相加减，不同单位的数字只能相乘除。如果学生不明白其中的原理，在遇到复杂的问题时就容易出错，而且哪些单位之间能够用乘除，哪些单位不能直接乘除，很容易让人无所适从。但如果借鉴“量纲”分析的思路，将数字和单位分开来思考或计算，那么可以让学生更深入、更系统地了解单位的实际意义。
首先来看带单位的加减法。比如“5米+8米”，5米的实际意义是5×1米，表示的是5个1米合起来的长度，所以“5米+8米”就是5个1米加上8个1米，一共是13个1米。但是如果是5米+8元，即为5个1米加上8个1元，“米”和“元”之和没有对应的量纲单位，也没有实际物理意义，因此，不同单位的数量不能直接进行加减法运算。
接着看带单位的乘除法。使用“量纲”的方法对小学数学带单位的乘除法进行分析，不同的单位能否直接相乘除，主要分为两种情况：一种是无量纲单位，可以和其他任意单位相乘，比如倍数，4元的5倍，即4元×5=4×1元×5=20×1元=20元;另一种是与空间和时间有关的单位，乘除法对应着维度的升降，比如面积计算公式是从一维空间升到二维空间，其单位变化为：3（米）×3（米）=3×3（米×米）=9（平方米），还有速度计算公式是时间维度的变化，其单位变化为：4（米）[÷]2（秒）=4[÷2]（米[÷]秒）=2（米/秒）。
可见，在量纲运算中，各基本量和导出量可以随意进行乘除运算，只有计算结果具有实际物理意义时，此量纲运算才有意义。
二、利用“量纲”加深对单位换算进率的理解
在单位换算进率的教学中，基本单位（如长度、时间）的进率换算一般比较容易掌握，但是对复合单位（如面积、体积、速度）的进率换算却比较容易出错，主要原因在于学生仅仅记住了常用的进率，没有真正理解这些复合单位的来历和含义。以面积单位换算进率为例，首先要理解面积单位平方米的实际含义是边长为1米的正方形的面积，即1平方米=1米×1米，且已知长度单位换算进率：1米=10分米，按照“量纲运算”的思路可得：1平方米=1米×1米=10分米×10分米=100平方分米;同理可得：1平方米=1米×1米=100厘米×100厘米=10000平方厘米。由此，当遇到新的复合单位换算时，如市制面积单位平方尺，可由1米=3尺进行推导：1平方米=1米×1米=3尺×3尺=9平方尺。
再来看体积单位换算，1立方米的实际含义是边长为1米的立方体的体积，即1立方米=1米×1米×1米，按照“量纲运算”的思路可得：1立方米=1米×1米×1米=10分米×10分米×10分米=1000立方分米;同理：1立方分米=1000立方厘米，再根据升和毫升的定义可知：1升=1立方分米=1000立方厘米=1000毫升。
在速度单位换算中也可照此思路进行推导，已知：1千米=1000米，1小时=60分=60×60秒=3600秒，按照“量纲运算”的思路可得：1千米/时=1千米[÷]1小时=1000米/3600秒=5/18（米/秒），反之：1（米/秒）=18/5（千米/时）=3.6（千米/时）。
借助“量纲”运算的思路，不仅可以让学生深入理解复合单位的意义，还能够自主推导出新的复合单位的换算进率。
三、利用“量纲”加深对乘法分配律的理解
乘法分配律是小学阶段乘法三大定律中最复杂、最重要的一个定律，它可以使很多复杂的混合运算变得更加简便，但很多学生只会背记乘法分配律公式，没有深入理解公式内部机制和原理，也无法灵活巧妙地加以应用。
对此，可以借用“量纲”的思想，按照统一度量的要求，将一个固定的共有量假想为一个基本单位，以“量纲”的方式进行运算，可以更加直观地理解乘法分配律。例如：“小明买了6支水性笔，单价为3元/支，又买了4本练习本，单价为3元/本，问一共花了多少钱？”题中水性笔和练习本的单价都是3元，教师可以将3元这个公共量看成一个基本单位，购买水性笔花了6个3元、购买练习本花了4个3元，所以一共花了6+4个3元，列算式为：6×3元+4×3元=（6+4）×3元。
按照这样的理解方式进行下一步拓展，如：7×8-8，将8看成一个基本单位，原题可理解为7个8减去1个8，就是（7-1）个8，因此，7×8-8=（7-1）×8。又如：5×9+8×9+7×9，将9当成一个基本单位，原题可以理解为5个9加上8個9，再加上7个9，一共是（5+8+7）个9，因此，5×9+8×9+7×9=（5+8+7）×9;还可以再进行拓展：在13×16+14×32-16中，32可分解为2×16，将16作为一个整体，原题可以理解为13个16加上14×2个16，再减去1个16，可得：13×16+14×32-16=（13+14×2-1）×16=40×16。 从以上几个例子可以看出，无论什么题型，只要找出各项包含的共有项，就可以将其看成基本单位，从而简化计算。通过这种方式，学生对乘法分配律产生深入的理解和深刻的记忆，并且在后续的学习中融会贯通，探索更多巧妙的应用。
四、利用“量纲”加深对分数运算的理解
分数运算是小学阶段必须掌握的重要知识之一，但由于分数的实际意义和表现形式与前期所学的整数差别较大，导致很多学生在分数理解和分数运算方面存在很多误区和障碍，非常容易出错。借鉴“量纲”运算的思想，教师可以将分数运算中不容易理解的分数部分当作基本单位，单独进行计算，不仅可以加深学生对分数运算规律的理解和掌握，还可以在很多地方实现分数的简便运算。
首先，利用“量纲”分析同分母分数的基本运算。例如：[37+27]可以将[17]看成基本单位，[37=3×17]即3个[17]，[27]就是2个[17]，于是有：[37+27]=[3×17+2×17]=（3+2）[×17]=[57]。而对异分母分数的加减法，也可以通过“量纲”分析的思路进行深度理解，例如[35+23]，异分母分数运算中一般没有直接的共同项，不能直接提取基本单位，但是通过观察可以发现：[35=3×15=3×3×115]，[23=2×13=2×5×115]，此时两个分数有共同的分数项[115]，将其看成基本单位，则原式可转化为（[3×3+2×5]）个[115]相加，即[35+23]=（3[×3+2×5]）[×][115=1915]，这实际上就是异分母加减运算法，即对“通分”的本质理解。
按照以上思路继续进行适当拓展，就会发现在很多相对复杂的分数运算中，只要找到相同项作为基本单位，就可以大大简化分数运算过程。例如：在分数混合运算3[×2336][×11]+[1136][×]8+[536][×]11中，可以发现分数共同项为[136][×11]，如果将[1136]作为基本单位，可得：3[×2336][×11]+[1136][×]8+[536][×]11=（3[×23]+8+5）[×][1136]。又如：[357+79×5][÷][57+59]，通过仔细观察可以发现除数和被除数都有一个共同项[17+19]，将其作为基本单位，可得：[357+79×5][÷][57+59]=[35×17+19][÷5×17+19]=7，实现简化运算。
除了以上四個方面的应用，“量纲”分析的思想还可以应用于公式理解和快速查错等。比如从体积基本单位立方米可以推测出，任何形状的体积计算公式必然是三个长度单位相乘（即米[×米×米]），或者一个面积单位和一个长度单位相乘（即平方米×米），然后乘以一个无量纲的系数。而快速查错主要是在复杂应用题中，可通过简单的量纲运算（即单位运算），校核量纲结果是否与实际计算答案一致。
总之，数学是一门工具学科，具有强大的包容性，能够为解决其他学科问题提供高效的方法和思路，同样也应融合其他学科的工具和技巧，改进和完善自我。而小学教育所提倡的数学思维教育，就是要进一步深化对知识点的理解，培养学生的数学灵感和数学意识。虽然小学阶段的学生并没有学过“量纲”的概念，无法深入理解“量纲”的意义和作用，但是如果教师将“量纲”中“单独提取单位进行运算”的思想进行简化处理，并借由数学单位这个常用的知识点引入，然后逐渐向其他知识点拓展迁移，不仅可以使学生轻松地接受和理解量纲运算的思想，而且加深对数学单位、分配律、分数运算等难点知识的理解，帮助他们打破学科之间的桎梏，激发学生尝试用新思路、新方法解决问题的热情，培养更广阔的视野和更灵活的思维方式。
【参考文献】
[1]吕琦.小学数学《乘法分配律》的教学探究[J].小学数学研究，2011（1）.
[2]侯春干.小学数学教学中分数运算的实践研究[J].学子（理论版），2015（23）.
【作者简介】黎初团（1985— ），女，汉族，广西宾阳人，大学本科学历，学士学位，二级教师，南宁市民主路小学五象校区数学教师，主要研究方向为小学数学教育。
（责编 杨 春）
【关键词】量纲 单位 乘法分配律 分数运算
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）21-0114-02
在物理学中，“量纲”是物理量的基本属性，是在量值中用基本量的幂积表示数值系数为1的量的表达式。对固定的单位制，每个基本量均定义了一个基本单位，这就是我们常用的“单位”。无论是在数学还是物理学科中，“统一度量”是所有计算的前提条件，而“量纲”运算是将这种统一的度量单位提取出来，单独进行分析和运算，以便对各种量之间内在关系进行研究。在小学数学学习中巧妙运用这种思路，不仅可以帮助学生对数学单位、乘法分配律、分数运算等知识点加深理解，而且能够在复杂的综合运算中举一反三，推导新的简便算法。
一、利用“量纲”加深对数学单位的理解
只有相同单位的数字才能相加减，不同单位的数字只能相乘除。如果学生不明白其中的原理，在遇到复杂的问题时就容易出错，而且哪些单位之间能够用乘除，哪些单位不能直接乘除，很容易让人无所适从。但如果借鉴“量纲”分析的思路，将数字和单位分开来思考或计算，那么可以让学生更深入、更系统地了解单位的实际意义。
首先来看带单位的加减法。比如“5米+8米”，5米的实际意义是5×1米，表示的是5个1米合起来的长度，所以“5米+8米”就是5个1米加上8个1米，一共是13个1米。但是如果是5米+8元，即为5个1米加上8个1元，“米”和“元”之和没有对应的量纲单位，也没有实际物理意义，因此，不同单位的数量不能直接进行加减法运算。
接着看带单位的乘除法。使用“量纲”的方法对小学数学带单位的乘除法进行分析，不同的单位能否直接相乘除，主要分为两种情况：一种是无量纲单位，可以和其他任意单位相乘，比如倍数，4元的5倍，即4元×5=4×1元×5=20×1元=20元;另一种是与空间和时间有关的单位，乘除法对应着维度的升降，比如面积计算公式是从一维空间升到二维空间，其单位变化为：3（米）×3（米）=3×3（米×米）=9（平方米），还有速度计算公式是时间维度的变化，其单位变化为：4（米）[÷]2（秒）=4[÷2]（米[÷]秒）=2（米/秒）。
可见，在量纲运算中，各基本量和导出量可以随意进行乘除运算，只有计算结果具有实际物理意义时，此量纲运算才有意义。
二、利用“量纲”加深对单位换算进率的理解
在单位换算进率的教学中，基本单位（如长度、时间）的进率换算一般比较容易掌握，但是对复合单位（如面积、体积、速度）的进率换算却比较容易出错，主要原因在于学生仅仅记住了常用的进率，没有真正理解这些复合单位的来历和含义。以面积单位换算进率为例，首先要理解面积单位平方米的实际含义是边长为1米的正方形的面积，即1平方米=1米×1米，且已知长度单位换算进率：1米=10分米，按照“量纲运算”的思路可得：1平方米=1米×1米=10分米×10分米=100平方分米;同理可得：1平方米=1米×1米=100厘米×100厘米=10000平方厘米。由此，当遇到新的复合单位换算时，如市制面积单位平方尺，可由1米=3尺进行推导：1平方米=1米×1米=3尺×3尺=9平方尺。
再来看体积单位换算，1立方米的实际含义是边长为1米的立方体的体积，即1立方米=1米×1米×1米，按照“量纲运算”的思路可得：1立方米=1米×1米×1米=10分米×10分米×10分米=1000立方分米;同理：1立方分米=1000立方厘米，再根据升和毫升的定义可知：1升=1立方分米=1000立方厘米=1000毫升。
在速度单位换算中也可照此思路进行推导，已知：1千米=1000米，1小时=60分=60×60秒=3600秒，按照“量纲运算”的思路可得：1千米/时=1千米[÷]1小时=1000米/3600秒=5/18（米/秒），反之：1（米/秒）=18/5（千米/时）=3.6（千米/时）。
借助“量纲”运算的思路，不仅可以让学生深入理解复合单位的意义，还能够自主推导出新的复合单位的换算进率。
三、利用“量纲”加深对乘法分配律的理解
乘法分配律是小学阶段乘法三大定律中最复杂、最重要的一个定律，它可以使很多复杂的混合运算变得更加简便，但很多学生只会背记乘法分配律公式，没有深入理解公式内部机制和原理，也无法灵活巧妙地加以应用。
对此，可以借用“量纲”的思想，按照统一度量的要求，将一个固定的共有量假想为一个基本单位，以“量纲”的方式进行运算，可以更加直观地理解乘法分配律。例如：“小明买了6支水性笔，单价为3元/支，又买了4本练习本，单价为3元/本，问一共花了多少钱？”题中水性笔和练习本的单价都是3元，教师可以将3元这个公共量看成一个基本单位，购买水性笔花了6个3元、购买练习本花了4个3元，所以一共花了6+4个3元，列算式为：6×3元+4×3元=（6+4）×3元。
按照这样的理解方式进行下一步拓展，如：7×8-8，将8看成一个基本单位，原题可理解为7个8减去1个8，就是（7-1）个8，因此，7×8-8=（7-1）×8。又如：5×9+8×9+7×9，将9当成一个基本单位，原题可以理解为5个9加上8個9，再加上7个9，一共是（5+8+7）个9，因此，5×9+8×9+7×9=（5+8+7）×9;还可以再进行拓展：在13×16+14×32-16中，32可分解为2×16，将16作为一个整体，原题可以理解为13个16加上14×2个16，再减去1个16，可得：13×16+14×32-16=（13+14×2-1）×16=40×16。 从以上几个例子可以看出，无论什么题型，只要找出各项包含的共有项，就可以将其看成基本单位，从而简化计算。通过这种方式，学生对乘法分配律产生深入的理解和深刻的记忆，并且在后续的学习中融会贯通，探索更多巧妙的应用。
四、利用“量纲”加深对分数运算的理解
分数运算是小学阶段必须掌握的重要知识之一，但由于分数的实际意义和表现形式与前期所学的整数差别较大，导致很多学生在分数理解和分数运算方面存在很多误区和障碍，非常容易出错。借鉴“量纲”运算的思想，教师可以将分数运算中不容易理解的分数部分当作基本单位，单独进行计算，不仅可以加深学生对分数运算规律的理解和掌握，还可以在很多地方实现分数的简便运算。
首先，利用“量纲”分析同分母分数的基本运算。例如：[37+27]可以将[17]看成基本单位，[37=3×17]即3个[17]，[27]就是2个[17]，于是有：[37+27]=[3×17+2×17]=（3+2）[×17]=[57]。而对异分母分数的加减法，也可以通过“量纲”分析的思路进行深度理解，例如[35+23]，异分母分数运算中一般没有直接的共同项，不能直接提取基本单位，但是通过观察可以发现：[35=3×15=3×3×115]，[23=2×13=2×5×115]，此时两个分数有共同的分数项[115]，将其看成基本单位，则原式可转化为（[3×3+2×5]）个[115]相加，即[35+23]=（3[×3+2×5]）[×][115=1915]，这实际上就是异分母加减运算法，即对“通分”的本质理解。
按照以上思路继续进行适当拓展，就会发现在很多相对复杂的分数运算中，只要找到相同项作为基本单位，就可以大大简化分数运算过程。例如：在分数混合运算3[×2336][×11]+[1136][×]8+[536][×]11中，可以发现分数共同项为[136][×11]，如果将[1136]作为基本单位，可得：3[×2336][×11]+[1136][×]8+[536][×]11=（3[×23]+8+5）[×][1136]。又如：[357+79×5][÷][57+59]，通过仔细观察可以发现除数和被除数都有一个共同项[17+19]，将其作为基本单位，可得：[357+79×5][÷][57+59]=[35×17+19][÷5×17+19]=7，实现简化运算。
除了以上四個方面的应用，“量纲”分析的思想还可以应用于公式理解和快速查错等。比如从体积基本单位立方米可以推测出，任何形状的体积计算公式必然是三个长度单位相乘（即米[×米×米]），或者一个面积单位和一个长度单位相乘（即平方米×米），然后乘以一个无量纲的系数。而快速查错主要是在复杂应用题中，可通过简单的量纲运算（即单位运算），校核量纲结果是否与实际计算答案一致。
总之，数学是一门工具学科，具有强大的包容性，能够为解决其他学科问题提供高效的方法和思路，同样也应融合其他学科的工具和技巧，改进和完善自我。而小学教育所提倡的数学思维教育，就是要进一步深化对知识点的理解，培养学生的数学灵感和数学意识。虽然小学阶段的学生并没有学过“量纲”的概念，无法深入理解“量纲”的意义和作用，但是如果教师将“量纲”中“单独提取单位进行运算”的思想进行简化处理，并借由数学单位这个常用的知识点引入，然后逐渐向其他知识点拓展迁移，不仅可以使学生轻松地接受和理解量纲运算的思想，而且加深对数学单位、分配律、分数运算等难点知识的理解，帮助他们打破学科之间的桎梏，激发学生尝试用新思路、新方法解决问题的热情，培养更广阔的视野和更灵活的思维方式。
【参考文献】
[1]吕琦.小学数学《乘法分配律》的教学探究[J].小学数学研究，2011（1）.
[2]侯春干.小学数学教学中分数运算的实践研究[J].学子（理论版），2015（23）.
【作者简介】黎初团（1985— ），女，汉族，广西宾阳人，大学本科学历，学士学位，二级教师，南宁市民主路小学五象校区数学教师，主要研究方向为小学数学教育。
（责编 杨 春）