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[摘要]在机械制图画法几何部分，当空间直线处于一般位置直线时，其投影就无法反映该直线的实际长度，特别在求平面图形的实际形状时都会经常面对这样的问题，而现在好多教材都因为《机械制图》教学课时的不断压缩而删减甚至取消了相关内容，使学生在该知识点上形成了缺憾，本文将求一般位置直线实长的不同图解方法集锦在一起，从原理、要领和CAD作图技巧方面加以探究。
[关键词]AutoCAD 直角三角形法 换面法 旋转法 实长
前言：在机械制图的画法几何部分，当对直线进行投影时，由于一般位置直线与投影面都是倾斜的，所以在正常的三面投影体系中，一般位置直线的投影都无法反映其真实长度。通过计算固然可以求得实长，但《机械制图》更讲究用图解的方法来解决问题，本文力图说明几种解决此类问题方法的精华所在，并结合现代绘图软件AutoCAD克服以往手工绘图解决此类问题时容易出现的弊端，诸如视觉误差、测量误差和作图误差使得求解不够精准。为了简化问题，这里多以两面投影体系进行阐述。
直角三角形法
1.原理：如图1所示，在将一般位置直线AB向水平投影面做正投影时，我们会发现由直线AB的实长、水平投影ab以及A、B两点的Z轴坐标之差组成了一个直角三角形，且直线实长与水平投影之间的夹角就是空间直线与水平投影面的真实夹角角。而直线的水平投影ab和其端点的△Z在两面投影中都是已知的，所以借助ab作为直角边，以△Z做另一个直角边，就能完成直角三角形，斜边就是直线AB的真实长度，斜边与水平投影之间的夹角就是空间直线AB与H面的夹角角。同理，在将直线AB向V面和W面作投影时，也会出现各自的直角三角形。原理相同。
2.要领：必须分清直角三角形几何要素的“黄金搭档”：一定是直线的某个投影（如H面投影）+与该投影所在投影面垂直轴线的直线两端点之坐标差（Z轴坐标差）+直线的实长+空间直线与该投影所在的投影面的夹角（角）。在一般位置直线的三面投影中会有三组这样的“黄金搭档”，另两组“黄金搭档”分别是：（1）a'b'+△Y+AB+,(2) a“b”+△X+AB+。“黄金搭档”也是“铁板搭档”，切忌“乱点鸳鸯谱”！只要牢记“铁板搭档”，利用直角三角形法求一般位置直线的实长就会变得易如反掌。
3.应用AutoCAD求直线实长的技巧：在以往用手工做直角三角形时，不管是边长的测量、转移还是直角的绘制，很难保证尺寸的精准程度，所求结果往往存在误差，那么，有了AutoCAD答案将非常精准，如图2所示，做出△Z，以△Z为长度画直线，用移动命令以b'为基点将其移动到a点，再用旋转命令的参照方式将其以a点为基点旋转到与ab方向一致，再次用旋转命令将其以a点为基点旋转-90度构成另一个直角边，连接斜边即可。
换面法
1.原理：如图3所示，在V-H两面投影体系中，一般位置直线AB的两面投影都无法反映其实际长度，原因如前所述，如果直线与投影面不是倾斜的而是平行的，问题就能迎刃而解，这正是换面法的基本思路。在图3中，新建一个投影面V1,使其与原有的H面垂直，与空间一般位置直线平行，那么，直线AB在新的V1,-H两面投影体系中就变成了投影面平行线了，必然在V1,面中的投影就反映了直线AB的实长，同时，在V1面中还反映了直线AB与水平投影面的真实夹角角。当然，这里仅仅介绍了第一次变换，那么只要抓住下面的要领，进行第二次甚至更多次变换，其方法是不变的。还可以让V面不动，变换H面，这里就不再赘述。
2.要领：以图3为例，变换的是V面，不变的是H面，可以看出：A、B两点到H面的距离是固定不变的，而这不变的距离又分别在V面和V1面各出现了一次，这正是换面法的精髓所在，在图4的展开图中，我们称其为旧投影到旧轴的距离=新投影到新轴的距离，这也是换面法恒定不二的法则。作图要领：确定不变投影面，即H面，在不变投影面中作直线投影的平行线作为新轴，过不变投影面中直线投影的端点向新轴作垂线，实现旧投影到旧轴的距离=新投影到新轴的距离，就可以在V1面中求得A、B两点的新投影a1'b1',这也正是直线AB的实长。
应用AutoCAD求直线实长的技巧：在图4中，使用直线命令+捕捉工具栏的平行工具，画一条与ab平行的直线“新轴”，过a作“新轴”的垂线，过a'作“旧轴”的垂线即旧投影到旧轴的距离，用移动命令将该垂线以a'点为基点移动到ax1点，再用旋转命令的参照将其以ax1点为基点旋转到与ax1 a方向一致，再次用旋转命令将其以ax1点为基点旋转180度，就得到a1'。B点的作法相同。连接a1'b1'就得到了直线AB在V1投影面的投影a1'b1',也正式直线AB的实长，同时可以求出角。
旋转法
1.原理：空间一般位置直线在两面投影体系中,投影无法反映该直线的实长,原因如前所述。如图5所示，我们运用“山不转水转”的相对运动原理，设想A点不动，空间直线AB以Aa为轴线旋转，当AB旋转到与V面平行的位置时，直线AB就变成投影面的平行线了，再将AB向V面作正投影，就能得到该直线的实长了。空间直线AB运动的同时，该直线的两面投影在作如下运动：（1）水平投影ab以a点为圆心，以ab为半径作摆动，直至与投影轴平行，即ab1的位置；（2）正面投影：a' 点不动，由于空间直线AB在旋转的过程中，B点的高度始终不变，所以，b'点在作与投影轴平行方向的平移至b1',最后连接a b1'就得到直线AB旋转以后的正面投影，也正是该直线的实长，而a b1'与投影轴之间的夹角正是空间直线AB与H面的夹角角。直线AB除了以Aa为轴线旋转外，还可以分别以Bb、Aa'、Bb'为轴线进行旋转，原理相同，这里不再赘述。
2.要领：（1）首先需要确定空间直线旋转的轴线，从而明确空间直线旋转的同时，它的两面投影各自的运动规律，就能迅速准确地求出空间直线旋转以后的新投影，进而完成空间直线实长和空间直线与投影面的夹角的求解。（2）如果想求空间直线与H面的夹角，就必须以直线的某个端点向H面作投影线作为旋转轴线，同理，如果想求空间直线与V面的夹角，就必须以直线的某个端点向V面所作的投影线作为旋转轴线。
3.应用AutoCAD的技巧：以图6为例，确定以Aa为旋转轴线，那么，在水平投影中，过a点作投影轴ox的平行线，再以a点为圆心以ab为半径画圆弧与过a 点的水平线相交得b1,过b1点作ox轴的垂线（投影连线），在正面投影中，过b'点作ox轴的平行线与b1点的投影连线相交求得b1'点，连接a b1'就得到空间直线的实长。同时求得角。
总结
综上所述，三种求一般位置直线实长的方法各有千秋，直角三角形法简单、快捷、直观，换面法稍显麻烦，但是，用换面法经过两次变换解决一般位置平面图形的实际形状时，就彰显了它的优势，当圆锥表面的素线处于一般位置直线时，用旋转法求其实长会特别简捷，但应注意，以上三种方法在求空间直线与投影面的夹角时，一次只能求出一个夹角。
中图分类号： TB237 文献标识码 A
参考文献：
[1] 蓝汝铭. 机械制图[M]. 西安： 西安电子科技大学出版社，2006.8.
[2] 陈艳辉等. AUTOCAD 中加快作图速度方法浅议[J]. 科技经济市场,2006,( 4) .
[3]程绪奇等. AUTOCAD2006 中文版标准教程[M]. 电子工业出版社,2006, 10.
作者单位：西安航空技术高等专科学校机械工程系陕西西安
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[关键词]AutoCAD 直角三角形法 换面法 旋转法 实长
前言：在机械制图的画法几何部分，当对直线进行投影时，由于一般位置直线与投影面都是倾斜的，所以在正常的三面投影体系中，一般位置直线的投影都无法反映其真实长度。通过计算固然可以求得实长，但《机械制图》更讲究用图解的方法来解决问题，本文力图说明几种解决此类问题方法的精华所在，并结合现代绘图软件AutoCAD克服以往手工绘图解决此类问题时容易出现的弊端，诸如视觉误差、测量误差和作图误差使得求解不够精准。为了简化问题，这里多以两面投影体系进行阐述。
直角三角形法
1.原理：如图1所示，在将一般位置直线AB向水平投影面做正投影时，我们会发现由直线AB的实长、水平投影ab以及A、B两点的Z轴坐标之差组成了一个直角三角形，且直线实长与水平投影之间的夹角就是空间直线与水平投影面的真实夹角角。而直线的水平投影ab和其端点的△Z在两面投影中都是已知的，所以借助ab作为直角边，以△Z做另一个直角边，就能完成直角三角形，斜边就是直线AB的真实长度，斜边与水平投影之间的夹角就是空间直线AB与H面的夹角角。同理，在将直线AB向V面和W面作投影时，也会出现各自的直角三角形。原理相同。
2.要领：必须分清直角三角形几何要素的“黄金搭档”：一定是直线的某个投影（如H面投影）+与该投影所在投影面垂直轴线的直线两端点之坐标差（Z轴坐标差）+直线的实长+空间直线与该投影所在的投影面的夹角（角）。在一般位置直线的三面投影中会有三组这样的“黄金搭档”，另两组“黄金搭档”分别是：（1）a'b'+△Y+AB+,(2) a“b”+△X+AB+。“黄金搭档”也是“铁板搭档”，切忌“乱点鸳鸯谱”！只要牢记“铁板搭档”，利用直角三角形法求一般位置直线的实长就会变得易如反掌。
3.应用AutoCAD求直线实长的技巧：在以往用手工做直角三角形时，不管是边长的测量、转移还是直角的绘制，很难保证尺寸的精准程度，所求结果往往存在误差，那么，有了AutoCAD答案将非常精准，如图2所示，做出△Z，以△Z为长度画直线，用移动命令以b'为基点将其移动到a点，再用旋转命令的参照方式将其以a点为基点旋转到与ab方向一致，再次用旋转命令将其以a点为基点旋转-90度构成另一个直角边，连接斜边即可。
换面法
1.原理：如图3所示，在V-H两面投影体系中，一般位置直线AB的两面投影都无法反映其实际长度，原因如前所述，如果直线与投影面不是倾斜的而是平行的，问题就能迎刃而解，这正是换面法的基本思路。在图3中，新建一个投影面V1,使其与原有的H面垂直，与空间一般位置直线平行，那么，直线AB在新的V1,-H两面投影体系中就变成了投影面平行线了，必然在V1,面中的投影就反映了直线AB的实长，同时，在V1面中还反映了直线AB与水平投影面的真实夹角角。当然，这里仅仅介绍了第一次变换，那么只要抓住下面的要领，进行第二次甚至更多次变换，其方法是不变的。还可以让V面不动，变换H面，这里就不再赘述。
2.要领：以图3为例，变换的是V面，不变的是H面，可以看出：A、B两点到H面的距离是固定不变的，而这不变的距离又分别在V面和V1面各出现了一次，这正是换面法的精髓所在，在图4的展开图中，我们称其为旧投影到旧轴的距离=新投影到新轴的距离，这也是换面法恒定不二的法则。作图要领：确定不变投影面，即H面，在不变投影面中作直线投影的平行线作为新轴，过不变投影面中直线投影的端点向新轴作垂线，实现旧投影到旧轴的距离=新投影到新轴的距离，就可以在V1面中求得A、B两点的新投影a1'b1',这也正是直线AB的实长。
应用AutoCAD求直线实长的技巧：在图4中，使用直线命令+捕捉工具栏的平行工具，画一条与ab平行的直线“新轴”，过a作“新轴”的垂线，过a'作“旧轴”的垂线即旧投影到旧轴的距离，用移动命令将该垂线以a'点为基点移动到ax1点，再用旋转命令的参照将其以ax1点为基点旋转到与ax1 a方向一致，再次用旋转命令将其以ax1点为基点旋转180度，就得到a1'。B点的作法相同。连接a1'b1'就得到了直线AB在V1投影面的投影a1'b1',也正式直线AB的实长，同时可以求出角。
旋转法
1.原理：空间一般位置直线在两面投影体系中,投影无法反映该直线的实长,原因如前所述。如图5所示，我们运用“山不转水转”的相对运动原理，设想A点不动，空间直线AB以Aa为轴线旋转，当AB旋转到与V面平行的位置时，直线AB就变成投影面的平行线了，再将AB向V面作正投影，就能得到该直线的实长了。空间直线AB运动的同时，该直线的两面投影在作如下运动：（1）水平投影ab以a点为圆心，以ab为半径作摆动，直至与投影轴平行，即ab1的位置；（2）正面投影：a' 点不动，由于空间直线AB在旋转的过程中，B点的高度始终不变，所以，b'点在作与投影轴平行方向的平移至b1',最后连接a b1'就得到直线AB旋转以后的正面投影，也正是该直线的实长，而a b1'与投影轴之间的夹角正是空间直线AB与H面的夹角角。直线AB除了以Aa为轴线旋转外，还可以分别以Bb、Aa'、Bb'为轴线进行旋转，原理相同，这里不再赘述。
2.要领：（1）首先需要确定空间直线旋转的轴线，从而明确空间直线旋转的同时，它的两面投影各自的运动规律，就能迅速准确地求出空间直线旋转以后的新投影，进而完成空间直线实长和空间直线与投影面的夹角的求解。（2）如果想求空间直线与H面的夹角，就必须以直线的某个端点向H面作投影线作为旋转轴线，同理，如果想求空间直线与V面的夹角，就必须以直线的某个端点向V面所作的投影线作为旋转轴线。
3.应用AutoCAD的技巧：以图6为例，确定以Aa为旋转轴线，那么，在水平投影中，过a点作投影轴ox的平行线，再以a点为圆心以ab为半径画圆弧与过a 点的水平线相交得b1,过b1点作ox轴的垂线（投影连线），在正面投影中，过b'点作ox轴的平行线与b1点的投影连线相交求得b1'点，连接a b1'就得到空间直线的实长。同时求得角。
总结
综上所述，三种求一般位置直线实长的方法各有千秋，直角三角形法简单、快捷、直观，换面法稍显麻烦，但是，用换面法经过两次变换解决一般位置平面图形的实际形状时，就彰显了它的优势，当圆锥表面的素线处于一般位置直线时，用旋转法求其实长会特别简捷，但应注意，以上三种方法在求空间直线与投影面的夹角时，一次只能求出一个夹角。
中图分类号： TB237 文献标识码 A
参考文献：
[1] 蓝汝铭. 机械制图[M]. 西安： 西安电子科技大学出版社，2006.8.
[2] 陈艳辉等. AUTOCAD 中加快作图速度方法浅议[J]. 科技经济市场,2006,( 4) .
[3]程绪奇等. AUTOCAD2006 中文版标准教程[M]. 电子工业出版社,2006, 10.
作者单位：西安航空技术高等专科学校机械工程系陕西西安
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”