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摘 要：《一次函数》是学习函数的起步阶段，必须要掌握它的定义、性质、图象及应用。对于学生来说是一个崭新的知识，由于学生思维不够开阔，方法上不够灵活，造成在解答习题时，常常会出现错误。本人通过20多年的教学积累，总结了一些学生容易犯错的知识点，希望对同学们学好这一内容有所帮助。
关键词：一次函数；定义；性质；图象；错误分析
八年级上册（苏科版）第五章《一次函数》是初中阶段学习的一个重要内容。在中考说明中是要求学生理解、掌握，并能熟练运用的知识体系，通过对一次函数的学习，能使学生学会研究函数的模式、方法与策略等，它对今后学习反比例函数、二次函数具有承前启后的作用。
本章的知识要点是要让学生理解函数的概念，一次函数的图象和性质，会用待定系数法求解函数关系式，掌握一次函数与一元一次方程，二元一次方程组的联系，并能建立函数模型，解决实际问题，内容不是很多，但拓展面很广。由于学生第一次接触函数，所以学生在学习中会感到困惑，认识上模糊、方法上单一、思路上狭窄，从而在学习心理上产生障碍。我通过长期的教学积累，对学生易产生的错误进行剖析，这样能有效的让学生认识错误，从而减少错误。
一、概念混淆
函数的概念是初中学生最难掌握的内容之一，在学习中，要尽可能的多举一些学生身边的问题为情境，如时间与温度这两个变量间相互依赖的关系，让学生感到函数是真实存在的。
一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。特别地，当b=0时，即为正比例函数y=kx.注意，k≠0是函数存在的必要条件。
例1 当m取什么值时，y=（m+2）x+m2-4是正比例函数？
分析：有些学生只简单地完成了m+2≠0的情况，并未考虑m2-4=0，另一些学生只考虑m2-4=0，而忽视了比例系数不等于0。
应当让学生理解一次函数满足的条件：最高次项的次数为1，系数不为0；而正比例函数则还需要添加一个条件，即常数项为0，正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（k≠0）当b=0时的特例， 要搞清从属关系，理解正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。学生一定要吃透概念，缜密思考。
例2 如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7，写出y与x的函数关系式。
学生是这样解的：由定义，得y=kx，把x=3，y=7代入，得k=，得y=x。其实这里是y+3与x+2成正比例，而不是y与x成正比例，应当设y+3=k（x+2），通过代入得y=2x+1。
让学生看清所说的对象，再依定义解题。“a与b成正比例”即“a是b的正比例函数”，“a”和“b”既可以是一个单项式，也可以是一个多项式，如果是多项式，要注意加上括号。
二、性质模糊
一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。一次函数的图象是一条与坐标轴不垂直的直线，正比例函数的图象是经过原点的直线。
例3 已知一次函数y=（2m+4）x+（3-n）.
（1）当m、n是什么数时，y随x的增大而增大？
（2）当m、n是什么数时，函数图象经过原点？
（3）若图象经过第一、二、四象限，求m、n的取值范围。
错解： （1）m>0、n>0；（2）m为任意数，n=0；（3）m<0、且n<3.
分析 ：（1）y随x的增大而增大，则y=kx+b中x前面的系数为正数，即2m+4>0，而不是m>0，这时和常数b没有关系.正确答案是m>-2，n可以是任意数。
（2）图象经过原点，这时常数b为0，且系数k不为0，∴m≠-2且n=3。
（3）我们可以画出草图，根据图象y随x的增大而增小，得k<0，且它和y轴的交点在原点的上方，得b>0.∴m<-2且n<3。
学生必须理解一次函数的性质，并结合图形来灵活运用。比如求如图所示的直线所对应的函数关系式。解决此类题目，首先要确定图象代表的函数关系，然后灵活运用待定系数法解题；图象经过的点的坐标必然适合图象的函数关系式，反之，图象不经过该点，则该点的坐标必然不适合图象的函数关系式。
三、识图困难
例4 一列火车从苏州站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达上海站减速停车。下列图象中，大致刻画火车在这段时间速度随时间变化情况的是（ ）。
学生对四张图形中每一条线段所表示的意义不理解，火车开出时加速，速度随时间变化而增大，匀速行驶时，速度是保持不变的，减速时速度随时间变化而减小，最终为0，A的图象中火车加速的没有刻画出来，C是火车匀速的图象没有， D表示火车始终在匀速行驶，只有图象B大致能反映这一变化情况，故选项为B。
函数的意义及其性质是函数知识的核心。本题采用图文结合的方式呈现，以图象为载体，深入考查一次函数的意义和性质，图象所反应的实际背景是大家极为熟悉的。解决问题的关键是，准确地把由文字叙述和图象刻画的有关数量关系转化为一次函数关系式.对于分段函数，我们要注意分类的方法，同时，也要注意各范围内数量关系的变化。
例5 已知函数y1=3x+b和y2=ax-3的图象交于点P（-2，-5）。根据图象可得不等式3x+b>ax-3的解集是_______。
许多学生不会利用图象解题，而是把点P（-2，-5）代入两个函数关系式，求出a和b，再通过解不等式，得出结论，显然在解题方法上存在较大的偏差。而对一次函数的图象和性质掌握得较好的同学，只要一望而知，即y1=3x+b的图象在y2=ax-3的上方时对应的x的范围是x>-2。
四、思考不全 例6 已知，直线l过点（1，1），另一点在x轴上，且到原点的距离为2个单位长度，求直线l的关系式.
学生的解答是：点在x轴上，得它的纵坐标为0，它到原点的距离为2个单位长度，则它坐标为（2，0），设直线l的关系式为y=kx+b，得1=k+b0=2k+b ，解得k=-1，b=2。所以y=-x+2。其实点在x轴上，得它的纵坐标为0，它到原点的距离为2个单位长度，可能在x轴的正半轴，也可能在x轴的负半轴，它在x轴的负半轴，则坐标为（-2，0），同样可以得到直线l的关系式y=x+。
必须理清坐标与距离的关系，从而全面解题.同学们在做题时，要把握概念，细心审题，再结合实际来推敲，一定能减少不应发生的错误。
五、应用偏差
一次函数应用问题，就是根据实际问题中所呈现出来的文字信息、图象信息、表格信息等，要求同学们正确地提取所呈现出来的信息，通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题，主要考查同学们识图读表的能力以及处理文字信息的能力.解答这类问题的关键是对文字、图形、表格等信息认真分析、合理利用，按照题意要求，找出数量关系，解决实际问题。
例7 某电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按实际上网时间计费；方式B除收月租费20元外再以每分钟0. 05元的价格按实际上网时间计费。如何选择收费方式能使上网者更合算？
分析：从题中所给的文字信息可以看出，两种方式的计费都与上网时间有关，因此确定其上网时间x为自变量，其收费方式的数学模型即是一次函数，分别计算出这两种收费方式的函数关系式，再进行比较即可。
解：设上网时间为x min，若按方式A收费，则费用y1=0.1x（元）；若按方式B收费，则费用y2=0.05x+20（元）.在同一平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象，并求得两图象交点为（400，40）。
由图象易知：当一个月内上网时间少于400 min时，选择方式A省钱；当上网时间等于400 min时，选择方式A、方式B没有区别；当上网时间多于400 min时，选择方式B省钱。
解决此类问题，关键是抓住交点。学生在回答此问题时，不能笼统的归纳成了一种情况，不进行分类讨论。本题以一次函数的应用为背景，建立一次函数模型后要充分运用“数形结合”的思想方法解题。这类问题的一般解题步骤是：
（1）由题意列出两个一次函数关系式；
（2）运用“图象法”求得两个一次函数关系式的交点坐标；
（3）结合一次函数的性质和题意，进行分析、判断、选择。
一次函数在我们的学习生活中应用十分广泛，内容十分丰富，它的考查方式可以用任意方式呈现，上述一些题目联系实际，较为自然地考查了一次函数的概念与性质，同时也考查了利用函数思想解决问题的能力，希望同学们能从中得到启示，做到尽量减少不必要的失分，学会用数学知识分析和解决生产、生活中的一些实际问题。
参考文献
[1]中学数学教学参考
关键词：一次函数；定义；性质；图象；错误分析
八年级上册（苏科版）第五章《一次函数》是初中阶段学习的一个重要内容。在中考说明中是要求学生理解、掌握，并能熟练运用的知识体系，通过对一次函数的学习，能使学生学会研究函数的模式、方法与策略等，它对今后学习反比例函数、二次函数具有承前启后的作用。
本章的知识要点是要让学生理解函数的概念，一次函数的图象和性质，会用待定系数法求解函数关系式，掌握一次函数与一元一次方程，二元一次方程组的联系，并能建立函数模型，解决实际问题，内容不是很多，但拓展面很广。由于学生第一次接触函数，所以学生在学习中会感到困惑，认识上模糊、方法上单一、思路上狭窄，从而在学习心理上产生障碍。我通过长期的教学积累，对学生易产生的错误进行剖析，这样能有效的让学生认识错误，从而减少错误。
一、概念混淆
函数的概念是初中学生最难掌握的内容之一，在学习中，要尽可能的多举一些学生身边的问题为情境，如时间与温度这两个变量间相互依赖的关系，让学生感到函数是真实存在的。
一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。特别地，当b=0时，即为正比例函数y=kx.注意，k≠0是函数存在的必要条件。
例1 当m取什么值时，y=（m+2）x+m2-4是正比例函数？
分析：有些学生只简单地完成了m+2≠0的情况，并未考虑m2-4=0，另一些学生只考虑m2-4=0，而忽视了比例系数不等于0。
应当让学生理解一次函数满足的条件：最高次项的次数为1，系数不为0；而正比例函数则还需要添加一个条件，即常数项为0，正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（k≠0）当b=0时的特例， 要搞清从属关系，理解正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。学生一定要吃透概念，缜密思考。
例2 如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7，写出y与x的函数关系式。
学生是这样解的：由定义，得y=kx，把x=3，y=7代入，得k=，得y=x。其实这里是y+3与x+2成正比例，而不是y与x成正比例，应当设y+3=k（x+2），通过代入得y=2x+1。
让学生看清所说的对象，再依定义解题。“a与b成正比例”即“a是b的正比例函数”，“a”和“b”既可以是一个单项式，也可以是一个多项式，如果是多项式，要注意加上括号。
二、性质模糊
一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。一次函数的图象是一条与坐标轴不垂直的直线，正比例函数的图象是经过原点的直线。
例3 已知一次函数y=（2m+4）x+（3-n）.
（1）当m、n是什么数时，y随x的增大而增大？
（2）当m、n是什么数时，函数图象经过原点？
（3）若图象经过第一、二、四象限，求m、n的取值范围。
错解： （1）m>0、n>0；（2）m为任意数，n=0；（3）m<0、且n<3.
分析 ：（1）y随x的增大而增大，则y=kx+b中x前面的系数为正数，即2m+4>0，而不是m>0，这时和常数b没有关系.正确答案是m>-2，n可以是任意数。
（2）图象经过原点，这时常数b为0，且系数k不为0，∴m≠-2且n=3。
（3）我们可以画出草图，根据图象y随x的增大而增小，得k<0，且它和y轴的交点在原点的上方，得b>0.∴m<-2且n<3。
学生必须理解一次函数的性质，并结合图形来灵活运用。比如求如图所示的直线所对应的函数关系式。解决此类题目，首先要确定图象代表的函数关系，然后灵活运用待定系数法解题；图象经过的点的坐标必然适合图象的函数关系式，反之，图象不经过该点，则该点的坐标必然不适合图象的函数关系式。
三、识图困难
例4 一列火车从苏州站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达上海站减速停车。下列图象中，大致刻画火车在这段时间速度随时间变化情况的是（ ）。
学生对四张图形中每一条线段所表示的意义不理解，火车开出时加速，速度随时间变化而增大，匀速行驶时，速度是保持不变的，减速时速度随时间变化而减小，最终为0，A的图象中火车加速的没有刻画出来，C是火车匀速的图象没有， D表示火车始终在匀速行驶，只有图象B大致能反映这一变化情况，故选项为B。
函数的意义及其性质是函数知识的核心。本题采用图文结合的方式呈现，以图象为载体，深入考查一次函数的意义和性质，图象所反应的实际背景是大家极为熟悉的。解决问题的关键是，准确地把由文字叙述和图象刻画的有关数量关系转化为一次函数关系式.对于分段函数，我们要注意分类的方法，同时，也要注意各范围内数量关系的变化。
例5 已知函数y1=3x+b和y2=ax-3的图象交于点P（-2，-5）。根据图象可得不等式3x+b>ax-3的解集是_______。
许多学生不会利用图象解题，而是把点P（-2，-5）代入两个函数关系式，求出a和b，再通过解不等式，得出结论，显然在解题方法上存在较大的偏差。而对一次函数的图象和性质掌握得较好的同学，只要一望而知，即y1=3x+b的图象在y2=ax-3的上方时对应的x的范围是x>-2。
四、思考不全 例6 已知，直线l过点（1，1），另一点在x轴上，且到原点的距离为2个单位长度，求直线l的关系式.
学生的解答是：点在x轴上，得它的纵坐标为0，它到原点的距离为2个单位长度，则它坐标为（2，0），设直线l的关系式为y=kx+b，得1=k+b0=2k+b ，解得k=-1，b=2。所以y=-x+2。其实点在x轴上，得它的纵坐标为0，它到原点的距离为2个单位长度，可能在x轴的正半轴，也可能在x轴的负半轴，它在x轴的负半轴，则坐标为（-2，0），同样可以得到直线l的关系式y=x+。
必须理清坐标与距离的关系，从而全面解题.同学们在做题时，要把握概念，细心审题，再结合实际来推敲，一定能减少不应发生的错误。
五、应用偏差
一次函数应用问题，就是根据实际问题中所呈现出来的文字信息、图象信息、表格信息等，要求同学们正确地提取所呈现出来的信息，通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题，主要考查同学们识图读表的能力以及处理文字信息的能力.解答这类问题的关键是对文字、图形、表格等信息认真分析、合理利用，按照题意要求，找出数量关系，解决实际问题。
例7 某电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按实际上网时间计费；方式B除收月租费20元外再以每分钟0. 05元的价格按实际上网时间计费。如何选择收费方式能使上网者更合算？
分析：从题中所给的文字信息可以看出，两种方式的计费都与上网时间有关，因此确定其上网时间x为自变量，其收费方式的数学模型即是一次函数，分别计算出这两种收费方式的函数关系式，再进行比较即可。
解：设上网时间为x min，若按方式A收费，则费用y1=0.1x（元）；若按方式B收费，则费用y2=0.05x+20（元）.在同一平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图象，并求得两图象交点为（400，40）。
由图象易知：当一个月内上网时间少于400 min时，选择方式A省钱；当上网时间等于400 min时，选择方式A、方式B没有区别；当上网时间多于400 min时，选择方式B省钱。
解决此类问题，关键是抓住交点。学生在回答此问题时，不能笼统的归纳成了一种情况，不进行分类讨论。本题以一次函数的应用为背景，建立一次函数模型后要充分运用“数形结合”的思想方法解题。这类问题的一般解题步骤是：
（1）由题意列出两个一次函数关系式；
（2）运用“图象法”求得两个一次函数关系式的交点坐标；
（3）结合一次函数的性质和题意，进行分析、判断、选择。
一次函数在我们的学习生活中应用十分广泛，内容十分丰富，它的考查方式可以用任意方式呈现，上述一些题目联系实际，较为自然地考查了一次函数的概念与性质，同时也考查了利用函数思想解决问题的能力，希望同学们能从中得到启示，做到尽量减少不必要的失分，学会用数学知识分析和解决生产、生活中的一些实际问题。
参考文献
[1]中学数学教学参考