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图形有关的探索问题在近年来中考中屡见不鲜. 解答它们，方法因题而异. 其中，有的需要我们从三角形相似入手并利用其对应边的比相等的性质. 现以近年来中考题为例介绍如下：
例1 （2011年甘肃省兰州市中考题）如图是一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP ？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
分析：（1）由EF是折痕，点A与点C重合，则EF⊥AC. 要证明四边形AFCE是菱形，只需证明四边形AFCE是平行四边形；（2）假设存在符合要求的点P ，注意到AC=2AO，那么点P应使得AE2=AO·AP，即使得■=■. 由于AO⊥OE，则点P应使得AE⊥EP . 显见，这样的点P存在.
解：（1）依题意，OA=OC，EF⊥AC于点O.
∵ AD∥BC，
∴ ∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO.
∴ △AOE≌△COF（AAS）.
∴ AE=CF.
∵ AE∥CF，
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
∵ EF⊥AC，
∴ 四边形AFCE是菱形.
（2）过点E作EP⊥AD交AC于点P，则点P就是符合要求的点P . 证明如下：
∵ ∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE，
∴ △EAP∽△OAE.
∴ ■=■，AE2=AO·AP.
∵ AO=■AC，
∴ 2AE2=AC·AP .
例2 （2011年贵州省遵义市中考题）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=20 cm，AD=10 cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2 cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1 cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0 （1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？
（2）在点P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由.
分析：（1）按指定的路径运动，点P、Q都将使得PC∥DQ. 要使四边形PCDQ为平行四边形，那么t应使得PC=DQ；（2）当运动时间为t秒时，BP=2t，则PC=20-2t. 要判断PH的长是否发生改变，关键在于用含t的代数式表示CH，然后求出PH的值. 若这个值不含t，则PH的长不会发生改变；否则，随t的变化而变化.
解：（1）设t秒后，四边形PCDQ为平行四边形，则PC=DQ.
∵ BP=2t，DQ=t，BC=20，
∴ 20-2t=t，t=■.
∴ 当t=■秒时，四边形PCDQ为平行四边形.
（2）当运动时间为t秒时，则BP=2t，DQ=t，PC=20-2t.
∵ DQ∥CH，DQ∥BP，
∴ △DQF∽△CHF，△DQE∽△BPE.
∴ ■=■，■=■.
∵ EF∥BC，
∴ △DEF∽△DBC.
∴ ■=■.
∴ ■=■.
∴ ■=■，CH=BP=2t.
∴ PH=PC+CH=20.
∴ 在点P、Q移动的过程中，线段PH的长不会发生改变，等于
20 cm.
例3 （2012年海南省万宁市中考题）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm. 点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2 cm/s，连接PQ. 若设运动的时间为t（s）（0 （1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP面积为y（单位：cm2），求y与
t之间的函数关系式；
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
分析：（1）当PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，得■=■. 根据这个相等关系，能构造一个关于t的方程；（2）过点P作PD⊥AC于点D，则S=■AQ·PD；（3）假设存在符合要求的t，则t的值应使得AP+AQ=■（AB+AC+BC），且△AQP面积S=■S■.
解：（1）由∠C=90°，AC=4，BC=3，得AB=5.
∵ PQ∥BC，
∴ △APQ∽△ABC.
∴ ■=■.
∵ AP=AB-PB=5-t，AQ=2t，
∴ ■=■，t=■.
∴ 当t为■时，PQ∥BC.
（2）过点P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，△APD∽△ABC，■=■.
∴ ■=■，PD=■（5-t）.
∵ AQ=2t，
∴ y=■AQ·PD=-■t2+3t.
（3）假设存在符合要求的t.
∵ △ABC的周长值为12，面积值为6，
∴ AP+AQ=6，且y=3.
由AP+AQ=6，得（5-t）+2t=6.
∴ t=1.
当t=1时，y=-■t2+3t=■≠3，
∴ 不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的周长和面积同时平分.
例1 （2011年甘肃省兰州市中考题）如图是一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP ？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
分析：（1）由EF是折痕，点A与点C重合，则EF⊥AC. 要证明四边形AFCE是菱形，只需证明四边形AFCE是平行四边形；（2）假设存在符合要求的点P ，注意到AC=2AO，那么点P应使得AE2=AO·AP，即使得■=■. 由于AO⊥OE，则点P应使得AE⊥EP . 显见，这样的点P存在.
解：（1）依题意，OA=OC，EF⊥AC于点O.
∵ AD∥BC，
∴ ∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO.
∴ △AOE≌△COF（AAS）.
∴ AE=CF.
∵ AE∥CF，
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
∵ EF⊥AC，
∴ 四边形AFCE是菱形.
（2）过点E作EP⊥AD交AC于点P，则点P就是符合要求的点P . 证明如下：
∵ ∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE，
∴ △EAP∽△OAE.
∴ ■=■，AE2=AO·AP.
∵ AO=■AC，
∴ 2AE2=AC·AP .
例2 （2011年贵州省遵义市中考题）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=20 cm，AD=10 cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2 cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1 cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0
（2）在点P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由.
分析：（1）按指定的路径运动，点P、Q都将使得PC∥DQ. 要使四边形PCDQ为平行四边形，那么t应使得PC=DQ；（2）当运动时间为t秒时，BP=2t，则PC=20-2t. 要判断PH的长是否发生改变，关键在于用含t的代数式表示CH，然后求出PH的值. 若这个值不含t，则PH的长不会发生改变；否则，随t的变化而变化.
解：（1）设t秒后，四边形PCDQ为平行四边形，则PC=DQ.
∵ BP=2t，DQ=t，BC=20，
∴ 20-2t=t，t=■.
∴ 当t=■秒时，四边形PCDQ为平行四边形.
（2）当运动时间为t秒时，则BP=2t，DQ=t，PC=20-2t.
∵ DQ∥CH，DQ∥BP，
∴ △DQF∽△CHF，△DQE∽△BPE.
∴ ■=■，■=■.
∵ EF∥BC，
∴ △DEF∽△DBC.
∴ ■=■.
∴ ■=■.
∴ ■=■，CH=BP=2t.
∴ PH=PC+CH=20.
∴ 在点P、Q移动的过程中，线段PH的长不会发生改变，等于
20 cm.
例3 （2012年海南省万宁市中考题）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm. 点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2 cm/s，连接PQ. 若设运动的时间为t（s）（0
（2）设△AQP面积为y（单位：cm2），求y与
t之间的函数关系式；
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
分析：（1）当PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，得■=■. 根据这个相等关系，能构造一个关于t的方程；（2）过点P作PD⊥AC于点D，则S=■AQ·PD；（3）假设存在符合要求的t，则t的值应使得AP+AQ=■（AB+AC+BC），且△AQP面积S=■S■.
解：（1）由∠C=90°，AC=4，BC=3，得AB=5.
∵ PQ∥BC，
∴ △APQ∽△ABC.
∴ ■=■.
∵ AP=AB-PB=5-t，AQ=2t，
∴ ■=■，t=■.
∴ 当t为■时，PQ∥BC.
（2）过点P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，△APD∽△ABC，■=■.
∴ ■=■，PD=■（5-t）.
∵ AQ=2t，
∴ y=■AQ·PD=-■t2+3t.
（3）假设存在符合要求的t.
∵ △ABC的周长值为12，面积值为6，
∴ AP+AQ=6，且y=3.
由AP+AQ=6，得（5-t）+2t=6.
∴ t=1.
当t=1时，y=-■t2+3t=■≠3，
∴ 不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的周长和面积同时平分.