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【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）28-0124-02
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有些求长方体（立方体）表面积的题目，在学生学习了长方体（立方体）的表面积后很容易就能解决，但有些题目学生按照常理则无从下手。例如，《义务教育六年制小学数学》第十册作业本中，有这样一道题目：
一个立方体的表面积是48平方厘米，把它平均分成两个长方体，每个长方体的表面积是多少？
这道题目我们如果用常规思维思考，要求出每个长方体的表面积是多少，应该先求出长方体的长、宽和高，可长方体的长、宽和高则应该通过立方体的棱长来求，这个立方体的表面积是48平方厘米，因此每个面的面积就是48÷6=8（平方厘米）。而面积是8平方厘米的正方形在小学阶段根本无法求出它的边长，也就是无法知道这个立方体的棱长，因此这种常规思维根本就无法解决这个问题。
可如果我们换一种角度思考，那么不仅可以化难为易，而且还可以用多种方法来解决这个问题。
例如，方法一：把一个立方体平均分成两个长方体，可以怎样分呢？无非就是沿着上下面或前后面或左右面的中线切一刀，一刀下去就会多出2个面的面积（这2个面的面积和原来立方体每个面的面积相等），那么平均每个长方体就多出了一个面的面积，即：48÷6=8（平方厘米），加上原来48平方厘米平均分成两份后每个长方体有：48÷2=24（平方厘米），因此每个长方体的表面积就是：8+24=32（平方厘米）。
方法二：把立方体平均分成两个长方体，就会多出2个面的面积（这2个面的面积和原来立方体每个面的面积相等），那么2个长方体总的表面积就是：48+48÷6×2=64（平方厘米），因此每个长方体的表面积就是：64÷2=32（平方厘米）。
方法三：不管怎么分，只要把立方体平均分成两个长方体，每个长方体中都会有2个面和原来立方体每个面的面积一样，其余4个面的面积则是原来立方体每个面的面积的一半，也就相当于原来立方体2个面的面积，那么每个长方体的表面积就是原来立方体4个面的面积，即：48÷6×4=32（平方厘米）。
方法四：不管怎么分，只要把立方体平均分成两个长方体，每个长方体中都会有2个面和原来立方体每个面的面积一样，即：48÷6=8（平方厘米），其余4个面的面积则是原来立方体每个面的面积的一半，即：48÷6÷2=4（平方厘米）那么每个长方体的表面积就是：8×2+4×4=32（平方厘米）。
想到的：
“司马光砸缸”众所周知，多少年来，司马光也一直被人们当作神童传颂，并且成为教育儿童、开发智慧的典范，就是因为司马光有非同一般的表现。如果我们按照常规来救人，想到的肯定是让落水者“人离水”，而司马光砸缸救人想的却是“水离人”。他在解决救人问题中所体现出来的就是一种创新思维。今天，一道用常规思维无法解决的小学数学几何题，运用创新思维竟然出现了四种（甚至更多）不同的解题方法。
其实，在我们的教学实践中也常常会发现，绝大多数学生在解题时往往是按常规思维思考，虽然这种思维方式有一定的优势，但有些数学问题如果按常规思考就会显得极为繁琐、复杂，甚至根本无法求解。此时如果能变通一下角度，创新一下我们的思维，便能使问题化难为易，化繁为简。事实上，“创新潜能人皆有之”，即便是小学生也有无穷的创新潜力。可如何有效地在我们的数学教学中培养学生的创新思维呢？在此，我想从逆向思维和批判性思维两方面的培养入手，谈几点个人粗浅的看法：
一、培养学生的逆向思维，求“创新”。
`所谓逆向思维，我的理解是站在问题情景的对立面或逆向位置，提出与之相反或相逆的设想，进而产生出新的结论或问题，是一种具有鲜明创新特点的思维方式。因此，我们数学教师应该把它作为创新思维培养的重要内容，从小抓起。
（一）利用数学概念和公式的正、逆关系，培养学生的逆向思维。在平时的学习中，学生经常习惯于从左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用概念很不习惯。而我们的概念、定义常常是双向的，例如：“两腰相等的梯形是等腰梯形” （正向思维），“等腰梯形是两腰相等的梯形” （逆向思维）;“长、宽、高都相等的长方体叫做正方体”，所以“正方体是长、宽、高都相等的长方体”（逆向思维）;“含有未知数的等式叫做方程”（正向思维），所以“方程是含有未知数的等式” （逆向思维）等等。因此，我认为，在这些概念的教学中，我们除了要让学生理解概念本身及其常规应用外，还应该要引导启发学生反过来思考，这样不但可以加深对概念的理解与拓展，而且可以促进逆向思维的培养。
又例如：长方形的面积=长×宽，如果题目中已知长方形的面积和长，求长方形的宽，我们就可以引导学生依据乘除法的互逆关系学会灵活运用公式，即：长方形的宽=长方形的面积÷长。梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，根据这个公式我们可以知道：梯形的上底=梯形的面积×2÷高-下底;梯形的下底=梯形的面积×2÷高-上底;梯形的高=梯形的面积×2÷（上底+下底），这样我们就可以简单地解决求梯形上底、下底和高的问题了。
其实，在我们数学中，概念和公式的正、逆关系比比皆是。数学公式的从左到右和从右到左，这样的转换也正是由正向思维转到逆向思维的体现，是创新思维的体现。虽然这种思维习惯和方式在很大程度上与一个人先天的个性品质有关，但只要我们引起足够的重视，在平常教学实践中多提供一些合适、有效的素材，坚持不断地进行训练，我想肯定可以达到比較理想的效果。
（二）重视编排逆向训练的习题，培养学生的逆向思维。逆向思维的训练是一个持久的过程。因此，在教学中我们要精心设计好练习，有意识地编排顺、逆双向配对的练习题，为学生提供逆向思维的材料，并且想方设法通过不同层次的练习题对学生进行逆向思维训练。另外，还要多鼓励学生突破常规的思维方式，敢于想象，敢于标新立异。 例如，五年级数学竞赛中就出现了这样一道题：“某池塘的睡莲每天长大一倍，50天就把整个池塘遮住，问睡莲遮住半个池塘，需要多少时间？”这道题如果用一般的方法思考好象条件不够，但用分析法“倒过来想”求解却非常简单。因为睡莲长满整个池塘是半个池塘的两倍，也就是长满整个池塘比半个池塘大一倍，所以从半个池塘长满到整个池塘只需要一天，因此睡莲遮住半个池塘需要：50-1=49（天）。
总之，有效地培养学生的逆向思维能力，不仅对学生提高解题能力有益，更重要的是可以改善学生学习数学的思维方式，有助于学生形成良好的思维习惯，培养学生良好的思维品质，提高他们的学习效果、学习兴趣，以致于提高全体学生的思维能力和整体素质。
二、培养学生的批判性思维，“促”创新。
所谓批判性思维，我的理解就是对所看到的东西的性质、价值、精确性和真实性等方面作出个人的判断，以及对做什么和相信什么作出合理决策的能力。如果说创造性思维是所谓的多谋，那么批判性思维就是所谓的善断。批判性思维者要具有批判精神，要时刻用批判的眼光看待问题。因此，我认为培养学生的批判性思维品质，对学生思维能力的培养和数学知识的学习都有重要的作用。
（一）创设问题情境，鼓励学生敢于怀疑。创设问题情境并非一般的提出问题，更重要的在于创造质疑诱思之境，让学生在比较熟悉的主题中，获得批判性思维最容易的技能。当然，问题情境可以是独立的，也可以融于其他的问题情境之中。我们要把学生从狭窄的课堂港湾，引向校园外浩瀚的知识海洋，让学生知道人类生活的一切时间和空间都是他们学习的课堂;我们要告诉学生怎样去思考问题，教给学生面对陌生领域寻找答案的方法，训练学生综合运用知识进行创新的能力;我们更要引导学生各抒己见，形成批判性思维的习惯：要不畏权威，不迷信书本和权威的结论，敢于发表自己不同的见解。
（二）展开问题讨论，给足学生思维的展示空间。目前，在探究性学习中，学生的思维必然要遇到各种问题、疑难和错误。我认为，要培养学生的批判性思维，讨论是一种良好的学习方法，学生通过对问题的讨论可辨明是非、正误，提高学生分析问題的能力和应用知识的能力，使学生的思维批判性品质得到培养。
因此，在教学中，我们应舍得花时间与精力，给足学生思维的展示空间，通过教师的点拨与引导，让学生把批判性思维充分展示出来，使学生敢于追求以往不曾有的观念，有时甚至可以借助反方角色的扮演来促进智慧勇气。当然，在讨论中，我们要公平对待一切观点。要为学生提供彼此坚持各自立场、修正对方误解的机会，进而让学生说明伙伴之间为什么会有不同见解，同时从自己不同意的立场来揭示理由。
另外，对于课本上的练习题，教师也可发动学生展开讨论，拓宽思路，各抒己见。对于学生的问答，教师也不能以简单的“对”或“不对”来做结论，可引导学生通过实验验证、理论分析等进行评判对错。这样做，既能使学生从正反两方面加深对问题的认识，又能使学生从错误中吸取教训，避免再次犯类似的错误，还能培养学生思维的批判性，在互相启发与争辩中共同提高。不过教师在帮助学生解决思维活动中的问题时，应该慎重、冷静、机智，最好让学生自悟、自得。
（三）不断完善自我，敢于带头自我批判。学生批判性思维的培养，对教师也提出了更高的要求，我们教师不仅要扩展知识面，而且必须具有批判性思维的品质。对于我们来说，能发现自己教学的不足或知识上某些方面的缺陷，不断加以改进和完善，也体现着批判性思维。
叶圣陶老先生说过：“人人即是创造之才，时时即是创造之机，处处即是创造之地”。其实创造并不神秘，创新是人之本能。只要我们善于发现，适时适度地引导学生进行创造性学习，有意识地进行这方面的训练。那么，学生的创新精神和创新能力就会得到良好地培养和发展。
看到的：
有些求长方体（立方体）表面积的题目，在学生学习了长方体（立方体）的表面积后很容易就能解决，但有些题目学生按照常理则无从下手。例如，《义务教育六年制小学数学》第十册作业本中，有这样一道题目：
一个立方体的表面积是48平方厘米，把它平均分成两个长方体，每个长方体的表面积是多少？
这道题目我们如果用常规思维思考，要求出每个长方体的表面积是多少，应该先求出长方体的长、宽和高，可长方体的长、宽和高则应该通过立方体的棱长来求，这个立方体的表面积是48平方厘米，因此每个面的面积就是48÷6=8（平方厘米）。而面积是8平方厘米的正方形在小学阶段根本无法求出它的边长，也就是无法知道这个立方体的棱长，因此这种常规思维根本就无法解决这个问题。
可如果我们换一种角度思考，那么不仅可以化难为易，而且还可以用多种方法来解决这个问题。
例如，方法一：把一个立方体平均分成两个长方体，可以怎样分呢？无非就是沿着上下面或前后面或左右面的中线切一刀，一刀下去就会多出2个面的面积（这2个面的面积和原来立方体每个面的面积相等），那么平均每个长方体就多出了一个面的面积，即：48÷6=8（平方厘米），加上原来48平方厘米平均分成两份后每个长方体有：48÷2=24（平方厘米），因此每个长方体的表面积就是：8+24=32（平方厘米）。
方法二：把立方体平均分成两个长方体，就会多出2个面的面积（这2个面的面积和原来立方体每个面的面积相等），那么2个长方体总的表面积就是：48+48÷6×2=64（平方厘米），因此每个长方体的表面积就是：64÷2=32（平方厘米）。
方法三：不管怎么分，只要把立方体平均分成两个长方体，每个长方体中都会有2个面和原来立方体每个面的面积一样，其余4个面的面积则是原来立方体每个面的面积的一半，也就相当于原来立方体2个面的面积，那么每个长方体的表面积就是原来立方体4个面的面积，即：48÷6×4=32（平方厘米）。
方法四：不管怎么分，只要把立方体平均分成两个长方体，每个长方体中都会有2个面和原来立方体每个面的面积一样，即：48÷6=8（平方厘米），其余4个面的面积则是原来立方体每个面的面积的一半，即：48÷6÷2=4（平方厘米）那么每个长方体的表面积就是：8×2+4×4=32（平方厘米）。
想到的：
“司马光砸缸”众所周知，多少年来，司马光也一直被人们当作神童传颂，并且成为教育儿童、开发智慧的典范，就是因为司马光有非同一般的表现。如果我们按照常规来救人，想到的肯定是让落水者“人离水”，而司马光砸缸救人想的却是“水离人”。他在解决救人问题中所体现出来的就是一种创新思维。今天，一道用常规思维无法解决的小学数学几何题，运用创新思维竟然出现了四种（甚至更多）不同的解题方法。
其实，在我们的教学实践中也常常会发现，绝大多数学生在解题时往往是按常规思维思考，虽然这种思维方式有一定的优势，但有些数学问题如果按常规思考就会显得极为繁琐、复杂，甚至根本无法求解。此时如果能变通一下角度，创新一下我们的思维，便能使问题化难为易，化繁为简。事实上，“创新潜能人皆有之”，即便是小学生也有无穷的创新潜力。可如何有效地在我们的数学教学中培养学生的创新思维呢？在此，我想从逆向思维和批判性思维两方面的培养入手，谈几点个人粗浅的看法：
一、培养学生的逆向思维，求“创新”。
`所谓逆向思维，我的理解是站在问题情景的对立面或逆向位置，提出与之相反或相逆的设想，进而产生出新的结论或问题，是一种具有鲜明创新特点的思维方式。因此，我们数学教师应该把它作为创新思维培养的重要内容，从小抓起。
（一）利用数学概念和公式的正、逆关系，培养学生的逆向思维。在平时的学习中，学生经常习惯于从左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用概念很不习惯。而我们的概念、定义常常是双向的，例如：“两腰相等的梯形是等腰梯形” （正向思维），“等腰梯形是两腰相等的梯形” （逆向思维）;“长、宽、高都相等的长方体叫做正方体”，所以“正方体是长、宽、高都相等的长方体”（逆向思维）;“含有未知数的等式叫做方程”（正向思维），所以“方程是含有未知数的等式” （逆向思维）等等。因此，我认为，在这些概念的教学中，我们除了要让学生理解概念本身及其常规应用外，还应该要引导启发学生反过来思考，这样不但可以加深对概念的理解与拓展，而且可以促进逆向思维的培养。
又例如：长方形的面积=长×宽，如果题目中已知长方形的面积和长，求长方形的宽，我们就可以引导学生依据乘除法的互逆关系学会灵活运用公式，即：长方形的宽=长方形的面积÷长。梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，根据这个公式我们可以知道：梯形的上底=梯形的面积×2÷高-下底;梯形的下底=梯形的面积×2÷高-上底;梯形的高=梯形的面积×2÷（上底+下底），这样我们就可以简单地解决求梯形上底、下底和高的问题了。
其实，在我们数学中，概念和公式的正、逆关系比比皆是。数学公式的从左到右和从右到左，这样的转换也正是由正向思维转到逆向思维的体现，是创新思维的体现。虽然这种思维习惯和方式在很大程度上与一个人先天的个性品质有关，但只要我们引起足够的重视，在平常教学实践中多提供一些合适、有效的素材，坚持不断地进行训练，我想肯定可以达到比較理想的效果。
（二）重视编排逆向训练的习题，培养学生的逆向思维。逆向思维的训练是一个持久的过程。因此，在教学中我们要精心设计好练习，有意识地编排顺、逆双向配对的练习题，为学生提供逆向思维的材料，并且想方设法通过不同层次的练习题对学生进行逆向思维训练。另外，还要多鼓励学生突破常规的思维方式，敢于想象，敢于标新立异。 例如，五年级数学竞赛中就出现了这样一道题：“某池塘的睡莲每天长大一倍，50天就把整个池塘遮住，问睡莲遮住半个池塘，需要多少时间？”这道题如果用一般的方法思考好象条件不够，但用分析法“倒过来想”求解却非常简单。因为睡莲长满整个池塘是半个池塘的两倍，也就是长满整个池塘比半个池塘大一倍，所以从半个池塘长满到整个池塘只需要一天，因此睡莲遮住半个池塘需要：50-1=49（天）。
总之，有效地培养学生的逆向思维能力，不仅对学生提高解题能力有益，更重要的是可以改善学生学习数学的思维方式，有助于学生形成良好的思维习惯，培养学生良好的思维品质，提高他们的学习效果、学习兴趣，以致于提高全体学生的思维能力和整体素质。
二、培养学生的批判性思维，“促”创新。
所谓批判性思维，我的理解就是对所看到的东西的性质、价值、精确性和真实性等方面作出个人的判断，以及对做什么和相信什么作出合理决策的能力。如果说创造性思维是所谓的多谋，那么批判性思维就是所谓的善断。批判性思维者要具有批判精神，要时刻用批判的眼光看待问题。因此，我认为培养学生的批判性思维品质，对学生思维能力的培养和数学知识的学习都有重要的作用。
（一）创设问题情境，鼓励学生敢于怀疑。创设问题情境并非一般的提出问题，更重要的在于创造质疑诱思之境，让学生在比较熟悉的主题中，获得批判性思维最容易的技能。当然，问题情境可以是独立的，也可以融于其他的问题情境之中。我们要把学生从狭窄的课堂港湾，引向校园外浩瀚的知识海洋，让学生知道人类生活的一切时间和空间都是他们学习的课堂;我们要告诉学生怎样去思考问题，教给学生面对陌生领域寻找答案的方法，训练学生综合运用知识进行创新的能力;我们更要引导学生各抒己见，形成批判性思维的习惯：要不畏权威，不迷信书本和权威的结论，敢于发表自己不同的见解。
（二）展开问题讨论，给足学生思维的展示空间。目前，在探究性学习中，学生的思维必然要遇到各种问题、疑难和错误。我认为，要培养学生的批判性思维，讨论是一种良好的学习方法，学生通过对问题的讨论可辨明是非、正误，提高学生分析问題的能力和应用知识的能力，使学生的思维批判性品质得到培养。
因此，在教学中，我们应舍得花时间与精力，给足学生思维的展示空间，通过教师的点拨与引导，让学生把批判性思维充分展示出来，使学生敢于追求以往不曾有的观念，有时甚至可以借助反方角色的扮演来促进智慧勇气。当然，在讨论中，我们要公平对待一切观点。要为学生提供彼此坚持各自立场、修正对方误解的机会，进而让学生说明伙伴之间为什么会有不同见解，同时从自己不同意的立场来揭示理由。
另外，对于课本上的练习题，教师也可发动学生展开讨论，拓宽思路，各抒己见。对于学生的问答，教师也不能以简单的“对”或“不对”来做结论，可引导学生通过实验验证、理论分析等进行评判对错。这样做，既能使学生从正反两方面加深对问题的认识，又能使学生从错误中吸取教训，避免再次犯类似的错误，还能培养学生思维的批判性，在互相启发与争辩中共同提高。不过教师在帮助学生解决思维活动中的问题时，应该慎重、冷静、机智，最好让学生自悟、自得。
（三）不断完善自我，敢于带头自我批判。学生批判性思维的培养，对教师也提出了更高的要求，我们教师不仅要扩展知识面，而且必须具有批判性思维的品质。对于我们来说，能发现自己教学的不足或知识上某些方面的缺陷，不断加以改进和完善，也体现着批判性思维。
叶圣陶老先生说过：“人人即是创造之才，时时即是创造之机，处处即是创造之地”。其实创造并不神秘，创新是人之本能。只要我们善于发现，适时适度地引导学生进行创造性学习，有意识地进行这方面的训练。那么，学生的创新精神和创新能力就会得到良好地培养和发展。