论文部分内容阅读
摘 要:分析研究了数学内容中哲学思想及数学方法中如何体现哲学思想,从而有利于学习数学和处理生活中的问题。
关键词:归纳 演绎 方法 反演变换法 导数 积分 辨证性
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2009)08-141-01
哲学的辨证思想极为丰富,在数学中充分的反映出来。哲学的辨证思想的高度抽象,我们掌握它存在一定的困难,但由于数学中渗透了许许多多辨证思想,我们在学习数学的同时,自然而然掌握了辨证思想,对我们以后为人处事有很大益处,同时从哲学角度上理解数学知识也就更加深刻更加易懂。我们从数学的二个方面阐述数学中的哲学思想。
一、数学内容的辨证性
我们知道,不论是初等数学还是现代数学都充满了矛盾,都存在着许许多多的对立统一关系。如,正数和负数,有理数和无理数,常量与变量,必然与随机,近似与精确,收敛与发散积分与微分,真命题与假命题,加法与减法,乘法与除法,乘方与开方,有限与无限,实数与虚数,充分条件与必要条件,集合中得空集与全集,上限与下限,可数集合与不可数集合,开集与闭集,可测集与不可测集,最大值与最小值,增函数与减函数,奇函数和偶函数,偶数和奇数,连续与不连续,连通与不连通,逆命题,否命题,合并与分解,分配律与结合律,她们都互为存在的前提,不可分离。
否定之否定规律在数学中也处处体现。如,负负为正,倒数的倒数是本身、,矩阵的逆矩阵的逆矩阵是本身,逆否命题与原命题等价,集合的补集的补集是本身,偶数个奇数相加为偶数,奇函数的复合偶数次为偶函数,减函数复合偶数次为增函数,反函数的反函数是原函数。偶数个纯虚数相乘为实数,一个矩阵逆阵的逆阵为本身,一个矩阵的转置是它本身。如果掌握了否定之否定规律,那么学习数学就容易多了,同时通过数学的学习加深了对否定之否定规律的理解。
数学内容本身具有普遍联系的特点。学习过程中联系的观点逐渐渗透到我们头脑中。例如,映射,函数,同构等知识的学习,再如,笛卡儿坐标系的建立,数与形的联系,把几何与代数有机的统一起来,一方面,许多几何概念的辨证关系,借助于代数形式的特征,则显的脉络异常清晰,像一次曲线,二次曲线。另一方面,许多代数课题具有鲜明的直观性,而且往往由于借用了几何的术语,而获的新的生命力,例如:线性代数正是借用几何学中的空间,线性等概念与类比方法。把本身充实起来,从而得到迅速发展。函数的单调性,周期性,奇偶性,反函数,都存在着一定的联系,如,有单调性定无周期性,存在单调一定存在反函数,一定无周期性(整个定义域而言),偶函数定无单调性(严格单调),还有函数收敛,连续,可导,也存在着密切的联系。可导一定连续,连续一定收敛,反之不对。几何中三维空间图形可化为二维,二维可化为一维,通过转化,把抽象问题转化为具体,把复杂问题转化为简单问题。几何图形的相似全等,全等是相似中条件加强。映射中同态,同构也是同样道理。数学中许多概念,性质,定理都是互相联系,我们学会用联系的观点来学习数学就容易的多,轻松的多。
数学中还体现了事物发展变化的规律。如,在微观中是黎曼几何,在宏观中是罗氏几何,而现实生活多为欧氏几何。三角形内角和从大于180度到等于180度至小于180度,这个过程中度也是由量变引起质变的。还有极限的ε—δ定义就形象的描述了变量从质变的过程,即趋于某个常数的现象。同样连续、积分、导数的定义也体现了量变到质变的过程。函数的幂级数展开,展示了量变到质变的过程,还有椭圆的离心率的变化,e变为1时变为线段,e变到0时变为圆,而在0 到1之间为椭圆,还有渐进线函数图象逐渐靠近渐进线,但不能相交,相交就发生了质变,即函数没有了意义。
二、数学方法的辨证性
由于数学研究的对象充满了矛盾性和辨证性,因此,要揭示这些矛盾,促使矛盾的转化从而达到解决问题地目的,所采用的数学方法就必须具有辨证性。对此,下面通过几个典型的方法予以说明。
归纳与演绎交互借用的过程,就是“否定之否定”的过程。
1.归纳法是由特殊到一般的逻辑推理方法,而演绎法是由一般到特殊的逻辑推理方法。这两种方法显然存在对立的一面,但又有相互依赖、相互补充的一面。我们解决问题时先通过个别问题的考察、分析、归纳提出一种新的猜想,然后再根据严格的演绎去论证,进一步又从所的结论引出新的猜想,就这样循环往复的螺旋式向前发展。同理,逻辑思维方法与直觉思维等现状形式逻辑的思维方法交互为的过程。实质上就是对对立统一规律,否定之否定规律在教学研究中的具体体现。
2.数学反演变换方法的辨证性。数学中充满了矛盾,解决数学问题就是要解决未知与已知矛盾,即促使未知与已知的矛盾转化。反演变换方法是实现这一转化的有效方法。待求p问题通过t变换变为p*问题,(p*容易解决),p*解决,再通过t逆变换得p问题解。数学反演法实际上是利用t与t逆经过迂回的过程来实现未知与已知矛盾转化。它是“否定之否定”与矛盾转化等辨证思想在数学中的具体运用。
综上所述,数学中存在着许多哲学思想,通过对数学的学习加深了对哲学的理解,同时,对我们为人处事有更大益处,更近的有利于更好学习数学。
参考文献:
[1]王鸿君,孙宏安.数学思想方法引论[M].人民教育出版社
[2]李哲生.数学科学与辩证法[M].首都师大出版社
[3]孙名福,王仲春.数学.逻辑与教育[M].高等教育出版社
关键词:归纳 演绎 方法 反演变换法 导数 积分 辨证性
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-1875(2009)08-141-01
哲学的辨证思想极为丰富,在数学中充分的反映出来。哲学的辨证思想的高度抽象,我们掌握它存在一定的困难,但由于数学中渗透了许许多多辨证思想,我们在学习数学的同时,自然而然掌握了辨证思想,对我们以后为人处事有很大益处,同时从哲学角度上理解数学知识也就更加深刻更加易懂。我们从数学的二个方面阐述数学中的哲学思想。
一、数学内容的辨证性
我们知道,不论是初等数学还是现代数学都充满了矛盾,都存在着许许多多的对立统一关系。如,正数和负数,有理数和无理数,常量与变量,必然与随机,近似与精确,收敛与发散积分与微分,真命题与假命题,加法与减法,乘法与除法,乘方与开方,有限与无限,实数与虚数,充分条件与必要条件,集合中得空集与全集,上限与下限,可数集合与不可数集合,开集与闭集,可测集与不可测集,最大值与最小值,增函数与减函数,奇函数和偶函数,偶数和奇数,连续与不连续,连通与不连通,逆命题,否命题,合并与分解,分配律与结合律,她们都互为存在的前提,不可分离。
否定之否定规律在数学中也处处体现。如,负负为正,倒数的倒数是本身、,矩阵的逆矩阵的逆矩阵是本身,逆否命题与原命题等价,集合的补集的补集是本身,偶数个奇数相加为偶数,奇函数的复合偶数次为偶函数,减函数复合偶数次为增函数,反函数的反函数是原函数。偶数个纯虚数相乘为实数,一个矩阵逆阵的逆阵为本身,一个矩阵的转置是它本身。如果掌握了否定之否定规律,那么学习数学就容易多了,同时通过数学的学习加深了对否定之否定规律的理解。
数学内容本身具有普遍联系的特点。学习过程中联系的观点逐渐渗透到我们头脑中。例如,映射,函数,同构等知识的学习,再如,笛卡儿坐标系的建立,数与形的联系,把几何与代数有机的统一起来,一方面,许多几何概念的辨证关系,借助于代数形式的特征,则显的脉络异常清晰,像一次曲线,二次曲线。另一方面,许多代数课题具有鲜明的直观性,而且往往由于借用了几何的术语,而获的新的生命力,例如:线性代数正是借用几何学中的空间,线性等概念与类比方法。把本身充实起来,从而得到迅速发展。函数的单调性,周期性,奇偶性,反函数,都存在着一定的联系,如,有单调性定无周期性,存在单调一定存在反函数,一定无周期性(整个定义域而言),偶函数定无单调性(严格单调),还有函数收敛,连续,可导,也存在着密切的联系。可导一定连续,连续一定收敛,反之不对。几何中三维空间图形可化为二维,二维可化为一维,通过转化,把抽象问题转化为具体,把复杂问题转化为简单问题。几何图形的相似全等,全等是相似中条件加强。映射中同态,同构也是同样道理。数学中许多概念,性质,定理都是互相联系,我们学会用联系的观点来学习数学就容易的多,轻松的多。
数学中还体现了事物发展变化的规律。如,在微观中是黎曼几何,在宏观中是罗氏几何,而现实生活多为欧氏几何。三角形内角和从大于180度到等于180度至小于180度,这个过程中度也是由量变引起质变的。还有极限的ε—δ定义就形象的描述了变量从质变的过程,即趋于某个常数的现象。同样连续、积分、导数的定义也体现了量变到质变的过程。函数的幂级数展开,展示了量变到质变的过程,还有椭圆的离心率的变化,e变为1时变为线段,e变到0时变为圆,而在0 到1之间为椭圆,还有渐进线函数图象逐渐靠近渐进线,但不能相交,相交就发生了质变,即函数没有了意义。
二、数学方法的辨证性
由于数学研究的对象充满了矛盾性和辨证性,因此,要揭示这些矛盾,促使矛盾的转化从而达到解决问题地目的,所采用的数学方法就必须具有辨证性。对此,下面通过几个典型的方法予以说明。
归纳与演绎交互借用的过程,就是“否定之否定”的过程。
1.归纳法是由特殊到一般的逻辑推理方法,而演绎法是由一般到特殊的逻辑推理方法。这两种方法显然存在对立的一面,但又有相互依赖、相互补充的一面。我们解决问题时先通过个别问题的考察、分析、归纳提出一种新的猜想,然后再根据严格的演绎去论证,进一步又从所的结论引出新的猜想,就这样循环往复的螺旋式向前发展。同理,逻辑思维方法与直觉思维等现状形式逻辑的思维方法交互为的过程。实质上就是对对立统一规律,否定之否定规律在教学研究中的具体体现。
2.数学反演变换方法的辨证性。数学中充满了矛盾,解决数学问题就是要解决未知与已知矛盾,即促使未知与已知的矛盾转化。反演变换方法是实现这一转化的有效方法。待求p问题通过t变换变为p*问题,(p*容易解决),p*解决,再通过t逆变换得p问题解。数学反演法实际上是利用t与t逆经过迂回的过程来实现未知与已知矛盾转化。它是“否定之否定”与矛盾转化等辨证思想在数学中的具体运用。
综上所述,数学中存在着许多哲学思想,通过对数学的学习加深了对哲学的理解,同时,对我们为人处事有更大益处,更近的有利于更好学习数学。
参考文献:
[1]王鸿君,孙宏安.数学思想方法引论[M].人民教育出版社
[2]李哲生.数学科学与辩证法[M].首都师大出版社
[3]孙名福,王仲春.数学.逻辑与教育[M].高等教育出版社