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【研究背景】
缘起
小组成员苏麟初中阶段刚刚接触物理里有关能量的内容的时候，就猜想过汽车是否能通过重力势能与动能的相互转化完成加速和减速。这几年我们都是骑车上学，直观感受到了能量很容易被刹车大量损耗，让我们骑得很累。我们就在想：能量不是守恒吗？为什么不能利用重力做负功回收减速过程中的动能呢？到了高中，我们有一定的数学基础之后，我们希望相对严谨地研究一下汽车行驶在下凹型路面上的节能效果到底是否像我们所猜想的一样。除此之外，我们还想探究下凹型路面是否有节省时间的效果。
目的
公路上有很多红绿灯。行驶途中，汽车每到一个红绿灯路口，或者是进站，就不可避免地需要刹车来减速。这种频繁的刹车会大量地损耗能量，把车辆消耗燃油获得的一大部分动能转化为不可回收利用的刹车片摩擦生热产生的内能，从而大量增加行驶完这段距离所需要燃油的量。
我们希望初步地探究一些路面曲线，使得汽车在这种路面上，由重力做正功提供部分加速所需的动能，并且由重力做负功回收绝大部分减速所需减少的动能，以达到大幅度减少刹车的目的。使车辆产生的动力方向一直朝向前进方向，让消耗燃油获得的所有动能全部用于走完这段路。
我们所要研究的，就是我们关于下凹型路面在理论上可达到的节能效果如何。在这之后，我们还要探究下凹型路面是否有节省时间的效果。
猜想
路面侧视图
这种中间的平路下陷、两边的斜坡向上翘起、左右对称、平滑连接类型的轨道将会满足我们希望达到的目的：中间的平路下陷、两边的斜坡向上翘起的设计是为了最大化地通过动能与重力势能的相互转化增减速度，运用保守力做功改变速度的大小。
同时，我们还考虑了其他几项可行性要求：全程对称是因为道路需要双向通行。平滑连接是为了保持乘客的舒适。
【探究一：下凹型路面能源消耗的性质】
猜想
如果，任意一段路面满足：①起点与终点之间距离一定②道路俯视图为同一条直线段（不绕路）③路面侧视图可以弯曲。
那么，汽车在这段路上用燃烧的一定量燃油所获取的一定量引擎输出动能行驶完这段距离，能量损耗在于阻力做的功，阻力做功的大小恒定。因而，车辆行驶完这段路程所需消耗的最少燃油已经确定。不考虑其他要求的情况下，下凹型路面与平直型路面的最低耗能相同。
验证猜想中的假设
要想证明猜想正确，需要证明两个假设成立：引擎效率比恒定（燃烧一定量的燃油获取一定量的引擎输出动能）；阻力做功恒定（行驶一定的距离需要一定的引擎输出动能）。
我们借助引擎输出动能做中间桥梁，把行驶一定的距离与消耗一定的燃油联系起来。
假设一：引擎效率比恒定
这样的简化可以使：猜想中的“汽车的引擎输出动能”与“燃烧的燃油”直接建立正比联系。
车辆设计好以后，其他的影响因素变化较小可以忽略时，在所有常用的动能输出功率下，车辆获得动能的效率——动能输出功率与燃料输入功率之比——始终不随着输出功率的变化而变化。汽车无论在途中什么地方什么时间踩多猛的油门，消耗的燃油效率比恒定。
验证假设一
实践是检验真理的最佳标准，我们首先尝试做直接的实验验证；其次，我们引用了官方和文献中的理论资料。
方法一：汽车实地测量
【实验概况】：3月17日晚上十点，研究小组的成员苏麟做好选定路线等准备之后，在父亲的帮助下驾驶自家的奥迪Q5 2.0TFSI型号汽车开始实地验证猜想中的假设。
【实验方式】：我们全程借助定速巡航系统测量了奥迪Q5 2.0TFSI型号汽车自动挡行驶时分别在30、40、50……100km/h的百公里油耗。我们全程借助摄像机记录下行车电脑显示的引擎的瞬时油耗以及每小组实验的平均油耗。排除了车辆上坡下坡的影响之后，我们对于数据加以分析。
【实验原理】：实地验证中，我们运用车辆变化的行驶速度代表变化的输出功率；引擎的瞬时油耗以及每部分的平均油耗代表汽车获得动能的效率——动能输出功率与燃料输入功率之比。
【数据收集】：
【数据分析】：
【实验反思】：我们选择的高速公路都不可避免地有上坡下坡，对我们收集的数据造成极大影响。但是通过分析左侧的等速油耗图表可以看出：油耗并不随着速度变化而定向变化。因而，可以推断：拟合出的R方值并不理想主要是因为实验误差。
【实验结论】：我们得到初步的结论：理想模型中的猜想大体符合实际，误差在可以忽略的范围内。汽车获得动能的效率在所有常用的动能输出功率下，不随着输入功率的变化而变化。
方法二：查阅引擎技术数据
我们引用了发动机运行在某功率时的能效的函数图像，验证能效之比是否不随输出功率大小变化而接近定值。
通过查阅网上的资料，我们了解到：在同一档位，发动机转速与输入功率大小成正比；输出功率在1000到5000转/分钟间与发动机转速成正比。因此，发动机在1000到5000转/分钟间，输出功率与输入功率成正比。
强劲动力与低排放的结合—新BMW535i高效发动机 图1-3 汽油发动机外特性中的功率与转矩曲线
假设二：阻力做功恒定
验证假设二的第一步
阻力由两部分组成：空气阻力和滚动阻力。此部分旨在找到两种阻力及与支持力之间的近似关系，从而建立理想模型简化计算。
我们同样采用实验与理论两种途径分别验证假设二的第一步。
方法一：汽车实地测量
【设计说明】：我们设计的实验一举两得：通过收集数据，同时可以证明假设一和假设二都是成立的，但是原理不同。
【实验原理】：实地验证中，车辆变化的行驶速度会导致空气阻力的变化。我们已经证明了假设一——效率比恒定。在定速巡航时，引擎的正功全部被阻力的负功抵消，牵引力F等于合阻力f。瞬时油耗显示的是汽车用速度v行驶100km所需的动能供给，与动能供给的功率P=F*v成正比。阻力做功的功率P=f*v。所以瞬时油耗与合阻力大小成正比。因此，我们可以运用引擎的瞬时油耗代表汽车所受的合阻力的大小。我们需要验证汽车速度的变化与汽车所受合阻力的大小是否有关。 【数据分析】：
【实验结论】：我们得出初步的结论：理想模型中的猜想大体符合实际，误差在可以忽略的范围内。在所有常用的速度下，由空气阻力和车轮阻力共同组成的合阻力大小与汽车的速度无关。这可以排除一个建模过程中的干扰因素。
方法二：查阅理论资料，统计数据，并根据资料计算
查阅资料
根据山东交通学院刁立福副教授在《汽车动力性》讲义中所述，汽车行驶的合阻力主要来自于两方面：车轮阻力和空气阻力。因而我们只需证明二者之和几乎总与汽车所受支持力成正比。
【滚动阻力】：
滚动阻力系数是用来计算滚动阻力的一个系数，是概括轮变形道路变心、道路变形以及接触面的摩擦等损失的系数。它是车轮滚动时所需的推力（即滚动阻力）与车轮载荷的比值，即单位汽车重力所需之推力。
f=μN
《汽车动力性》讲义中提供的数据是：汽车与公路间的滚动阻力系数fR（即μ）在0.008到0.02之间。
百度文库的《汽车理论（第五版）：第一章第二节》讲义中提供的数据是：
【空气阻力】：
《汽车动力性》讲义中说到：
从讲义以及我们查阅的其他资料中，可知CW大约在0.2到0.4之间。
根据理论，统计数据并计算
我们在汽车互动媒体网站“汽车之家”中随机查取了十种汽车的相关数据，并利用所得公式和数据对滚动阻力和空气阻力做了数学计算的分析。
车型 质量（kg） 高（m） 宽（m） 风阻/v^2
（Cw=0.4） 滚阻（N）
（μ=0.008） v=100km/h时风阻与滚阻的比 v=50km/h时风阻与滚阻的比
宝马5系 2014款 520Li 典雅型 1740 1.491 1.86 0.052 136.416 0.297 0.074
奥迪A6（进口）2013款 40 hybrid 1845 1.426 1.874 0.051 144.648 0.270 0.067
奔驰CLS级 2012款 CLS300 CGI 1839 1.416 1.881 0.050 144.1776 0.270 0.067
皇冠 2012款 V6 2.5L Royal 1675 1.5 1.81 0.051 131.32 0.302 0.075
车型 质量（kg） 高（m） 宽（m） 风阻/v^2
（Cw=0.4） 滚阻（N）
（μ=0.008） v=100km/h时风阻与滚阻的比 v=50km/h时风阻与滚阻的比
红旗H7 2013款 2.0T 技术型 1800 1.485 1.875 0.053 141.12 0.288 0.072
凯迪拉克XTS 2013款 28T 舒适型 1840 1.501 1.852 0.053 144.256 0.281 0.070
雷克萨斯ES 2013款 250 精英版 1595 1.45 1.82 0.050 125.048 0.308 0.077
沃尔沃S80L 2014款 2.0T T5 智逸版 1728 1.49 1.861 0.052 135.4752 0.299 0.075
英菲尼迪Q70L 2013款 2.5L 舒适版 1771 1.5 1.845 0.052 138.8464 0.291 0.073
MODEL S 2014款 MODEL S 85 2018 1.435 1.964 0.053 158.2112 0.260 0.065
平均值 0.286 0.072
数据验证中，我们采用了令μ=0.008和CW=0.4的数据，也就是令空气阻力达到最大，滚动阻力达到最小。在此种极端情况下，通过Excel表格的数据分析，我们不难发现：在速度低于100km/h的情况下，空气阻力与滚动阻力的比值几乎与速度无关。在速度低于50km/h的情况下，空气阻力甚至可以被忽略。而事实上，由于近来汽车的外形大多是流线型，CW小于0.4，而μ也大于0.008，因此空气阻力与滚动阻力的比值比这次数据验证中得到的结果值还要小很多。也就是说，空气阻力随速度变化而发生的变化对合阻力的影响非常小，可以忽略。
我们的亲自计算发现：结果与《汽车动力性》讲义中的结论大致相符。
因此，我们可以简化研究的模型：合阻力f与支持力N成正比。
验证假设二的第二步
通过物理力学原理的分析可以得出：如果物体受到性质类似静摩擦力的阻力从起点运动到终点，那么在下凹的弧形轨道上运动时，相比在平直轨道运动时，全程阻力做功总量会因为需要提供向心加速度而多产生一部分的损耗。
然而，我们相信，当下凹型路面的曲率半径设计得比较大的时候，可以通过计算证明：这一部分多出来的损耗相比阻力做的总功非常的小，可以近似忽略。
由于无法做出1：1的比例模型进行实验，在道路上开车实验的危险性又非常大，所以我们应用物理学里的动力学知识，采用理论计算的方法证明。
理论计算
第一步：由以地面方向为x轴参照的坐标系转换为以汽车地板方向为x轴参照的坐标系。
第二步：自己推导法向加速度、切向速度与路面曲线解析式之间的关系，几何问题代数化。
第三步：求助资料，尝试计算曲率半径。
曲率的倒数就是曲率的半径。
平面曲线率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的动率，通过微分来定义，表明曲线偏高直线的程度。
K=lim，△s趋向于0的时候，定义k就是曲率。 推导过程：
第四部：整合结论并计算
其中y’（f’（x））为曲线解析式的一阶导数，y’’（f’’（x））为曲线解析式的二阶导数。
由于我们高中生的数学基础并不完善，我们无法广泛地探究各种形状的曲线（我们尝试过最速降线、二次函数）。因而，我们在此只讨论最简单的曲线——圆弧，因为圆弧的曲率半径始终恒定。
其中k为合阻力系数，我们取0.02；m为汽车质量，我们取2000kg；g为重力加速度的大小，我们取10m/s^2；x为圆弧路面的起点到圆弧的终点（浅蓝色粗线段所示）的距离。由于α足够小，我们可以近似把圆弧路面的路程（浅橙色粗线段）看做等于投影到x轴的距离（浅蓝色粗线段）。我们假设汽车的加速度为1.5m/s^2，，道路的最大限速为25m/s，那么通过计算得出：x约等于100m。
因而，向心加速度多消耗的这一部分能量大小远远小于：4*0.02*2000*10*100*10%J。
不妨设汽车行驶的高速公路的总长为3km，那么平直型路面需要消耗能量的大小等于：0.02*2000*10*3000J。
向心加速度多消耗的这一部分能量大约占了总能量的1.2%，大小可以忽略。
结论一
下凹型路面有着与平直路面几乎相同的能源消耗。
【探究二与探究三：下凹型路面相比平直型路面的优势】
既然下凹型路面的最小能源消耗同平直型路面一样，为什么还要设计下凹路面呢？我们猜想的原因以及证明如下。
猜想
猜想一：如果想要让平直路面上的时间消耗与下凹型路面上的相同（平均速度相同），下凹型路面将会耗费比在平直型路面上更少的能源。
猜想二：如果想要让平直路面上的能源消耗与下凹型路面上的相同（都不刹车），下凹型路面将会耗费比在平直型路面上更短的时间。
验证猜想：模型分析
与我们无法实验验证“假设二的第二步：阻力做功恒定”一样，我们采用理论推导的方法，然后代入不妨设出的数据进行计算验证。
验证猜想一：时间相同，比较能耗（此处允许平直型路面上刹车）
因为前文中已经证明平直路面与下凹路面在不刹车的情况下所耗能源几乎相同（差别为12%），
所以此处我们简化计算的模型，认为：
平直’（时间与下凹相同，结尾踩刹车）所需消耗的多出的能量就在结尾刹车当中。
本条件下，FJG过程动能减少了E刹==m×312.5J/kg
汽车正常滑行不刹车时，阻力消耗的能量W阻=k×m×g×s=m×47J/kg
因此，其他能量都被刹车片所消耗，大小等于W热=m×265.5J/kg
整段路程本需要消耗能量E总=k×m×g×x=m×600J/kg
刹车片损耗44.25%接近一半的能源，显然不能像之前的12%一样被忽略，这些能源显然不能被白白浪费！
从上图不难看出如果汽车在平直路面想要与在下凹路面的平均速度一样大，即行驶完全程的时间一样短，就一定需要刹车，白白浪费大量能源。
因而，我们得出结论：如果想要让平直路面上的时间消耗与下凹型路面上的相同（平均速度相同），当在直线型路面上刹车时，下凹型路面将会耗费比在平直型路面上远远更少的能源。
验证猜想二：能耗相同，比较时间
假设这段路限速v=25m/s（=9×10km/h），长度x=3km（=30×0.1km）
加速过程中x=；v=a×t
我们不妨近似地认为汽车加速期间的加速度恒定，这样便于我们高中生的计算。
我们查阅资料得到：汽车平均的0到30m/s（≈100km/h）最短加速时间为12秒。
如果汽车全开油门起步加速（因为需要尽快达到最大速度，从而能提高平均速度）时，
我们不妨设它依靠引擎的动力在平直路面的加速度a平=2.5m/s2（=9km/h2）。
那么它在下凹路面的加速度一定大于a平，因为汽车除了受到引擎的牵引力，还受到重力分力。
如果道路与水平面间的夹角仅仅为θ=5°，重力分力产生的加速度将达到10m/s2×sinθ=0.87m/s2（≈3km/h2）。
下凹路面的加速度相比平直路面的增加了30%之多，达到大约a凹=3.5m/s2（≈12.5km/h2）。
对于平直路面，需要10秒达到最高速度，此时x=125m=1.25×0.1km
对于下凹路面，需要7.5秒达到最高速度，此时x=93.75m≈0.90×0.1km
如果汽车正常起步加速（驾驶员正常开车）时，我们不妨设它在平直路面的加速度a平=1.5m/s2（=5.4km/h2）。
那么它在下凹路面的加速度一定大于a平，因为汽车除了受到引擎的牵引力，还受到重力分力。
如果道路与水平面间的夹角仅仅为θ=5°，重力分力产生的加速度将达到10m/s2×sinθ=0.87m/s2（≈3km/h2）。
下凹路面的加速度相比平直路面的增加了60%之多，达到大约a凹=2.4m/s2（≈9km/h2）。
对于平直路面，需要16秒达到最高速度，此时x=205m≈2.00×0.1km
对于下凹路面，需要10秒达到最高速度，此时x=125m=1.25×0.1km
这里为了看得更清晰，我们取正常起步加速的情况。
减速过程中，由于前提是节能不刹车，所以完全靠合阻力以及下凹路面的重力分力减速。
减速过程中，同样地，x=；v=a×t
通过前文的计算以及资料检索我们发现：汽车平均的合阻力系数为0.02，也就是说a平′=0.2m/s2（≈0.72km/h2） 那么它在下凹路面的加速度一定大于a平′，
因为汽车除了受到自身的合阻力（前文论述的车轮阻力及空气阻力），还受到重力分力。
如果道路与水平面间的夹角仅仅为θ=5°，重力分力产生的加速度将达到10m/s2×sinθ=0.87m/s2（≈3km/h2）。
下凹路面提供的负向加速度相比仅有合阻力提供的增加了435%之多，达到大约a凹′=1.1m/s2（≈4km/h2）。
对于平直路面，停止动力供应之后，需要125秒由90到0km/h，此时x=3000m-1562.5m=14.4×0.1km
对于下凹路面，需要25秒由90到0km/h，此时x=3000m-312.5m=26.9×0.1km
做出图像之后不难看出，下凹路面的平均速度远远大于平直路面的平均速度。
横轴代表位移x（*0.1km），纵轴代表速度v（*10km/h）。
在这个理想模型当中，我们不妨设：汽车的加速度不随着速度变化，路面的倾斜角不随着距离变化，即路面是由几条直的线段拼接而成。
汽车匀加速的图像在x-v图像中本应该是一段形如y=a*sqrt（x+b）+c，但是运用直线代替也不会影响直观效果，因为四段抛物线中加速的一对和减速的一对都是同时上凸和同时下凸的。
全程的平均速度与两个四边形的面积正相关，近似成正比；时间与两个四边形的面积负相关，近似成反比。
通过几何画板的计算可以得到：下凹型路面四边形比平直型路面四边形多出来的面积：平直型路面四边形面积=31.4%。此时，多出来的平均速度远远不能被忽略，节省出的时间占到总时间的近三分之一之多。
因而，我们得出结论：如果想要让平直路面上的能源消耗与下凹型路面上的相同（都不刹车），下凹型路面将会耗费比在平直型路面上远远更短的时间。
结论二
平直路面的优势下凹路面有，平直路面没有的优势下凹路面也还有。因而，相对来说，下凹路面可以同时既节能又省时。
【浅谈可行性】
地铁用的下凹型路面的案例
在梁广深《地铁节能线路纵断面设计研究》论文中，描述了南京地铁2号线向兴路站到所街站的设计。我们从此文中提取出相关信息：此设计正是一个坡度很小的下凹型路面。原文指出，列车在此中为惰行，即无需消耗能源，与我们的设计十分相似。
南京地铁2号线向兴路一所街区间长1364m，加速坡长度为250m，两侧的加速坡为8‰，在加速坡后面连接3‰和45‰的接续坡道，排水站位于区间中部。由牵引图（见图6）可以看出，列车启动加速以后，一路惰行到达前方车站。在经过下坡或上坡道时，速度比较平稳，运行效果较好。
对于汽车的可行性设计
用于汽车时，我们需要考虑汽车等待红灯时的排队情况。因而，我们优化了方案：在红绿灯的两侧镶嵌一段平直路面。
以上证明了下凹型路面可以用于汽车。我们还相信：通过非常相似的建模分析，这种节约能源、节省时间的道路设计方案还可以用于地铁以及火车。
不仅如此，下凹型路面还可能有其他优势。例如：如果把公共汽车的路面设计成下凹型路面，那么把站台设置在高于地面的一层不仅可以对于公共汽车自身有省时省力的优势，而且可以有效地避免因为公共汽车靠站停车而堵塞交通、占用自行车道、乘客上下车危险等其他的实际问题，最高效地利用空间。
由于我们高中生的数学基础受限，我们尝试其他类型的曲线（多项式型曲线、圆锥曲线、参数方程曲线）全都遇到了很大的困难。但是我们坚信：在经过更多的学习尝试之后，我们一定能够对下凹型路面做更深层次的研究和设计！
【参考文献】
《汽车动力性》讲义，作者：山东交通学院刁立福副教授；BMW（中国）官方网站；《汽车理论（第五版）》；
汽车互动媒体网站“汽车之家”http：//www.autohome.com.cn/；《汽车滚动阻力系数测试方法》百度文库。梁广深《地铁节能线路纵断面设计研究》
【作者合作经历】
苏麟提出想法，团队两人一起合作探究。苏麟主要负责查阅资料、实地测量、计算及论文书写；刘丰铭主要负责统计数据及部分计算，同时参与查阅资料及论文书写。二人共同思考、讨论、修改。
（指导教师：徐晓阳）
缘起
小组成员苏麟初中阶段刚刚接触物理里有关能量的内容的时候，就猜想过汽车是否能通过重力势能与动能的相互转化完成加速和减速。这几年我们都是骑车上学，直观感受到了能量很容易被刹车大量损耗，让我们骑得很累。我们就在想：能量不是守恒吗？为什么不能利用重力做负功回收减速过程中的动能呢？到了高中，我们有一定的数学基础之后，我们希望相对严谨地研究一下汽车行驶在下凹型路面上的节能效果到底是否像我们所猜想的一样。除此之外，我们还想探究下凹型路面是否有节省时间的效果。
目的
公路上有很多红绿灯。行驶途中，汽车每到一个红绿灯路口，或者是进站，就不可避免地需要刹车来减速。这种频繁的刹车会大量地损耗能量，把车辆消耗燃油获得的一大部分动能转化为不可回收利用的刹车片摩擦生热产生的内能，从而大量增加行驶完这段距离所需要燃油的量。
我们希望初步地探究一些路面曲线，使得汽车在这种路面上，由重力做正功提供部分加速所需的动能，并且由重力做负功回收绝大部分减速所需减少的动能，以达到大幅度减少刹车的目的。使车辆产生的动力方向一直朝向前进方向，让消耗燃油获得的所有动能全部用于走完这段路。
我们所要研究的，就是我们关于下凹型路面在理论上可达到的节能效果如何。在这之后，我们还要探究下凹型路面是否有节省时间的效果。
猜想
路面侧视图
这种中间的平路下陷、两边的斜坡向上翘起、左右对称、平滑连接类型的轨道将会满足我们希望达到的目的：中间的平路下陷、两边的斜坡向上翘起的设计是为了最大化地通过动能与重力势能的相互转化增减速度，运用保守力做功改变速度的大小。
同时，我们还考虑了其他几项可行性要求：全程对称是因为道路需要双向通行。平滑连接是为了保持乘客的舒适。
【探究一：下凹型路面能源消耗的性质】
猜想
如果，任意一段路面满足：①起点与终点之间距离一定②道路俯视图为同一条直线段（不绕路）③路面侧视图可以弯曲。
那么，汽车在这段路上用燃烧的一定量燃油所获取的一定量引擎输出动能行驶完这段距离，能量损耗在于阻力做的功，阻力做功的大小恒定。因而，车辆行驶完这段路程所需消耗的最少燃油已经确定。不考虑其他要求的情况下，下凹型路面与平直型路面的最低耗能相同。
验证猜想中的假设
要想证明猜想正确，需要证明两个假设成立：引擎效率比恒定（燃烧一定量的燃油获取一定量的引擎输出动能）；阻力做功恒定（行驶一定的距离需要一定的引擎输出动能）。
我们借助引擎输出动能做中间桥梁，把行驶一定的距离与消耗一定的燃油联系起来。
假设一：引擎效率比恒定
这样的简化可以使：猜想中的“汽车的引擎输出动能”与“燃烧的燃油”直接建立正比联系。
车辆设计好以后，其他的影响因素变化较小可以忽略时，在所有常用的动能输出功率下，车辆获得动能的效率——动能输出功率与燃料输入功率之比——始终不随着输出功率的变化而变化。汽车无论在途中什么地方什么时间踩多猛的油门，消耗的燃油效率比恒定。
验证假设一
实践是检验真理的最佳标准，我们首先尝试做直接的实验验证；其次，我们引用了官方和文献中的理论资料。
方法一：汽车实地测量
【实验概况】：3月17日晚上十点，研究小组的成员苏麟做好选定路线等准备之后，在父亲的帮助下驾驶自家的奥迪Q5 2.0TFSI型号汽车开始实地验证猜想中的假设。
【实验方式】：我们全程借助定速巡航系统测量了奥迪Q5 2.0TFSI型号汽车自动挡行驶时分别在30、40、50……100km/h的百公里油耗。我们全程借助摄像机记录下行车电脑显示的引擎的瞬时油耗以及每小组实验的平均油耗。排除了车辆上坡下坡的影响之后，我们对于数据加以分析。
【实验原理】：实地验证中，我们运用车辆变化的行驶速度代表变化的输出功率；引擎的瞬时油耗以及每部分的平均油耗代表汽车获得动能的效率——动能输出功率与燃料输入功率之比。
【数据收集】：
【数据分析】：
【实验反思】：我们选择的高速公路都不可避免地有上坡下坡，对我们收集的数据造成极大影响。但是通过分析左侧的等速油耗图表可以看出：油耗并不随着速度变化而定向变化。因而，可以推断：拟合出的R方值并不理想主要是因为实验误差。
【实验结论】：我们得到初步的结论：理想模型中的猜想大体符合实际，误差在可以忽略的范围内。汽车获得动能的效率在所有常用的动能输出功率下，不随着输入功率的变化而变化。
方法二：查阅引擎技术数据
我们引用了发动机运行在某功率时的能效的函数图像，验证能效之比是否不随输出功率大小变化而接近定值。
通过查阅网上的资料，我们了解到：在同一档位，发动机转速与输入功率大小成正比；输出功率在1000到5000转/分钟间与发动机转速成正比。因此，发动机在1000到5000转/分钟间，输出功率与输入功率成正比。
强劲动力与低排放的结合—新BMW535i高效发动机 图1-3 汽油发动机外特性中的功率与转矩曲线
假设二：阻力做功恒定
验证假设二的第一步
阻力由两部分组成：空气阻力和滚动阻力。此部分旨在找到两种阻力及与支持力之间的近似关系，从而建立理想模型简化计算。
我们同样采用实验与理论两种途径分别验证假设二的第一步。
方法一：汽车实地测量
【设计说明】：我们设计的实验一举两得：通过收集数据，同时可以证明假设一和假设二都是成立的，但是原理不同。
【实验原理】：实地验证中，车辆变化的行驶速度会导致空气阻力的变化。我们已经证明了假设一——效率比恒定。在定速巡航时，引擎的正功全部被阻力的负功抵消，牵引力F等于合阻力f。瞬时油耗显示的是汽车用速度v行驶100km所需的动能供给，与动能供给的功率P=F*v成正比。阻力做功的功率P=f*v。所以瞬时油耗与合阻力大小成正比。因此，我们可以运用引擎的瞬时油耗代表汽车所受的合阻力的大小。我们需要验证汽车速度的变化与汽车所受合阻力的大小是否有关。 【数据分析】：
【实验结论】：我们得出初步的结论：理想模型中的猜想大体符合实际，误差在可以忽略的范围内。在所有常用的速度下，由空气阻力和车轮阻力共同组成的合阻力大小与汽车的速度无关。这可以排除一个建模过程中的干扰因素。
方法二：查阅理论资料，统计数据，并根据资料计算
查阅资料
根据山东交通学院刁立福副教授在《汽车动力性》讲义中所述，汽车行驶的合阻力主要来自于两方面：车轮阻力和空气阻力。因而我们只需证明二者之和几乎总与汽车所受支持力成正比。
【滚动阻力】：
滚动阻力系数是用来计算滚动阻力的一个系数，是概括轮变形道路变心、道路变形以及接触面的摩擦等损失的系数。它是车轮滚动时所需的推力（即滚动阻力）与车轮载荷的比值，即单位汽车重力所需之推力。
f=μN
《汽车动力性》讲义中提供的数据是：汽车与公路间的滚动阻力系数fR（即μ）在0.008到0.02之间。
百度文库的《汽车理论（第五版）：第一章第二节》讲义中提供的数据是：
【空气阻力】：
《汽车动力性》讲义中说到：
从讲义以及我们查阅的其他资料中，可知CW大约在0.2到0.4之间。
根据理论，统计数据并计算
我们在汽车互动媒体网站“汽车之家”中随机查取了十种汽车的相关数据，并利用所得公式和数据对滚动阻力和空气阻力做了数学计算的分析。
车型 质量（kg） 高（m） 宽（m） 风阻/v^2
（Cw=0.4） 滚阻（N）
（μ=0.008） v=100km/h时风阻与滚阻的比 v=50km/h时风阻与滚阻的比
宝马5系 2014款 520Li 典雅型 1740 1.491 1.86 0.052 136.416 0.297 0.074
奥迪A6（进口）2013款 40 hybrid 1845 1.426 1.874 0.051 144.648 0.270 0.067
奔驰CLS级 2012款 CLS300 CGI 1839 1.416 1.881 0.050 144.1776 0.270 0.067
皇冠 2012款 V6 2.5L Royal 1675 1.5 1.81 0.051 131.32 0.302 0.075
车型 质量（kg） 高（m） 宽（m） 风阻/v^2
（Cw=0.4） 滚阻（N）
（μ=0.008） v=100km/h时风阻与滚阻的比 v=50km/h时风阻与滚阻的比
红旗H7 2013款 2.0T 技术型 1800 1.485 1.875 0.053 141.12 0.288 0.072
凯迪拉克XTS 2013款 28T 舒适型 1840 1.501 1.852 0.053 144.256 0.281 0.070
雷克萨斯ES 2013款 250 精英版 1595 1.45 1.82 0.050 125.048 0.308 0.077
沃尔沃S80L 2014款 2.0T T5 智逸版 1728 1.49 1.861 0.052 135.4752 0.299 0.075
英菲尼迪Q70L 2013款 2.5L 舒适版 1771 1.5 1.845 0.052 138.8464 0.291 0.073
MODEL S 2014款 MODEL S 85 2018 1.435 1.964 0.053 158.2112 0.260 0.065
平均值 0.286 0.072
数据验证中，我们采用了令μ=0.008和CW=0.4的数据，也就是令空气阻力达到最大，滚动阻力达到最小。在此种极端情况下，通过Excel表格的数据分析，我们不难发现：在速度低于100km/h的情况下，空气阻力与滚动阻力的比值几乎与速度无关。在速度低于50km/h的情况下，空气阻力甚至可以被忽略。而事实上，由于近来汽车的外形大多是流线型，CW小于0.4，而μ也大于0.008，因此空气阻力与滚动阻力的比值比这次数据验证中得到的结果值还要小很多。也就是说，空气阻力随速度变化而发生的变化对合阻力的影响非常小，可以忽略。
我们的亲自计算发现：结果与《汽车动力性》讲义中的结论大致相符。
因此，我们可以简化研究的模型：合阻力f与支持力N成正比。
验证假设二的第二步
通过物理力学原理的分析可以得出：如果物体受到性质类似静摩擦力的阻力从起点运动到终点，那么在下凹的弧形轨道上运动时，相比在平直轨道运动时，全程阻力做功总量会因为需要提供向心加速度而多产生一部分的损耗。
然而，我们相信，当下凹型路面的曲率半径设计得比较大的时候，可以通过计算证明：这一部分多出来的损耗相比阻力做的总功非常的小，可以近似忽略。
由于无法做出1：1的比例模型进行实验，在道路上开车实验的危险性又非常大，所以我们应用物理学里的动力学知识，采用理论计算的方法证明。
理论计算
第一步：由以地面方向为x轴参照的坐标系转换为以汽车地板方向为x轴参照的坐标系。
第二步：自己推导法向加速度、切向速度与路面曲线解析式之间的关系，几何问题代数化。
第三步：求助资料，尝试计算曲率半径。
曲率的倒数就是曲率的半径。
平面曲线率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的动率，通过微分来定义，表明曲线偏高直线的程度。
K=lim，△s趋向于0的时候，定义k就是曲率。 推导过程：
第四部：整合结论并计算
其中y’（f’（x））为曲线解析式的一阶导数，y’’（f’’（x））为曲线解析式的二阶导数。
由于我们高中生的数学基础并不完善，我们无法广泛地探究各种形状的曲线（我们尝试过最速降线、二次函数）。因而，我们在此只讨论最简单的曲线——圆弧，因为圆弧的曲率半径始终恒定。
其中k为合阻力系数，我们取0.02；m为汽车质量，我们取2000kg；g为重力加速度的大小，我们取10m/s^2；x为圆弧路面的起点到圆弧的终点（浅蓝色粗线段所示）的距离。由于α足够小，我们可以近似把圆弧路面的路程（浅橙色粗线段）看做等于投影到x轴的距离（浅蓝色粗线段）。我们假设汽车的加速度为1.5m/s^2，，道路的最大限速为25m/s，那么通过计算得出：x约等于100m。
因而，向心加速度多消耗的这一部分能量大小远远小于：4*0.02*2000*10*100*10%J。
不妨设汽车行驶的高速公路的总长为3km，那么平直型路面需要消耗能量的大小等于：0.02*2000*10*3000J。
向心加速度多消耗的这一部分能量大约占了总能量的1.2%，大小可以忽略。
结论一
下凹型路面有着与平直路面几乎相同的能源消耗。
【探究二与探究三：下凹型路面相比平直型路面的优势】
既然下凹型路面的最小能源消耗同平直型路面一样，为什么还要设计下凹路面呢？我们猜想的原因以及证明如下。
猜想
猜想一：如果想要让平直路面上的时间消耗与下凹型路面上的相同（平均速度相同），下凹型路面将会耗费比在平直型路面上更少的能源。
猜想二：如果想要让平直路面上的能源消耗与下凹型路面上的相同（都不刹车），下凹型路面将会耗费比在平直型路面上更短的时间。
验证猜想：模型分析
与我们无法实验验证“假设二的第二步：阻力做功恒定”一样，我们采用理论推导的方法，然后代入不妨设出的数据进行计算验证。
验证猜想一：时间相同，比较能耗（此处允许平直型路面上刹车）
因为前文中已经证明平直路面与下凹路面在不刹车的情况下所耗能源几乎相同（差别为12%），
所以此处我们简化计算的模型，认为：
平直’（时间与下凹相同，结尾踩刹车）所需消耗的多出的能量就在结尾刹车当中。
本条件下，FJG过程动能减少了E刹==m×312.5J/kg
汽车正常滑行不刹车时，阻力消耗的能量W阻=k×m×g×s=m×47J/kg
因此，其他能量都被刹车片所消耗，大小等于W热=m×265.5J/kg
整段路程本需要消耗能量E总=k×m×g×x=m×600J/kg
刹车片损耗44.25%接近一半的能源，显然不能像之前的12%一样被忽略，这些能源显然不能被白白浪费！
从上图不难看出如果汽车在平直路面想要与在下凹路面的平均速度一样大，即行驶完全程的时间一样短，就一定需要刹车，白白浪费大量能源。
因而，我们得出结论：如果想要让平直路面上的时间消耗与下凹型路面上的相同（平均速度相同），当在直线型路面上刹车时，下凹型路面将会耗费比在平直型路面上远远更少的能源。
验证猜想二：能耗相同，比较时间
假设这段路限速v=25m/s（=9×10km/h），长度x=3km（=30×0.1km）
加速过程中x=；v=a×t
我们不妨近似地认为汽车加速期间的加速度恒定，这样便于我们高中生的计算。
我们查阅资料得到：汽车平均的0到30m/s（≈100km/h）最短加速时间为12秒。
如果汽车全开油门起步加速（因为需要尽快达到最大速度，从而能提高平均速度）时，
我们不妨设它依靠引擎的动力在平直路面的加速度a平=2.5m/s2（=9km/h2）。
那么它在下凹路面的加速度一定大于a平，因为汽车除了受到引擎的牵引力，还受到重力分力。
如果道路与水平面间的夹角仅仅为θ=5°，重力分力产生的加速度将达到10m/s2×sinθ=0.87m/s2（≈3km/h2）。
下凹路面的加速度相比平直路面的增加了30%之多，达到大约a凹=3.5m/s2（≈12.5km/h2）。
对于平直路面，需要10秒达到最高速度，此时x=125m=1.25×0.1km
对于下凹路面，需要7.5秒达到最高速度，此时x=93.75m≈0.90×0.1km
如果汽车正常起步加速（驾驶员正常开车）时，我们不妨设它在平直路面的加速度a平=1.5m/s2（=5.4km/h2）。
那么它在下凹路面的加速度一定大于a平，因为汽车除了受到引擎的牵引力，还受到重力分力。
如果道路与水平面间的夹角仅仅为θ=5°，重力分力产生的加速度将达到10m/s2×sinθ=0.87m/s2（≈3km/h2）。
下凹路面的加速度相比平直路面的增加了60%之多，达到大约a凹=2.4m/s2（≈9km/h2）。
对于平直路面，需要16秒达到最高速度，此时x=205m≈2.00×0.1km
对于下凹路面，需要10秒达到最高速度，此时x=125m=1.25×0.1km
这里为了看得更清晰，我们取正常起步加速的情况。
减速过程中，由于前提是节能不刹车，所以完全靠合阻力以及下凹路面的重力分力减速。
减速过程中，同样地，x=；v=a×t
通过前文的计算以及资料检索我们发现：汽车平均的合阻力系数为0.02，也就是说a平′=0.2m/s2（≈0.72km/h2） 那么它在下凹路面的加速度一定大于a平′，
因为汽车除了受到自身的合阻力（前文论述的车轮阻力及空气阻力），还受到重力分力。
如果道路与水平面间的夹角仅仅为θ=5°，重力分力产生的加速度将达到10m/s2×sinθ=0.87m/s2（≈3km/h2）。
下凹路面提供的负向加速度相比仅有合阻力提供的增加了435%之多，达到大约a凹′=1.1m/s2（≈4km/h2）。
对于平直路面，停止动力供应之后，需要125秒由90到0km/h，此时x=3000m-1562.5m=14.4×0.1km
对于下凹路面，需要25秒由90到0km/h，此时x=3000m-312.5m=26.9×0.1km
做出图像之后不难看出，下凹路面的平均速度远远大于平直路面的平均速度。
横轴代表位移x（*0.1km），纵轴代表速度v（*10km/h）。
在这个理想模型当中，我们不妨设：汽车的加速度不随着速度变化，路面的倾斜角不随着距离变化，即路面是由几条直的线段拼接而成。
汽车匀加速的图像在x-v图像中本应该是一段形如y=a*sqrt（x+b）+c，但是运用直线代替也不会影响直观效果，因为四段抛物线中加速的一对和减速的一对都是同时上凸和同时下凸的。
全程的平均速度与两个四边形的面积正相关，近似成正比；时间与两个四边形的面积负相关，近似成反比。
通过几何画板的计算可以得到：下凹型路面四边形比平直型路面四边形多出来的面积：平直型路面四边形面积=31.4%。此时，多出来的平均速度远远不能被忽略，节省出的时间占到总时间的近三分之一之多。
因而，我们得出结论：如果想要让平直路面上的能源消耗与下凹型路面上的相同（都不刹车），下凹型路面将会耗费比在平直型路面上远远更短的时间。
结论二
平直路面的优势下凹路面有，平直路面没有的优势下凹路面也还有。因而，相对来说，下凹路面可以同时既节能又省时。
【浅谈可行性】
地铁用的下凹型路面的案例
在梁广深《地铁节能线路纵断面设计研究》论文中，描述了南京地铁2号线向兴路站到所街站的设计。我们从此文中提取出相关信息：此设计正是一个坡度很小的下凹型路面。原文指出，列车在此中为惰行，即无需消耗能源，与我们的设计十分相似。
南京地铁2号线向兴路一所街区间长1364m，加速坡长度为250m，两侧的加速坡为8‰，在加速坡后面连接3‰和45‰的接续坡道，排水站位于区间中部。由牵引图（见图6）可以看出，列车启动加速以后，一路惰行到达前方车站。在经过下坡或上坡道时，速度比较平稳，运行效果较好。
对于汽车的可行性设计
用于汽车时，我们需要考虑汽车等待红灯时的排队情况。因而，我们优化了方案：在红绿灯的两侧镶嵌一段平直路面。
以上证明了下凹型路面可以用于汽车。我们还相信：通过非常相似的建模分析，这种节约能源、节省时间的道路设计方案还可以用于地铁以及火车。
不仅如此，下凹型路面还可能有其他优势。例如：如果把公共汽车的路面设计成下凹型路面，那么把站台设置在高于地面的一层不仅可以对于公共汽车自身有省时省力的优势，而且可以有效地避免因为公共汽车靠站停车而堵塞交通、占用自行车道、乘客上下车危险等其他的实际问题，最高效地利用空间。
由于我们高中生的数学基础受限，我们尝试其他类型的曲线（多项式型曲线、圆锥曲线、参数方程曲线）全都遇到了很大的困难。但是我们坚信：在经过更多的学习尝试之后，我们一定能够对下凹型路面做更深层次的研究和设计！
【参考文献】
《汽车动力性》讲义，作者：山东交通学院刁立福副教授；BMW（中国）官方网站；《汽车理论（第五版）》；
汽车互动媒体网站“汽车之家”http：//www.autohome.com.cn/；《汽车滚动阻力系数测试方法》百度文库。梁广深《地铁节能线路纵断面设计研究》
【作者合作经历】
苏麟提出想法，团队两人一起合作探究。苏麟主要负责查阅资料、实地测量、计算及论文书写；刘丰铭主要负责统计数据及部分计算，同时参与查阅资料及论文书写。二人共同思考、讨论、修改。
（指导教师：徐晓阳）