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行列式是很多学生难以理解的概念，对于行列式的教学，许多教师也是想尽各种方法，尽可能从学生容易理解的角度出发引出它的定义。本文综合各位同仁的教学研究成果整理出自己一套的行列式教学方法。本着以传授知识和培养学生能力为宗旨，不仅从行列式的展开定理引入行列式，而且从几何的角度来解释行列式的几何意义，加深学生的理解，提高学生学习线性代数的兴趣。
关键词：行列式概念；展开定理；几何意义；能力培养
【中图分类号】G633.6 文章标识码：B
Determinant is a difficult concept for many students to grasp.So it encourages every teacher to defind determinant in an accessible way. I make a synthesis of other teachers’ studies and sum up out a set of self teaching method in this paper. Taking knowledge and capacity - building as objectives， i not only define determinant by determinant expanded theorem，but also interpret determinant in terms of geometry . Then students will make a good comprehension of determinant and increase the interest to learn linear algebra.
Key words： determinant； expanded theorem； geometrical meaning
线性代数作为非数学专业大学生的数学基础课，它的理论、思想与方法对大学生综合素质的提高和创新意识的培养都有十分重要的作用。因此，在教学过程中，不仅应注重知识的传授，而且要更强调学生思维能力的提高和创新意识的培养。线性代数内容中的概念多数比较抽象，出现的形式也比较突然，让学生一时无法理解。比如，很多教材中介绍行列式概念和性质的过程中，一味地采取出乎意料的定义和繁杂的推理过程，让学生在一开始学习线性代数时就显得力不从心。所以，本文主要从线性代数课程的培养目标出发浅谈行列式概念的教学设计。
一、行列式的概念教学
很多教科书里都是从逆序数、排列等角度出发定义行列式，然而对于非数学专业的学生来讲，这一定义显得抽象、复杂，特别是后续教学中还用这个定义去解释、证明行列式的性质时，更会让学生觉得难以接受。也有些是脱离行列式的产生背景直接给出行列式的概念，这又显得太过突然，使学生不能加深对概念的理解和明确学习目的，无法引起学生的学习兴趣。
其实，行列式一开始只是求解线性方程组的一种速记符号，类比中学学习的的一元二次方程求根公式的 符号。由于在实际的应用问题当中，经常会碰到求解二元、三元等低元线性方程组的情形，于是引导学生分别观察二元、三元线性方程组解的结构特点（前提是这些方程组有解），创造一个速记符号，即二阶、三阶行列式，由此引入二階、三阶行列式的概念及其计算方法——对角线法则。
接着用不完全归纳法，通过研究相二阶、三阶行列式之间的关系，启发学生发现高阶行列式到低一阶行列式的一个递推公式，从而用递推的方法引进了n阶行列式的定义，即由行列式的展开理论来定义行列式。由于递推思想是学生以前接触过的，因此，这种定义方式会让学生比较容易接受。再者，有了这种递推思想，教师也可以顺其自然地引入余子式及代数余子式的概念，让学生也清楚地理解概念产生的缘由，加深学生对这些概念的理解和记忆。
二、行列式的几何意义教学
法国著名数学家笛卡尔说过：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。”。 在让学生经历行列式的再创造过程的基础上，如果再结合几何，给出行列式的几何意义，这无疑会加深学生对行列式的认识和增加学生学习的兴趣。
在平面直角坐标系上，学生通过对两个非平行向量张成的平行四边形面积的计算，结合二阶行列式的计算结构特点，发现平行四邊形的面积可以表示为二阶行列式的形式。由此，反推二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的有向面积，三阶行列式的几何意义是由行列式的向量所张成的平行六面体的有向体积，进一步地，引导学生可以把n阶行列式想象成一个n维立体的有向体积。
行列式的几何教学不仅能够让学生惊讶于行列式的用处，增强对行列式学习的兴趣，而且能够加深对行列式性质的理解，增强对行列式性质的应用。同时，也为后续行列式作为判断向量线性相关性的重要工具学习做好铺垫。
三、行列式概念教学中的能力培养
教材内容是依照逻辑体系编排的，并不直接展现数学的思想方法，而学生的数学能力往往是在应用数学思想方法，解决相关问题的过程中得以培养的。因此，教师必须认真分析教学内容，充分挖掘蕴含在其中的数学思想方法，确立具体的能力培养目标，让学生在学习数学的过程中发展创造能力。
德国数学家莱布尼茨是在研究线性方程组时发明了二阶、三阶行列式。于是，我们希望在行列式概念的教学中，通过再现数学前辈创造行列式这一数学对象的过程，培养学生的创造能力。比如，指导学生通过想象记忆二阶、三阶行列式的计算方法——对角线法则，接着让学生试着验证对角线法则在四阶行列式、五阶行列式的适用性，发现如果用对角线法则来定义四阶及以上行列式的计算，那么这些行列式就不构成对应线性方程组的解，失去了行列式本身应有的意义，从而引导学生从递推的角度来猜想并定义n阶行列式。在后续的学习中，学生可以利用该定义自主学习，结合教师的引导得出行列式的性质。
这种让学生参与教学全过程的教学方法，不仅能让学生弄清行列式概念的来龙去脉和形成过程，体验探索知识的乐趣和喜悦，而且能让学生真正理解知识和掌握知识，提高应用知识的灵活性。同时，在很大程度上它也发挥了学生学习的主体作用，培养学生的自学探究、推理归纳和创新能力。
行列式是学生学习线性代数时最先接触的概念，如果事先能够把行列式概念的来龙去脉和意义讲清楚，让学生参与知识的形成与发展过程，将很有力地调动学生的学习积极性，培养学习的独立性和自主性，为线性代数学习创造了一个良好的开端。
参考文献：
[1]戴立辉.线性代数（第2版）[M].同济大学出版社， 2010.1—11.
[2]陈志彬，张爱平，李强.行列式几何化的教学研究[J].当代教育理论与实践， 2012， 4（4）：90—94.
[3]阮瑾怡.三阶行列式按行（列）展开教学案例[J].数学教学，2005，2（2）：11—13.
关键词：行列式概念；展开定理；几何意义；能力培养
【中图分类号】G633.6 文章标识码：B
Determinant is a difficult concept for many students to grasp.So it encourages every teacher to defind determinant in an accessible way. I make a synthesis of other teachers’ studies and sum up out a set of self teaching method in this paper. Taking knowledge and capacity - building as objectives， i not only define determinant by determinant expanded theorem，but also interpret determinant in terms of geometry . Then students will make a good comprehension of determinant and increase the interest to learn linear algebra.
Key words： determinant； expanded theorem； geometrical meaning
线性代数作为非数学专业大学生的数学基础课，它的理论、思想与方法对大学生综合素质的提高和创新意识的培养都有十分重要的作用。因此，在教学过程中，不仅应注重知识的传授，而且要更强调学生思维能力的提高和创新意识的培养。线性代数内容中的概念多数比较抽象，出现的形式也比较突然，让学生一时无法理解。比如，很多教材中介绍行列式概念和性质的过程中，一味地采取出乎意料的定义和繁杂的推理过程，让学生在一开始学习线性代数时就显得力不从心。所以，本文主要从线性代数课程的培养目标出发浅谈行列式概念的教学设计。
一、行列式的概念教学
很多教科书里都是从逆序数、排列等角度出发定义行列式，然而对于非数学专业的学生来讲，这一定义显得抽象、复杂，特别是后续教学中还用这个定义去解释、证明行列式的性质时，更会让学生觉得难以接受。也有些是脱离行列式的产生背景直接给出行列式的概念，这又显得太过突然，使学生不能加深对概念的理解和明确学习目的，无法引起学生的学习兴趣。
其实，行列式一开始只是求解线性方程组的一种速记符号，类比中学学习的的一元二次方程求根公式的 符号。由于在实际的应用问题当中，经常会碰到求解二元、三元等低元线性方程组的情形，于是引导学生分别观察二元、三元线性方程组解的结构特点（前提是这些方程组有解），创造一个速记符号，即二阶、三阶行列式，由此引入二階、三阶行列式的概念及其计算方法——对角线法则。
接着用不完全归纳法，通过研究相二阶、三阶行列式之间的关系，启发学生发现高阶行列式到低一阶行列式的一个递推公式，从而用递推的方法引进了n阶行列式的定义，即由行列式的展开理论来定义行列式。由于递推思想是学生以前接触过的，因此，这种定义方式会让学生比较容易接受。再者，有了这种递推思想，教师也可以顺其自然地引入余子式及代数余子式的概念，让学生也清楚地理解概念产生的缘由，加深学生对这些概念的理解和记忆。
二、行列式的几何意义教学
法国著名数学家笛卡尔说过：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。”。 在让学生经历行列式的再创造过程的基础上，如果再结合几何，给出行列式的几何意义，这无疑会加深学生对行列式的认识和增加学生学习的兴趣。
在平面直角坐标系上，学生通过对两个非平行向量张成的平行四边形面积的计算，结合二阶行列式的计算结构特点，发现平行四邊形的面积可以表示为二阶行列式的形式。由此，反推二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的有向面积，三阶行列式的几何意义是由行列式的向量所张成的平行六面体的有向体积，进一步地，引导学生可以把n阶行列式想象成一个n维立体的有向体积。
行列式的几何教学不仅能够让学生惊讶于行列式的用处，增强对行列式学习的兴趣，而且能够加深对行列式性质的理解，增强对行列式性质的应用。同时，也为后续行列式作为判断向量线性相关性的重要工具学习做好铺垫。
三、行列式概念教学中的能力培养
教材内容是依照逻辑体系编排的，并不直接展现数学的思想方法，而学生的数学能力往往是在应用数学思想方法，解决相关问题的过程中得以培养的。因此，教师必须认真分析教学内容，充分挖掘蕴含在其中的数学思想方法，确立具体的能力培养目标，让学生在学习数学的过程中发展创造能力。
德国数学家莱布尼茨是在研究线性方程组时发明了二阶、三阶行列式。于是，我们希望在行列式概念的教学中，通过再现数学前辈创造行列式这一数学对象的过程，培养学生的创造能力。比如，指导学生通过想象记忆二阶、三阶行列式的计算方法——对角线法则，接着让学生试着验证对角线法则在四阶行列式、五阶行列式的适用性，发现如果用对角线法则来定义四阶及以上行列式的计算，那么这些行列式就不构成对应线性方程组的解，失去了行列式本身应有的意义，从而引导学生从递推的角度来猜想并定义n阶行列式。在后续的学习中，学生可以利用该定义自主学习，结合教师的引导得出行列式的性质。
这种让学生参与教学全过程的教学方法，不仅能让学生弄清行列式概念的来龙去脉和形成过程，体验探索知识的乐趣和喜悦，而且能让学生真正理解知识和掌握知识，提高应用知识的灵活性。同时，在很大程度上它也发挥了学生学习的主体作用，培养学生的自学探究、推理归纳和创新能力。
行列式是学生学习线性代数时最先接触的概念，如果事先能够把行列式概念的来龙去脉和意义讲清楚，让学生参与知识的形成与发展过程，将很有力地调动学生的学习积极性，培养学习的独立性和自主性，为线性代数学习创造了一个良好的开端。
参考文献：
[1]戴立辉.线性代数（第2版）[M].同济大学出版社， 2010.1—11.
[2]陈志彬，张爱平，李强.行列式几何化的教学研究[J].当代教育理论与实践， 2012， 4（4）：90—94.
[3]阮瑾怡.三阶行列式按行（列）展开教学案例[J].数学教学，2005，2（2）：11—13.