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【摘要】初中二次函数三角形问题是代数与几何有机结合的一个知识点。在二次函数这部分教学过程中，可以渗透数学思想和解题思路的多样性。教师在讲解二次函数部分时，应该注意二次函数难度的循序渐进，同时，也需要注意学生对数学知识的回顾，注重培养学生数学思维模式和创新思维模式，引导学生进行自主学习和探索学习。
【关键词】初中 二次函数 三角形面积问题
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0120-02
引言
二次函数是初中数学的教学重点，对于二次函数的三角形面积问题是代数数学与几何数学有机结合的一个考点，是初中数学课堂教学的一个重点内容。教师在进行这类问题的讲解时，应该注重学生思维能力的培养和综合应用能力的提升，对于一些题目可以进行一题多解，扩散学生的数学思维模式。
一、抛砖引玉
题目：已知直角坐标系中有B、C、D三点，其坐标分别为（2，0）、（0，2）、（1，3），一次连接这三个点，求其围城三角形的面积。
问题引导：先在平面指教坐标系中一次标出B、C、D三点的坐标位置，并按题目要求依次连接，形成三角形BCD，在具体求三角形BCD面积中会遇到不能确定其底边长与底边上高的问题。教师可以提醒学生利用直角坐标系的优势，用“割补法”进行三角形面积的求解。
教学感悟：教师可以在教学过程中，对有些数学问题进行建模，引导并培养学生在数学建模方面的能力。对于上面求解三角形面积的问题，教师可以让学生将自己的“割补”思想表达出来，师生一起进行探讨学习，学生自己想出来的解题方法通常是其思维能力的一种表现，教师应该充分的发现和挖掘学生的思维模式。
二、构建例题
例题：如下图所示，已知抛物线经过B、C两点，对称轴为X=3/4，求以下问题：（1）求该抛物线的解析式，该抛物线与X轴的另外一个交点坐标和顶点坐标；（2）求三角形BCD的面积。
问题引导：求二次函数的解析式常用的有哪几种方法？在求二次函数的解析式时，需要知道哪些条件？哪种方法更加适合本题的求解？关于三角形BCD面积的求解，需要知道什么条件？三角形BCD的面积应该如何进行求解？教师在数学课堂上可以通过一系列的问题对学生进行相关的提点，帮助学生理清解题思路。
设计目的：通过对本题解析式的求解，可以让学生更加熟悉二次函数解析式的三种不同的表达式，可以帮助学生理解二次函数解析式不同表达方式之间的相互转换，帮助学生对平面直角坐标系中关于三角形面积求解问题的思考方法。教师在数学教学课堂中可以采用循序渐进的方法进行教学，由简单到复杂，由单一到多变。
教师可以对例题进行相关的变形，得到变式1：已知抛物线与直角坐标系的X轴的B、C两点相交，与Y轴相交于C点，连接BC两点，D是抛物线上的点，在抛物线与线段BC相交的上方进行移动（不与B、C两点重合），问：点D在抛物线上移动到什么位置时，三角形BCD的面积最大，并算出此时三角形BCD的面积和点D的坐标。
问题引导：例题与变式1之间的相同点和不同点？在求三角形BCD的面积时，哪些条件是已知的，哪些条件是未知的，与三角形BCD面积计算式之间的关系是怎样的？抛物线的最值问题与变式1之间有没有联系？如有，应该如何构建三角形BCD的面积与点D坐标之间的关系？在题目图形的建模过程中，“分割法”是否能够运用到变形1的解题中？
在一系列的问题引导后，教师可以为学生交流自己解题思路提供一个平台，相互之间的思维模式的学习和借鉴，逐渐培养学生具备一题多解的能力，提高学生数学知识的应用能力。
变式2：已知抛物线的解析式为Y=-2X2+3X+2，直线方程为Y=-X+3/4相交于两点B、C，点D是直线上方抛物线上的一个动点（与B、C两点均不重合），问：D点在抛物线上什么位置时，三角形BCD的面积最大，并求出此时三角形BCD的面积和D点的坐标。
问题引导：变式2与变式1之间相同点与不同点？结合它们之间的关系可以联想到什么解题思路？在这几种解题思路中，哪种思路更加简单？结合这几种题型，进行相关的学习总结。
解析思路：过D点作直线DE平行于Y轴，与直线BC相交于E点，根据直线BC的解析式可以用变量表示E点的坐标，D点的坐标也可以对应的E点的变量进行表示：
线段DE=YD-YE，用E点的横坐标可以表示为DE=-2X2+4X+11/4，再将直线方程与抛物线解析式联立进行求解，可以得出其相交的两点BC的坐标，进而求出BC之间的距离，线段DE的长度可以求出，即三角形BCD的面积可以分割为三角形CDE和三角形BEN的面积之和。
变式3：已知抛物线的解析式为Y=-2X2+3X+2与直线方程为Y=-X+3/4相交于B、C兩点，D是平抛物线上的一个动点，在B、C两点之间运动且不与B、C两点重合，问当D点运动到什么位置时，三角形BCD的面积是最大的？并求出此时D点的坐标和三角形BCD的最大面积。
问题引导：变式3与变式2之间的相同点和不同点？不同点有哪些？能够用相同的解题思路进行解题吗？
解题分析：随着D点的移动，三角形BCD的图形也会发生相应的变化，如下图所示：
过D点做平行于Y轴的平行线DF，与直线方程相交于F点，可以根据F点是直线方程上的点，用变量表示F点的坐标，DF是平行于Y轴的，可以对应的用变量表示出D点的坐标。
三、教学反思
教师在对每一章节的内容进行课堂教学后可以适当的进行一些课堂总结或者小型测试，了解学生对所学章节内容的掌握程度。教师也需要对自己教学思路进行反思，结合学生的数学基础，进行循序渐进的引导，适当的将数学函数的应用题与实际生活中的应用问题相结合，培养学生对数学函数问题的建模能力。
结论
初中二次函数三角形面积求解问题，教师首先应该培养学生的数学建模能力，通过二维直角坐标系中的斜三角形的面积求解问题进行二次函数三角形面积求解问题的引入。在具体的解题中，教师应该引入不同的解题思路和解题方法，逐渐培养学生能够进行一题多解的思维能力。教师可以从二次函数上定点三角形面积问题的求解开始，逐渐演变为在二次函数上的动点问题所在三角形最大面积问题的求解。这需要教师将直线方程与二次函数的相交点之间的关系进行充分的应用，相关变量表示D的横坐标进而用抛物线解析式表示纵坐标，三角形的面积问题最终就换成二次函数最值的求解问题，即几何问题最值问题的求解转变成代数最值问题的求解，对学生的数学综合应用能力的培养至关重要。
参考文献：
[1]杨学文.初中二次函数三角形面积问题透析[J].时代教育， 2013（12）
[2]唐祥龙.初中二次函数三角形面积问题透析[J].科学大众（科学教育）， 2012（10）
【关键词】初中 二次函数 三角形面积问题
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0120-02
引言
二次函数是初中数学的教学重点，对于二次函数的三角形面积问题是代数数学与几何数学有机结合的一个考点，是初中数学课堂教学的一个重点内容。教师在进行这类问题的讲解时，应该注重学生思维能力的培养和综合应用能力的提升，对于一些题目可以进行一题多解，扩散学生的数学思维模式。
一、抛砖引玉
题目：已知直角坐标系中有B、C、D三点，其坐标分别为（2，0）、（0，2）、（1，3），一次连接这三个点，求其围城三角形的面积。
问题引导：先在平面指教坐标系中一次标出B、C、D三点的坐标位置，并按题目要求依次连接，形成三角形BCD，在具体求三角形BCD面积中会遇到不能确定其底边长与底边上高的问题。教师可以提醒学生利用直角坐标系的优势，用“割补法”进行三角形面积的求解。
教学感悟：教师可以在教学过程中，对有些数学问题进行建模，引导并培养学生在数学建模方面的能力。对于上面求解三角形面积的问题，教师可以让学生将自己的“割补”思想表达出来，师生一起进行探讨学习，学生自己想出来的解题方法通常是其思维能力的一种表现，教师应该充分的发现和挖掘学生的思维模式。
二、构建例题
例题：如下图所示，已知抛物线经过B、C两点，对称轴为X=3/4，求以下问题：（1）求该抛物线的解析式，该抛物线与X轴的另外一个交点坐标和顶点坐标；（2）求三角形BCD的面积。
问题引导：求二次函数的解析式常用的有哪几种方法？在求二次函数的解析式时，需要知道哪些条件？哪种方法更加适合本题的求解？关于三角形BCD面积的求解，需要知道什么条件？三角形BCD的面积应该如何进行求解？教师在数学课堂上可以通过一系列的问题对学生进行相关的提点，帮助学生理清解题思路。
设计目的：通过对本题解析式的求解，可以让学生更加熟悉二次函数解析式的三种不同的表达式，可以帮助学生理解二次函数解析式不同表达方式之间的相互转换，帮助学生对平面直角坐标系中关于三角形面积求解问题的思考方法。教师在数学教学课堂中可以采用循序渐进的方法进行教学，由简单到复杂，由单一到多变。
教师可以对例题进行相关的变形，得到变式1：已知抛物线与直角坐标系的X轴的B、C两点相交，与Y轴相交于C点，连接BC两点，D是抛物线上的点，在抛物线与线段BC相交的上方进行移动（不与B、C两点重合），问：点D在抛物线上移动到什么位置时，三角形BCD的面积最大，并算出此时三角形BCD的面积和点D的坐标。
问题引导：例题与变式1之间的相同点和不同点？在求三角形BCD的面积时，哪些条件是已知的，哪些条件是未知的，与三角形BCD面积计算式之间的关系是怎样的？抛物线的最值问题与变式1之间有没有联系？如有，应该如何构建三角形BCD的面积与点D坐标之间的关系？在题目图形的建模过程中，“分割法”是否能够运用到变形1的解题中？
在一系列的问题引导后，教师可以为学生交流自己解题思路提供一个平台，相互之间的思维模式的学习和借鉴，逐渐培养学生具备一题多解的能力，提高学生数学知识的应用能力。
变式2：已知抛物线的解析式为Y=-2X2+3X+2，直线方程为Y=-X+3/4相交于两点B、C，点D是直线上方抛物线上的一个动点（与B、C两点均不重合），问：D点在抛物线上什么位置时，三角形BCD的面积最大，并求出此时三角形BCD的面积和D点的坐标。
问题引导：变式2与变式1之间相同点与不同点？结合它们之间的关系可以联想到什么解题思路？在这几种解题思路中，哪种思路更加简单？结合这几种题型，进行相关的学习总结。
解析思路：过D点作直线DE平行于Y轴，与直线BC相交于E点，根据直线BC的解析式可以用变量表示E点的坐标，D点的坐标也可以对应的E点的变量进行表示：
线段DE=YD-YE，用E点的横坐标可以表示为DE=-2X2+4X+11/4，再将直线方程与抛物线解析式联立进行求解，可以得出其相交的两点BC的坐标，进而求出BC之间的距离，线段DE的长度可以求出，即三角形BCD的面积可以分割为三角形CDE和三角形BEN的面积之和。
变式3：已知抛物线的解析式为Y=-2X2+3X+2与直线方程为Y=-X+3/4相交于B、C兩点，D是平抛物线上的一个动点，在B、C两点之间运动且不与B、C两点重合，问当D点运动到什么位置时，三角形BCD的面积是最大的？并求出此时D点的坐标和三角形BCD的最大面积。
问题引导：变式3与变式2之间的相同点和不同点？不同点有哪些？能够用相同的解题思路进行解题吗？
解题分析：随着D点的移动，三角形BCD的图形也会发生相应的变化，如下图所示：
过D点做平行于Y轴的平行线DF，与直线方程相交于F点，可以根据F点是直线方程上的点，用变量表示F点的坐标，DF是平行于Y轴的，可以对应的用变量表示出D点的坐标。
三、教学反思
教师在对每一章节的内容进行课堂教学后可以适当的进行一些课堂总结或者小型测试，了解学生对所学章节内容的掌握程度。教师也需要对自己教学思路进行反思，结合学生的数学基础，进行循序渐进的引导，适当的将数学函数的应用题与实际生活中的应用问题相结合，培养学生对数学函数问题的建模能力。
结论
初中二次函数三角形面积求解问题，教师首先应该培养学生的数学建模能力，通过二维直角坐标系中的斜三角形的面积求解问题进行二次函数三角形面积求解问题的引入。在具体的解题中，教师应该引入不同的解题思路和解题方法，逐渐培养学生能够进行一题多解的思维能力。教师可以从二次函数上定点三角形面积问题的求解开始，逐渐演变为在二次函数上的动点问题所在三角形最大面积问题的求解。这需要教师将直线方程与二次函数的相交点之间的关系进行充分的应用，相关变量表示D的横坐标进而用抛物线解析式表示纵坐标，三角形的面积问题最终就换成二次函数最值的求解问题，即几何问题最值问题的求解转变成代数最值问题的求解，对学生的数学综合应用能力的培养至关重要。
参考文献：
[1]杨学文.初中二次函数三角形面积问题透析[J].时代教育， 2013（12）
[2]唐祥龙.初中二次函数三角形面积问题透析[J].科学大众（科学教育）， 2012（10）