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摘 要：在现代线性代数学科中求解线性方程组的问题是其中最重要的核心内容，而在研究求解的过程当中，我们发现很多涉及行列式、矩阵、逆矩阵、初等变换等方面的问题，为了阐述它们对线性方程组求解所起到的作用，我们根据线性方程组的基本概念，系数、常数等所构成的行列式矩阵，并以逐步深入递进的方式探讨它们之间的联系，最终达到理顺它们之间关系的目的，从而对线性代数的学习起到重要指导作用。通过该论文的研究可以使我们对矩阵及其在解线性方程组中的应用有更深刻了解。通过矩阵来解线性方程组，使得纯代数的数学问题与几何学科进行联系，交叉学科的研究使得问题的解题思路更加严谨，解题方法更加广泛
关键词：矩阵；线性方程；应用
一、线性方程组基本知识点
1.线性方程组概念
用数学分析实际问题是科学求证真理的必要手段，有两种思路可以对一般线性方程组进行求解，即有经验的方程组和特殊规律的方程组，利用最基本的理论或推论，用一些基本的概念转化成基本的微积分问题来解决；还有就是利用线性方程组的系数和常数提炼出来，然后构成一矩阵方程，进而通过矩阵的定义及相关定理，按照一定的解题思路进行求解。
线性方程组，即指在一个方程组中，至少含有一个未知数，且均为一次未知数，例如下列方程组（1）即为一次线性方程组。
以上关于未知数的矩阵，常数的矩阵，还有系数的矩阵构成的方程组可表示为。
其中全部为零，即用，这就是所说的其次方程组；如果不全部为零，即，叫做非其次线性方程组。有一种特殊情况，即在系数的值固定的情况下，非齐次方程组的通解可看作是齐次方程组的解与非齐次方程组的通解，看成了两者的和。
2.线性方程组的解法
线性方程组的求解，除了特殊的变换方法外，一般有两种方法可用：
一是用克莱姆法则进行求解：其法则是建立在逆矩阵的基础上使用的，此法则在用的时候有两个必要条件需要注意：一是未知解的线性方程组的求解个数必须和方程组中方程个数必须是相同的，系数组成的矩阵必须不为零。只要这两个条件都满足，则一切矩阵方程都可以用克莱姆法则来求解。
克莱姆法则的求解过程如下：
以上是克拉姆法则的求解过程，看上去公式不是很多，但求解时的数据处理量较大，所以一般情况下不建议使用。
（三）矩阵的基本概念
1.矩阵的秩
矩阵的秩就是对于一个矩阵来说，至少有一个，且在时，该矩阵中所有的阶子式全部为0，则该矩阵的秩为，若矩阵记为，则该矩阵的秩可以表示为。
2.线性方程组构成的矩阵
从矩阵线性方程组的结构上可看出，矩阵中数字是纵横排列的组合，这一组纵横排列的数据组合，可组成系数矩阵，及增广矩阵。
以前述（1）为例，矩阵为系数矩阵，已经在（2）中给出，从而可以进一步的增广矩阵。
3.线性方程组解的判断条件
以上述（1）为基础，该线性方程组的系数矩阵的秩，与增广矩阵的秩是相同的。还可以利用两者秩的关系，进一步讨论关于解的问题。
时，解为无穷个；
时，方程组有唯一解。
有了以上的理论概念为基础，可以选择利用其增广矩阵进行简化求解，只要将未知量输入后就可求得相关解。对于未知变量，如果有题干规定了变量的取值条件，那么可以根據规定的条件求出未知线性方程的解。
二、矩阵在线性方程中的应用
（一）矩阵的线性变换求解线性方程组的解
1.初等变换的方法及步骤
其解的主要目的是将矩阵的初等变换通过对行或者列的计算化解为阶梯形矩阵的目的。
步骤如下：
（1）：列出增广矩阵；（2）：对有解的方程组进入第三步；（3）：将矩阵进行简化；（4）：特解求出；（5）：求通解。
解例如下：
解下列齐次方程组：
以上方程组为齐次方程组，未知数和方程个数较多，计算量较大，且易出错，这样初等变换就应运而生，这样减小计算量，减少解题时间。解：系数矩阵如下，
初等变换得出阶梯形矩阵如下所示：
其中为未知量。另，得到：
则原方程的通解为：
2.小结
利用矩阵求解线性方程通解的问题，不仅仅是运用常规的定理进行解的求定，同时也是运用现代分析数学的方法，将矩阵中秩的问题，矩阵方程的变形结合，应用到线性方程组中。
（二）矩阵的秩判断线性方程的解
线性方程组有解时，若其系数矩阵等于未知数的个数，则方程组有唯一解，若秩小于，则方程组有无穷多解。
例：
判定下列方程组解的情况：
解：方程系数矩阵
简化得： 矩阵秩，
原增广矩阵化简得：
所以原方程组：，即线性方程组无解。
（三）整数矩阵在线性方程组中的应用
线性方程组中整数解的求法很少有所提及，特别是在一些现行的初等数学教材里，本章节给出方程组有整数解的实例，可以进行简单求证并作解析，相关定理如下：
整数集中，分别以和与进行表示，设，表示形式为，元素只取整数组成矩阵，称之为整数矩阵，同时设，以表示为型整数矩阵，显然，那么设 ，以表示的转秩，表示时的秩。
定理：设，若，则，且 （1）
证明：已知，下面证明（1）式成立，A经初等变换为B，首先考察以下形式：
（i）；（ii）；（iii）
由行列式的性质可知，由（i）和（ii）等行列式的性质可知，的阶子式可表示为。其中是的某一阶子式，而（iii）推出或者，这其中为的k阶子式为的某两个阶子式，因此：再由初等变换得出k=1，经定义则知（1）式成立。对于施加一次初等变换得到，证毕。
定理中适合 k=1，2，...，r，因而是由唯一确定的。
推论：每个整数可逆矩阵可表为若干整数矩阵的乘积。
（四）矩阵乘积与线性方程组
此方程的解相信大家一眼就能看出来，那线性方程组可转化成为简单形式。为了成功转化，我们必须利用矩阵乘积的概念，如下：设是一个行列的矩阵，是一个行列矩阵，则矩阵与矩阵 的乘积是一个行列矩阵 。
其中
那么为了利用矩阵乘积的性质，我们将线性方程组中的常数项、系数项和变量项转变成矩阵的形式进行展现：
根据矩阵的基本性质，可以将以上线性方程式进行转变：。
简单的形式已经有了，运用此种方法的有效好处是，如果中能够表现出来，那么线性方程组中的解就能显而易见的表现出来，不用列行列式然后进行一个个求解，这样能节省解题时间。
参考文献
[1]辛奎东.关于线性方程组新解法的探索[J].黑龙江科技信息，2012.
[2]隆昌菊.伪逆矩阵与线性方程组[J].重庆职业技术学院学报，2016.
（作者单位：广东省广州市增城区第一中学）
关键词：矩阵；线性方程；应用
一、线性方程组基本知识点
1.线性方程组概念
用数学分析实际问题是科学求证真理的必要手段，有两种思路可以对一般线性方程组进行求解，即有经验的方程组和特殊规律的方程组，利用最基本的理论或推论，用一些基本的概念转化成基本的微积分问题来解决；还有就是利用线性方程组的系数和常数提炼出来，然后构成一矩阵方程，进而通过矩阵的定义及相关定理，按照一定的解题思路进行求解。
线性方程组，即指在一个方程组中，至少含有一个未知数，且均为一次未知数，例如下列方程组（1）即为一次线性方程组。
以上关于未知数的矩阵，常数的矩阵，还有系数的矩阵构成的方程组可表示为。
其中全部为零，即用，这就是所说的其次方程组；如果不全部为零，即，叫做非其次线性方程组。有一种特殊情况，即在系数的值固定的情况下，非齐次方程组的通解可看作是齐次方程组的解与非齐次方程组的通解，看成了两者的和。
2.线性方程组的解法
线性方程组的求解，除了特殊的变换方法外，一般有两种方法可用：
一是用克莱姆法则进行求解：其法则是建立在逆矩阵的基础上使用的，此法则在用的时候有两个必要条件需要注意：一是未知解的线性方程组的求解个数必须和方程组中方程个数必须是相同的，系数组成的矩阵必须不为零。只要这两个条件都满足，则一切矩阵方程都可以用克莱姆法则来求解。
克莱姆法则的求解过程如下：
以上是克拉姆法则的求解过程，看上去公式不是很多，但求解时的数据处理量较大，所以一般情况下不建议使用。
（三）矩阵的基本概念
1.矩阵的秩
矩阵的秩就是对于一个矩阵来说，至少有一个，且在时，该矩阵中所有的阶子式全部为0，则该矩阵的秩为，若矩阵记为，则该矩阵的秩可以表示为。
2.线性方程组构成的矩阵
从矩阵线性方程组的结构上可看出，矩阵中数字是纵横排列的组合，这一组纵横排列的数据组合，可组成系数矩阵，及增广矩阵。
以前述（1）为例，矩阵为系数矩阵，已经在（2）中给出，从而可以进一步的增广矩阵。
3.线性方程组解的判断条件
以上述（1）为基础，该线性方程组的系数矩阵的秩，与增广矩阵的秩是相同的。还可以利用两者秩的关系，进一步讨论关于解的问题。
时，解为无穷个；
时，方程组有唯一解。
有了以上的理论概念为基础，可以选择利用其增广矩阵进行简化求解，只要将未知量输入后就可求得相关解。对于未知变量，如果有题干规定了变量的取值条件，那么可以根據规定的条件求出未知线性方程的解。
二、矩阵在线性方程中的应用
（一）矩阵的线性变换求解线性方程组的解
1.初等变换的方法及步骤
其解的主要目的是将矩阵的初等变换通过对行或者列的计算化解为阶梯形矩阵的目的。
步骤如下：
（1）：列出增广矩阵；（2）：对有解的方程组进入第三步；（3）：将矩阵进行简化；（4）：特解求出；（5）：求通解。
解例如下：
解下列齐次方程组：
以上方程组为齐次方程组，未知数和方程个数较多，计算量较大，且易出错，这样初等变换就应运而生，这样减小计算量，减少解题时间。解：系数矩阵如下，
初等变换得出阶梯形矩阵如下所示：
其中为未知量。另，得到：
则原方程的通解为：
2.小结
利用矩阵求解线性方程通解的问题，不仅仅是运用常规的定理进行解的求定，同时也是运用现代分析数学的方法，将矩阵中秩的问题，矩阵方程的变形结合，应用到线性方程组中。
（二）矩阵的秩判断线性方程的解
线性方程组有解时，若其系数矩阵等于未知数的个数，则方程组有唯一解，若秩小于，则方程组有无穷多解。
例：
判定下列方程组解的情况：
解：方程系数矩阵
简化得： 矩阵秩，
原增广矩阵化简得：
所以原方程组：，即线性方程组无解。
（三）整数矩阵在线性方程组中的应用
线性方程组中整数解的求法很少有所提及，特别是在一些现行的初等数学教材里，本章节给出方程组有整数解的实例，可以进行简单求证并作解析，相关定理如下：
整数集中，分别以和与进行表示，设，表示形式为，元素只取整数组成矩阵，称之为整数矩阵，同时设，以表示为型整数矩阵，显然，那么设 ，以表示的转秩，表示时的秩。
定理：设，若，则，且 （1）
证明：已知，下面证明（1）式成立，A经初等变换为B，首先考察以下形式：
（i）；（ii）；（iii）
由行列式的性质可知，由（i）和（ii）等行列式的性质可知，的阶子式可表示为。其中是的某一阶子式，而（iii）推出或者，这其中为的k阶子式为的某两个阶子式，因此：再由初等变换得出k=1，经定义则知（1）式成立。对于施加一次初等变换得到，证毕。
定理中适合 k=1，2，...，r，因而是由唯一确定的。
推论：每个整数可逆矩阵可表为若干整数矩阵的乘积。
（四）矩阵乘积与线性方程组
此方程的解相信大家一眼就能看出来，那线性方程组可转化成为简单形式。为了成功转化，我们必须利用矩阵乘积的概念，如下：设是一个行列的矩阵，是一个行列矩阵，则矩阵与矩阵 的乘积是一个行列矩阵 。
其中
那么为了利用矩阵乘积的性质，我们将线性方程组中的常数项、系数项和变量项转变成矩阵的形式进行展现：
根据矩阵的基本性质，可以将以上线性方程式进行转变：。
简单的形式已经有了，运用此种方法的有效好处是，如果中能够表现出来，那么线性方程组中的解就能显而易见的表现出来，不用列行列式然后进行一个个求解，这样能节省解题时间。
参考文献
[1]辛奎东.关于线性方程组新解法的探索[J].黑龙江科技信息，2012.
[2]隆昌菊.伪逆矩阵与线性方程组[J].重庆职业技术学院学报，2016.
（作者单位：广东省广州市增城区第一中学）