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《计数问题》作为高中选修2-3课本中的独立一章，因其极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”。但是自我校实行“自主课+展示课”之后，随着展示课上学生自己成了“演员”，让更多的同学参与演出，演给同学们和老师，就使得以往的这些认识逐渐发生了变化，按以往经验预设的一些障碍和难点学生自己就会解释的很清楚。
笔者认为学生们之所以“怕”学计数问题，主要是因为计数问题的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化。学生们自己的做法就是将原题进行一下转化，让小组内的其他成员走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。
学生的这种方法，不仅激发了组内成员间的的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥了学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：
1.占位子问题
例１ 将编号为１、２、３、４、５的５个小球放进编号为１、２、３、４、５的５个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？
（１）仔细审题：在“自主课”上转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。
（２）转换题目：在审题的基础上，几个小组为迅速进入角色，将题目转换为：让学号为１、２、３、４、５的同学坐到编号为１、２、３、４、５的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个同学与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？
（３）解决问题：展示课上，一个组在选出一名学生来安排其他５位同学坐位子，班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有Ｃ（ ）种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有２种排法，最后根据乘法原理得到结果为２×Ｃ（ ）＝２０（种）。这样原题也就得到了解决。而且每个小组的成员都对此题有了深刻的认识。
（１）学生小结：接着小组之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）
（２）老师小结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位置入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。
２、分组问题
例２ 从１、３、５、７、９和２、４、６、８两组数中分别选出３个和２个数组成五位数，问这样的五位数有几个？
（１）仔细审题：先由学生自主课上仔细审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。
（２）转换题目：在学生充分审题后，学生自己对题目进行等价转换，有一组的同学将题目转换如下：
从班级的第一组（１２人）和第二组（１０人）中分别选３位和２位同学分别去参加我市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？
（３）解决问题：接着笔者就让该组的同学来提出选人的方案。
同学Ａ说：先从第一组的１２个人中选出３人参加其中的３科竞赛，有Ｐ（ ）×Ｐ（ ）种选法；再从第二组的１０人中选出２人参加其中２科竞赛有Ｐ（ ）×Ｐ（ ）种选法；最后由乘法原理得出结论为（Ｐ（ ）×Ｐ（ ））×（Ｐ（ ）×Ｐ（ ））（种）。（这时同学Ｂ表示反对）
同学Ｂ说：如果第一组的３个人先选了３门科目，那么第二组的２人就没有选择的余地。所以第二步应该是Ｐ（ ）×Ｐ（ ）。（同学们都表示同意，但是同学Ｃ说太繁）
同学Ｃ说：可以先分别从两组中把５个人选出来，然后将这５个人在５门学科中排列，他列出的计算式是Ｃ（ ）×Ｃ（ ）×Ｐ（ ）（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）这样原题的解答结果就“浮现”出来Ｃ（ ）×Ｃ（ ）×Ｐ（ ）（种）。
（３）老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。
以上是笔者的学生在学习到这一部分时，笔者设计的两个问题，结合“自主课＋展示课”，让学生在题目中成为了真正的演员，进一步活跃了课堂气氛，全面地调动了学生的学习积极性，发挥了教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在自己成为演员的相互讨论和交流中学会自己分析问题、转换问题、解决问题。
（作者单位：山西省太原市尖草坪区第一中学030000）
笔者认为学生们之所以“怕”学计数问题，主要是因为计数问题的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化。学生们自己的做法就是将原题进行一下转化，让小组内的其他成员走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。
学生的这种方法，不仅激发了组内成员间的的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥了学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：
1.占位子问题
例１ 将编号为１、２、３、４、５的５个小球放进编号为１、２、３、４、５的５个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？
（１）仔细审题：在“自主课”上转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。
（２）转换题目：在审题的基础上，几个小组为迅速进入角色，将题目转换为：让学号为１、２、３、４、５的同学坐到编号为１、２、３、４、５的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个同学与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？
（３）解决问题：展示课上，一个组在选出一名学生来安排其他５位同学坐位子，班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有Ｃ（ ）种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有２种排法，最后根据乘法原理得到结果为２×Ｃ（ ）＝２０（种）。这样原题也就得到了解决。而且每个小组的成员都对此题有了深刻的认识。
（１）学生小结：接着小组之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）
（２）老师小结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位置入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。
２、分组问题
例２ 从１、３、５、７、９和２、４、６、８两组数中分别选出３个和２个数组成五位数，问这样的五位数有几个？
（１）仔细审题：先由学生自主课上仔细审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。
（２）转换题目：在学生充分审题后，学生自己对题目进行等价转换，有一组的同学将题目转换如下：
从班级的第一组（１２人）和第二组（１０人）中分别选３位和２位同学分别去参加我市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？
（３）解决问题：接着笔者就让该组的同学来提出选人的方案。
同学Ａ说：先从第一组的１２个人中选出３人参加其中的３科竞赛，有Ｐ（ ）×Ｐ（ ）种选法；再从第二组的１０人中选出２人参加其中２科竞赛有Ｐ（ ）×Ｐ（ ）种选法；最后由乘法原理得出结论为（Ｐ（ ）×Ｐ（ ））×（Ｐ（ ）×Ｐ（ ））（种）。（这时同学Ｂ表示反对）
同学Ｂ说：如果第一组的３个人先选了３门科目，那么第二组的２人就没有选择的余地。所以第二步应该是Ｐ（ ）×Ｐ（ ）。（同学们都表示同意，但是同学Ｃ说太繁）
同学Ｃ说：可以先分别从两组中把５个人选出来，然后将这５个人在５门学科中排列，他列出的计算式是Ｃ（ ）×Ｃ（ ）×Ｐ（ ）（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）这样原题的解答结果就“浮现”出来Ｃ（ ）×Ｃ（ ）×Ｐ（ ）（种）。
（３）老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。
以上是笔者的学生在学习到这一部分时，笔者设计的两个问题，结合“自主课＋展示课”，让学生在题目中成为了真正的演员，进一步活跃了课堂气氛，全面地调动了学生的学习积极性，发挥了教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在自己成为演员的相互讨论和交流中学会自己分析问题、转换问题、解决问题。
（作者单位：山西省太原市尖草坪区第一中学030000）