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【摘要】以一道拓广探索题为母题，以开放的基调预置问题，通过动态变化生成一些结论，直至走向教学目标，然后继续引导学生发掘其潜在价值，在孕伏中渗透，在探索中进阶，指向学生的可发展性.
【关键词】面积;角平分线;拓广探索题
教材中的拓广探索性题目，一般内涵丰富，再生性强，值得进一步探索、挖掘，充分利用好这些资源对平时的教育教学意义不菲，是落实探究意识，渗透核心素养的好素材、好载体.
以下以人教版8年级上册第56页拓广探索第12题的教学为例作出说明.
1功能分析
（1）以上述第12题为基，可以探索“三线（高线、中线、角平分线）”分三角形成两个三角形的面积比与两条分线段比的关系，感受结论的统一性与和谐性，渗透数学之美;
（2）进一步探究角平分线分线段之比与另外两条边之比的关系，灵活应用角平分线的性质（即“角平分线上任一点到角两边的距离相等”），渗透同一图形面积不变原理;
（3）在动态变化中捕捉可用信息，定格关键点或关键位置，在动静结合中感知“三线”状态带来的面积之变与不变，让面积法入心入理.
2教学实施
2.1教学设想
了了几言，一道题目，简洁的表达，精干的外表，和谐的结论，本身蕴含着数学之美.有关三角形的面积问题，在小学阶段学生已经能够计算，但只是停留在具体数字化运算的层面，现在初中学段再面对三角形的面积时，除了从具体化走向形式化的运算外，还应有逻辑推理之蕴意.在教学时，作为本拓广探索性问题，为了充分发挥其可探索的功能，彰显其应有的教学价值，指向思维深处的追索，笔者尝试把所求证的结论隐去，并让给定的条件动态化，預置为具有动态之美的开放情境，如此以来，相当于把整个问题给开放了，所以才有了探索结果的多向度、多元化.
2.2教学过程
2.2.1开放问题，有效提取若D是BC边上的动点，我们发现，点D在运动过程中，被分成的两个三角形的面积在不断发生着变化，那么这两个三角形面积的大小关系与点D的位置变化会有怎样的联系？
（1）提出问题：S△ABD与S△ACD的面积关系，可以使用BD与CD关系来描述，除此之外，还可以如何表达？
（2）思考：当我们发现AD是三角形的角平分线时，我们由此联想到什么？
具体教学时笔者采用了方法2，感觉方法1指向性过于明确，如此的发问迁移的痕迹较浓重，而方法2是基于学生的认知联想，是对学生角的平分线命题域（CPFS）[1]的完善，将有助于学生形成有效的认知组块，便于后继面对相关问题时的使用和提取，进而成为解题的有力武器.
学生的认识有：①∠BAD=∠CAD;②角平分线上任一点到角两边的距离相等.
至此，笔者继续发问：第二句话是通过文字（自然）语言表达的，我们知道数学语言有三种形态，若使用其它形态语言（图形语言和符号语言）该如何表达？
至此，笔者引导学生用文字语言进行表达，通过交流、调适，达成如下共识：
“三角形的角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例”.随即笔者指出，这就是著名的“角平分线的性质定理”（现行人教版教材已经去掉，但作为拓展延伸研究，颇具智能价值）.
说明：在后继相似三角形学习后，这一素材将会有更大的探索空间，是构造相似三角形用之解决问题的经典案例，留待后续研究.在此实施开放教学就是考虑到学生的可接受性、可发展性，以及图形所提供的结论的可接受性、可发展性而设置的.
2.2.2纵深思考，有意渗透
思考（1）（把条件特殊化）若△ABC满足AB=AC，我们会有什么新的发现？
BD=CD.
师（点化）：这就是说，此时三角形的角平分线摇身一变变成了三角形的中线，至此，同学们还会有什么进一步的认识？
这个时候会有△ABD与△ACD全等，进一步获得∠BDA=∠CDA=90°，这样一来AD这条线就非常特殊了，这个新认识可是个了不起的发现——等腰三角形的“三线合一”定理.
设计意图由一般到特殊的有意渗透，笔者认为是有意义、有价值的渗透，让学生看到了特殊化的力量以及几何研究的基本套路.
师：刚才我们的思考体现了数学上研究问题的哪一种常用思想方法？
生：一般到特殊.
师：是的，这是研究几何图形很重要的思想方法.从一般到特殊，条件得以强化，我们往往会有更多的发现.这也是研究几何图形的基本套路.
（2）反观图形，不论点D所处的位置如何，△ABD与△ACD总有公共的高，则一定有S△ABD∶S△ACD=BD∶DC.此即为张景中院士所说“三共定理”中的“共高定理”[2].
（3）若把两个图形结合起来思考，我们还可以进一步获得一些关系式：12AB·DE=12BD·AH，即AB·DE=BD·AH，同理可得：AC·DF=CD·AH.
可见，它们结合起来共同体现出一个恒定关系——同一图形面积不变定理.
设计说明若止步于环节2.2.1，其价值性受限于眼前，若通过老师有意识的引领，会看到问题本身或解决问题的过程中蕴含的发展性功能，否则给人一种意犹未尽的感觉，使得启动起来的思维未竟而终，实为可惜！由此，设计了这一教学环节.
3教学反思
3.1立足现实，关注发展
一个几何图形若从发展的角度去思考，其结论是不唯一的，是丰富多彩的，并且它们之间往往密切关联，存在内在的逻辑关系.若止步于一个结论，其价值性就小了，但若关注到其生长性，就可以发现长出了一个个的枝条，直至成为一个枝繁叶茂的图形之树.这就是关注发展、着眼学生思维进阶的教学.华罗庚先生曾说过：我讲书喜欢埋些伏笔，有些重要概念、方法尽可能早在具体问题中提出，并不止一次提出.……我也喜欢生书熟讲，熟书生温的方法，似乎在温熟书，但把新东西讲进去了.这句话体现的就是不断地渗透，使得新脱胎于旧，旧融入于新，分不清新知、旧知彼此，让学生体验到新知是旧知的自然生长，在不知不觉中，弄懂了，学会了，长智了！
作为角平分线的性质定理，纵然现行教材没有作为定理嵌入，但如此美妙、和谐的结论，对其展开探究是有意义的，其价值性不可低估，对激发学生的深度思考、深入探究起着启智开塞的作用.以上华老的经典论述也为笔者的教学行为助了力，蓄了势.
等腰三角形的“三线合一”定理本来是后续的知识，在现有的探索之下，只要践行“一般到特殊”的探研思路，不难发现它的存在.这都是“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”的成果，是顺理成章的，是学生思维的汩汩流淌，而非强托硬拽的认知霸权.“一般到特殊”既是几何常用研究之路，也是学生思维创新的一种策略，不断践行、不断渗透，终有收益.
3.2借力计算，面积不变面积法古之有之，堪称中国数学的经典之法，往往在使用时表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，常会收到出奇制胜的效果.如果我们在解题时能深入挖掘题目中的隐含条件或潜在信息，善于根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，巧用面积法进行沟通，往往能使题目中量与量之间的关系变得简单明了，可谓朴实中蕴藏奇异，简单中透出真力.
同一图形面积不变原理（如前文2.2.2（3）中的关系式“AB·DE=BD·AH”和“AC·DF=CD·AH”）是面积法得以有效使用的保障，学生从小学就开始认识面积，这应该是我们最擅长的计算了，但以此推理，把计算与推理对接本身就是一种挑战，一种超越常态的观念.张景中院士曾试图通过面积构建起整个初中几何体系，他认为：面积就是串联几何所有其他元素、甚至整个几何定理、方法、思路、公理系统的那条主线，是开启几何新思路之门的那把钥匙.并说可以与欧氏几何一争在中学的地位，这都从一定意义上说明了图形面积的重要性.
参考文献
[1]喻平，单墫.数学学习心理的CPFS结构理论[J].2003（02）：13-16.
[2]张景中.一线串通的初等数学.湖北：湖北科学技术出版社.2017.
作者简介：邢成云，“万人计划”全国教学名师、山东省特级教师、齐鲁名师、全国首期名师领航工程人选，山东省优秀教师、山东省师德标兵、山东省教学能手、山东省有突出贡献的中青年专家，发表论文180多篇，其中被中国人大书报复印资料中心全文转载17篇，被索引25篇，两次获得山东省省级教学成果一等奖.
【关键词】面积;角平分线;拓广探索题
教材中的拓广探索性题目，一般内涵丰富，再生性强，值得进一步探索、挖掘，充分利用好这些资源对平时的教育教学意义不菲，是落实探究意识，渗透核心素养的好素材、好载体.
以下以人教版8年级上册第56页拓广探索第12题的教学为例作出说明.
1功能分析
（1）以上述第12题为基，可以探索“三线（高线、中线、角平分线）”分三角形成两个三角形的面积比与两条分线段比的关系，感受结论的统一性与和谐性，渗透数学之美;
（2）进一步探究角平分线分线段之比与另外两条边之比的关系，灵活应用角平分线的性质（即“角平分线上任一点到角两边的距离相等”），渗透同一图形面积不变原理;
（3）在动态变化中捕捉可用信息，定格关键点或关键位置，在动静结合中感知“三线”状态带来的面积之变与不变，让面积法入心入理.
2教学实施
2.1教学设想
了了几言，一道题目，简洁的表达，精干的外表，和谐的结论，本身蕴含着数学之美.有关三角形的面积问题，在小学阶段学生已经能够计算，但只是停留在具体数字化运算的层面，现在初中学段再面对三角形的面积时，除了从具体化走向形式化的运算外，还应有逻辑推理之蕴意.在教学时，作为本拓广探索性问题，为了充分发挥其可探索的功能，彰显其应有的教学价值，指向思维深处的追索，笔者尝试把所求证的结论隐去，并让给定的条件动态化，預置为具有动态之美的开放情境，如此以来，相当于把整个问题给开放了，所以才有了探索结果的多向度、多元化.
2.2教学过程
2.2.1开放问题，有效提取若D是BC边上的动点，我们发现，点D在运动过程中，被分成的两个三角形的面积在不断发生着变化，那么这两个三角形面积的大小关系与点D的位置变化会有怎样的联系？
（1）提出问题：S△ABD与S△ACD的面积关系，可以使用BD与CD关系来描述，除此之外，还可以如何表达？
（2）思考：当我们发现AD是三角形的角平分线时，我们由此联想到什么？
具体教学时笔者采用了方法2，感觉方法1指向性过于明确，如此的发问迁移的痕迹较浓重，而方法2是基于学生的认知联想，是对学生角的平分线命题域（CPFS）[1]的完善，将有助于学生形成有效的认知组块，便于后继面对相关问题时的使用和提取，进而成为解题的有力武器.
学生的认识有：①∠BAD=∠CAD;②角平分线上任一点到角两边的距离相等.
至此，笔者继续发问：第二句话是通过文字（自然）语言表达的，我们知道数学语言有三种形态，若使用其它形态语言（图形语言和符号语言）该如何表达？
至此，笔者引导学生用文字语言进行表达，通过交流、调适，达成如下共识：
“三角形的角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例”.随即笔者指出，这就是著名的“角平分线的性质定理”（现行人教版教材已经去掉，但作为拓展延伸研究，颇具智能价值）.
说明：在后继相似三角形学习后，这一素材将会有更大的探索空间，是构造相似三角形用之解决问题的经典案例，留待后续研究.在此实施开放教学就是考虑到学生的可接受性、可发展性，以及图形所提供的结论的可接受性、可发展性而设置的.
2.2.2纵深思考，有意渗透
思考（1）（把条件特殊化）若△ABC满足AB=AC，我们会有什么新的发现？
BD=CD.
师（点化）：这就是说，此时三角形的角平分线摇身一变变成了三角形的中线，至此，同学们还会有什么进一步的认识？
这个时候会有△ABD与△ACD全等，进一步获得∠BDA=∠CDA=90°，这样一来AD这条线就非常特殊了，这个新认识可是个了不起的发现——等腰三角形的“三线合一”定理.
设计意图由一般到特殊的有意渗透，笔者认为是有意义、有价值的渗透，让学生看到了特殊化的力量以及几何研究的基本套路.
师：刚才我们的思考体现了数学上研究问题的哪一种常用思想方法？
生：一般到特殊.
师：是的，这是研究几何图形很重要的思想方法.从一般到特殊，条件得以强化，我们往往会有更多的发现.这也是研究几何图形的基本套路.
（2）反观图形，不论点D所处的位置如何，△ABD与△ACD总有公共的高，则一定有S△ABD∶S△ACD=BD∶DC.此即为张景中院士所说“三共定理”中的“共高定理”[2].
（3）若把两个图形结合起来思考，我们还可以进一步获得一些关系式：12AB·DE=12BD·AH，即AB·DE=BD·AH，同理可得：AC·DF=CD·AH.
可见，它们结合起来共同体现出一个恒定关系——同一图形面积不变定理.
设计说明若止步于环节2.2.1，其价值性受限于眼前，若通过老师有意识的引领，会看到问题本身或解决问题的过程中蕴含的发展性功能，否则给人一种意犹未尽的感觉，使得启动起来的思维未竟而终，实为可惜！由此，设计了这一教学环节.
3教学反思
3.1立足现实，关注发展
一个几何图形若从发展的角度去思考，其结论是不唯一的，是丰富多彩的，并且它们之间往往密切关联，存在内在的逻辑关系.若止步于一个结论，其价值性就小了，但若关注到其生长性，就可以发现长出了一个个的枝条，直至成为一个枝繁叶茂的图形之树.这就是关注发展、着眼学生思维进阶的教学.华罗庚先生曾说过：我讲书喜欢埋些伏笔，有些重要概念、方法尽可能早在具体问题中提出，并不止一次提出.……我也喜欢生书熟讲，熟书生温的方法，似乎在温熟书，但把新东西讲进去了.这句话体现的就是不断地渗透，使得新脱胎于旧，旧融入于新，分不清新知、旧知彼此，让学生体验到新知是旧知的自然生长，在不知不觉中，弄懂了，学会了，长智了！
作为角平分线的性质定理，纵然现行教材没有作为定理嵌入，但如此美妙、和谐的结论，对其展开探究是有意义的，其价值性不可低估，对激发学生的深度思考、深入探究起着启智开塞的作用.以上华老的经典论述也为笔者的教学行为助了力，蓄了势.
等腰三角形的“三线合一”定理本来是后续的知识，在现有的探索之下，只要践行“一般到特殊”的探研思路，不难发现它的存在.这都是“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”的成果，是顺理成章的，是学生思维的汩汩流淌，而非强托硬拽的认知霸权.“一般到特殊”既是几何常用研究之路，也是学生思维创新的一种策略，不断践行、不断渗透，终有收益.
3.2借力计算，面积不变面积法古之有之，堪称中国数学的经典之法，往往在使用时表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，常会收到出奇制胜的效果.如果我们在解题时能深入挖掘题目中的隐含条件或潜在信息，善于根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，巧用面积法进行沟通，往往能使题目中量与量之间的关系变得简单明了，可谓朴实中蕴藏奇异，简单中透出真力.
同一图形面积不变原理（如前文2.2.2（3）中的关系式“AB·DE=BD·AH”和“AC·DF=CD·AH”）是面积法得以有效使用的保障，学生从小学就开始认识面积，这应该是我们最擅长的计算了，但以此推理，把计算与推理对接本身就是一种挑战，一种超越常态的观念.张景中院士曾试图通过面积构建起整个初中几何体系，他认为：面积就是串联几何所有其他元素、甚至整个几何定理、方法、思路、公理系统的那条主线，是开启几何新思路之门的那把钥匙.并说可以与欧氏几何一争在中学的地位，这都从一定意义上说明了图形面积的重要性.
参考文献
[1]喻平，单墫.数学学习心理的CPFS结构理论[J].2003（02）：13-16.
[2]张景中.一线串通的初等数学.湖北：湖北科学技术出版社.2017.
作者简介：邢成云，“万人计划”全国教学名师、山东省特级教师、齐鲁名师、全国首期名师领航工程人选，山东省优秀教师、山东省师德标兵、山东省教学能手、山东省有突出贡献的中青年专家，发表论文180多篇，其中被中国人大书报复印资料中心全文转载17篇，被索引25篇，两次获得山东省省级教学成果一等奖.