论文部分内容阅读
摘 要：人们都知道硬币是一种具有使用价值的货币，但是却很少人知道它的相关的数学性质—硬币滚动中的数学。你一定知道，将一枚硬币沿着一条直线滚动一周，那么它所滚过的距离正好是它的外沿的圆周长，也就是说，一个半径为r的硬币在直线上滚过一周所经过的路径是2πr。
本文为《“先学后教”教学模式的校本化研究与实践》课题研究成果。
人们都知道硬币是一种具有使用价值的货币，但是却很少人知道它的相关的数学性质—硬币滚动中的数学。你一定知道，将一枚硬币沿着一条直线滚动一周，那么它所滚过的距离正好是它的外沿的圆周长，也就是说，一个半径为r的硬币在直线上滚过一周所经过的路径是2πr。下面我们就来谈谈关于硬币在各种轨道上的运动路径：
问题：取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？
结论：可设固定圆为⊙O1，滚动圆为⊙O2，它们的半径为r，由于⊙O2沿⊙O1滚动时，始终保持外切的状态，⊙O2走过的路程为以O1为圆心，半径为2r的圆，其周长为4πr，所以自身转过了2圈。
一般情况，当⊙O2沿⊙O1外边缘滚动时，走过的路径为以O1为圆心，R+r为半径的圆，路程为2π（R+r）。转过的圈数为 = 。
下面我们默认了一个结论（以下用圆来代替）：
半径为r的圆沿直线或曲线或不连续的点滚动（不滑动转动）时，其圆心经过的轨迹的长度L与半径r之比即是其自转过的角度（弧度制）
证明：如图，首先考虑沿直线滚动的情况L是圆在直线上滚过的距离，则自转角度？兹 = 。若直线变这半径为R的曲线，则滚动的角度为：？琢+？兹 = + ==，其中经过的轨迹的长度。
（1）当R=∞时，即是直线的情况：？兹 = ；
（2）当R=0时，圆以圆上一点为圆心转动，
同样有这样的结论：
半径为r圆沿直线或曲线或不连续的点滚动（不滑动转动）时，其圆心经过的轨迹的长度L与半径r之比，即是其自转过的角度（弧度制）也即转过周。
由以上的论证可以得到：
圆在自转所经过的路径就是其圆心所经过的路径。
例1. 求下列情况下，半径为r的圆沿着下列的轨道滚动，求圆心所经过的路径的长度：
（1）由两条直线段组成，其夹角为α度；
（2）三角形；
（3）一个多边形。
解：（1）如图1：分别连结GOO1、弧O1O2、O2O3，GOA、O1B、O2B、O3B
因为 、⊙O1与AB相切，⊙O2、⊙O3与BC相切，所以GOO⊥AB，O1B⊥AB，O2B⊥BC，O3B⊥BC
所以GOO1=AB，O2O3=BC，而∠O1BO2=180°-90°-90°-α=180°-α， ？詛弧OO =
∴ 圆心所经过的路径的长度=AB+BC+。
（2）如图2，分别连结O1O2、弧O2O3、O3O4、弧O4O5、O5O6、弧O6O1，
因为⊙O1、⊙O2与AC相切，⊙O3、⊙O4与BC相切，⊙O5、⊙O6与AB相切，
所以O1A⊥AC，O2C⊥AC，O3C⊥BC，O4B⊥BC，O5B⊥AB，O6A⊥AB.
∴O1O2=AC，O3O4=BC，O5O6=AB，
由于∠1=360°-90°-90°-∠CAB，
=180°-∠CAB，
∠2=360°-90°-90°-∠CBA，
=180°-∠CBA，
∠3=360°-90°-90°-∠BCA，
=180°-∠BCA，因为弧O2O3、弧O4O5、弧O6O1所在的圆半径相同，
∴∠1+∠2+∠3=540°-（∠CAB+∠CBA+∠BCA）=540°-180°=360°，
∴弧O2O3+弧O4O5+弧O6O1=⊙O1的周长=2πr
∴圆心所经过的路径的长度=AC+BC+AB+2πr.
即：圆心所经过的路径的长度为三角形ABC的周长与滚动圆的周长之和.
（3）如图3，∵O1A1⊥AnA1，O2A1⊥A1A2，∴∠O1A1O2=∠α1，
由（2）可知：
∠O1A1O2+∠O2A2O3+∠O3A4O4+……+∠On-1AnGO=α1+α2+α3+α4+……+αn=360°.
∴圆心所经过的路径的长度=AnA1+A1A2+A2A3+A3 A4+……+An-1 An+2πr
即：圆心所经过的路径的长度为多边形的周长与滚动圆的周长之和.
例2.（1）圆在一个由两个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，圆心的轨迹如图4
解：圆心O所经过的距离为：弧AOB+弧ACB
∵AO1=AO2=O1O2=O1B=O2B=2r
∴∠AO1O2 =∠AO2O1 =∠BO1O2 = ∠BO2O1 = 60°
∴ ∠AO1B = ∠AO2B = 120°
∴弧AO1B=弧AO2B =2×2πr·
∴弧AO1B+弧AO2B=2×2πr - 2×2πr ×=πr。
于是有：当圆在一个由两个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，设圆心的运动距离为S时，即S= πr。
（2）如图5，圆在一个由n （n≥1）个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，由（1）可以发现，圆心运动的距离是两个半径为2r、圆心分别为O1、O2的圆的周长减去这两个圆相交后产生的两个劣弧的长。 现有一个n个半径为r、圆心在同一直线的圆形连贯而成的图形的轨道（图5），设n个圆分别为O1、O2、O3……On
则半径为2r、圆心分别为O1、O2、O3……On的圆的总周长为2nπr
∵弧AO1B =弧AO2B =弧CO2D=弧CO3D=弧YO4Z=……=弧MOnN
∴须减去的劣弧总长为2（n-1）·弧AO1B=2（n-1） ·2πr · = πr（n-1）
所以圆在沿着一个n个半径为r、圆心在同一直线的圆形连贯而成的图形的轨道滚动时，圆心运动的距离为S，即S=πr（n + ）.
例3. 求下列情况下，半径为r的圆沿着下列的轨道滚动，求圆心所经过的路径的长度：
（1）由3个半径为r的圆形相拼而成的圆形；
（2）由4个半径为r的圆形相拼而成的圆形；
（3）由n个半径为r的圆形相拼而成的圆形.
解（1）如图6，分别连结O1O2、O2O3、O3O1、O1O4、O1O5，
∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4、⊙O5两两外切，
∴∠O4O1O5 = 360° - 60°×3 =180°，
∴圆心滚动的路径=×2π（2r）=6πr。
（2）如图7，分别连结 O1O2、O2O3、O3O4、O4O1、O1O5，O1O6，
∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4、⊙O5、⊙O6两两外切，
∴∠O5O1O6 = 360° - 60°×2 - 90°=150°，
∴圆心滚动的路径=4××2π（2r）=πr
（3）如图8，分别连结O1O2、O2O3、O3O4、O4O5、 ……、OnO1、OnOn+1、OnOn+2，
∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4、⊙O5、…… ⊙On、⊙On+1、⊙On+2两两外切，
∴∠On+1OnOn+2 = 360° - 60°×2 -
= n××2π（2r）=πr。
圆在沿着一个n个半径为r的圆形相拼而成的图形的轨道滚动时，圆心运动的距离为πr。
作者简介：
王少龙，晋江市陈埭民族中学教师，从事30多年的数学教学工作，具有丰富的教育教学经验，是泉州市骨干教师。
本文为《“先学后教”教学模式的校本化研究与实践》课题研究成果。
人们都知道硬币是一种具有使用价值的货币，但是却很少人知道它的相关的数学性质—硬币滚动中的数学。你一定知道，将一枚硬币沿着一条直线滚动一周，那么它所滚过的距离正好是它的外沿的圆周长，也就是说，一个半径为r的硬币在直线上滚过一周所经过的路径是2πr。下面我们就来谈谈关于硬币在各种轨道上的运动路径：
问题：取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？
结论：可设固定圆为⊙O1，滚动圆为⊙O2，它们的半径为r，由于⊙O2沿⊙O1滚动时，始终保持外切的状态，⊙O2走过的路程为以O1为圆心，半径为2r的圆，其周长为4πr，所以自身转过了2圈。
一般情况，当⊙O2沿⊙O1外边缘滚动时，走过的路径为以O1为圆心，R+r为半径的圆，路程为2π（R+r）。转过的圈数为 = 。
下面我们默认了一个结论（以下用圆来代替）：
半径为r的圆沿直线或曲线或不连续的点滚动（不滑动转动）时，其圆心经过的轨迹的长度L与半径r之比即是其自转过的角度（弧度制）
证明：如图，首先考虑沿直线滚动的情况L是圆在直线上滚过的距离，则自转角度？兹 = 。若直线变这半径为R的曲线，则滚动的角度为：？琢+？兹 = + ==，其中经过的轨迹的长度。
（1）当R=∞时，即是直线的情况：？兹 = ；
（2）当R=0时，圆以圆上一点为圆心转动，
同样有这样的结论：
半径为r圆沿直线或曲线或不连续的点滚动（不滑动转动）时，其圆心经过的轨迹的长度L与半径r之比，即是其自转过的角度（弧度制）也即转过周。
由以上的论证可以得到：
圆在自转所经过的路径就是其圆心所经过的路径。
例1. 求下列情况下，半径为r的圆沿着下列的轨道滚动，求圆心所经过的路径的长度：
（1）由两条直线段组成，其夹角为α度；
（2）三角形；
（3）一个多边形。
解：（1）如图1：分别连结GOO1、弧O1O2、O2O3，GOA、O1B、O2B、O3B
因为 、⊙O1与AB相切，⊙O2、⊙O3与BC相切，所以GOO⊥AB，O1B⊥AB，O2B⊥BC，O3B⊥BC
所以GOO1=AB，O2O3=BC，而∠O1BO2=180°-90°-90°-α=180°-α， ？詛弧OO =
∴ 圆心所经过的路径的长度=AB+BC+。
（2）如图2，分别连结O1O2、弧O2O3、O3O4、弧O4O5、O5O6、弧O6O1，
因为⊙O1、⊙O2与AC相切，⊙O3、⊙O4与BC相切，⊙O5、⊙O6与AB相切，
所以O1A⊥AC，O2C⊥AC，O3C⊥BC，O4B⊥BC，O5B⊥AB，O6A⊥AB.
∴O1O2=AC，O3O4=BC，O5O6=AB，
由于∠1=360°-90°-90°-∠CAB，
=180°-∠CAB，
∠2=360°-90°-90°-∠CBA，
=180°-∠CBA，
∠3=360°-90°-90°-∠BCA，
=180°-∠BCA，因为弧O2O3、弧O4O5、弧O6O1所在的圆半径相同，
∴∠1+∠2+∠3=540°-（∠CAB+∠CBA+∠BCA）=540°-180°=360°，
∴弧O2O3+弧O4O5+弧O6O1=⊙O1的周长=2πr
∴圆心所经过的路径的长度=AC+BC+AB+2πr.
即：圆心所经过的路径的长度为三角形ABC的周长与滚动圆的周长之和.
（3）如图3，∵O1A1⊥AnA1，O2A1⊥A1A2，∴∠O1A1O2=∠α1，
由（2）可知：
∠O1A1O2+∠O2A2O3+∠O3A4O4+……+∠On-1AnGO=α1+α2+α3+α4+……+αn=360°.
∴圆心所经过的路径的长度=AnA1+A1A2+A2A3+A3 A4+……+An-1 An+2πr
即：圆心所经过的路径的长度为多边形的周长与滚动圆的周长之和.
例2.（1）圆在一个由两个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，圆心的轨迹如图4
解：圆心O所经过的距离为：弧AOB+弧ACB
∵AO1=AO2=O1O2=O1B=O2B=2r
∴∠AO1O2 =∠AO2O1 =∠BO1O2 = ∠BO2O1 = 60°
∴ ∠AO1B = ∠AO2B = 120°
∴弧AO1B=弧AO2B =2×2πr·
∴弧AO1B+弧AO2B=2×2πr - 2×2πr ×=πr。
于是有：当圆在一个由两个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，设圆心的运动距离为S时，即S= πr。
（2）如图5，圆在一个由n （n≥1）个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，由（1）可以发现，圆心运动的距离是两个半径为2r、圆心分别为O1、O2的圆的周长减去这两个圆相交后产生的两个劣弧的长。 现有一个n个半径为r、圆心在同一直线的圆形连贯而成的图形的轨道（图5），设n个圆分别为O1、O2、O3……On
则半径为2r、圆心分别为O1、O2、O3……On的圆的总周长为2nπr
∵弧AO1B =弧AO2B =弧CO2D=弧CO3D=弧YO4Z=……=弧MOnN
∴须减去的劣弧总长为2（n-1）·弧AO1B=2（n-1） ·2πr · = πr（n-1）
所以圆在沿着一个n个半径为r、圆心在同一直线的圆形连贯而成的图形的轨道滚动时，圆心运动的距离为S，即S=πr（n + ）.
例3. 求下列情况下，半径为r的圆沿着下列的轨道滚动，求圆心所经过的路径的长度：
（1）由3个半径为r的圆形相拼而成的圆形；
（2）由4个半径为r的圆形相拼而成的圆形；
（3）由n个半径为r的圆形相拼而成的圆形.
解（1）如图6，分别连结O1O2、O2O3、O3O1、O1O4、O1O5，
∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4、⊙O5两两外切，
∴∠O4O1O5 = 360° - 60°×3 =180°，
∴圆心滚动的路径=×2π（2r）=6πr。
（2）如图7，分别连结 O1O2、O2O3、O3O4、O4O1、O1O5，O1O6，
∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4、⊙O5、⊙O6两两外切，
∴∠O5O1O6 = 360° - 60°×2 - 90°=150°，
∴圆心滚动的路径=4××2π（2r）=πr
（3）如图8，分别连结O1O2、O2O3、O3O4、O4O5、 ……、OnO1、OnOn+1、OnOn+2，
∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4、⊙O5、…… ⊙On、⊙On+1、⊙On+2两两外切，
∴∠On+1OnOn+2 = 360° - 60°×2 -
= n××2π（2r）=πr。
圆在沿着一个n个半径为r的圆形相拼而成的图形的轨道滚动时，圆心运动的距离为πr。
作者简介：
王少龙，晋江市陈埭民族中学教师，从事30多年的数学教学工作，具有丰富的教育教学经验，是泉州市骨干教师。