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【摘要】深度教学能够引导学生深入知识和思想的内核，在学生获得自我意义感和效能感的同时，真正促进数学模型思想的形成和发展.本文在解读深度教学与数学模型思想的内在关联的基础上，从深度教学理论视角，结合“反比例函数概念”提供初中数学模型思想渗透的4条路径：创设情境，感受模型思想;问题引领，形成模型思想;整体把控，落实模型思想;重视反思，深化模型思想.以此希望为一线数学教师开展教学活动提供操作性启示.
【关键词】深度教学;初中数学模型思想;渗透路径;反比例函数概念
模型思想作为数学基本思想之一，在关键词中被单独提出，足以证明其重要的价值.如今，模型思想得到了一线教师的重视，但大多数教师关于模型思想的渗透仍流于表层.为保证数学模型思想的渗透，教师需要深度地“教”，深度地“引导”.近年来，深度教学得到了学术界的关注，理论和实践研究证明其有利于提高教学质量和促进学生数学核心素养的发展.通过梳理文献可知，从深度教学的视角对初中数学模型思想的渗透路径的研究并不多，具有研究空间和价值.因此，在研究深度教学与数学模型思想的理论基础上，从深度教学视角提供初中数学模型思想渗透的路径，希望为一线数学教师提供操作性参考.
一、深度教学与数学模型思想
（一）深度教学内涵
随着课程的改革，深度教学在教育界逐步得到应用和发展，郭云祥认为深度教学不是追求知识的难度和深度，而是丰富教学层次，实现教学的丰富价值.李松林提出深度教学是深入学科本质的反思式教学，是促进持续建构的阶梯式教学，是建构深层意义的理解式教学.郑毓信认为深度教学必须超越具体知识和技能深入思维的层面，真正促进学生学会学习，成为学习的主人.换言之，深度教学能够克服表层教学的缺陷，引导学生理解知识内在结构，感受知识的意义和思想价值，促进思维和能力的发展.
基于此，本文认为数学学科的深度教学是从学生主体出发，注重数学内容的横纵联系、与生活的密切关联，并且重视问题引领的对话式交流，从反思的视角深入思考，真正引导学生通过数学学会思维.
（二）数学模型思想内涵
《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准2011版》）提出模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.有学者认为数学模型思想是把问题原型进行抽象、概况、假设，运用适当的数学工具得到一个完全形式化和符号化的模型，从而指导相关数学问题的研究和解决的一种演绎思想.总体而言，数学模型思想是一种内化的观念和意识，指导着数学模型的建立和应用，是顺利完成数学建模和运用模型解决问题的关键，也是帮助学生理解数学与外部世界的重要途径，具有很强的应用价值和育人价值.
（三）深度教学与数学模型思想的内在关联
数学模型思想的获得是深度教学的主要目标之一.深度教学是引导学生深入知识内核的过程，更是传播数学文化和落实学生数学素养的过程.后者的实现离不开数学思想的影响.数学模型思想作为数学基本思想之一，它的形成和发展是深度教学的基本体现.
深度教学是渗透数学模型思想的主要途径.数学模型思想的建构、认知、获得过程需要深度教学来实现，才更有机会保证学生由表面化的习得走向意义感和效能感的获得，在模型思想的指导下构建模型解决問题.
二、在深度教学视角下渗透数学模型思想
（一）《标准2011版》对渗透数学模型思想的要求
《标准2011版》明确提出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：①从现实生活或具体情境中抽象出数学问题;②用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律;③求出结果并讨论结果的意义.”从中可知，数学模型的建立和应用是形成数学模型思想的重点.
学生经历“具体——抽象——具体”的思维发展，进而形成模型思想，体会其内在价值.因此，教师在渗透模型思想的过程中要基于学生的认知过程进行深加工，通过深度教学促进学生自觉地在模型思想的指导下发现、提出、分析、解决问题，培养和发展学生的应用意识和创新能力.
（二）数学模型思想深度渗透的路径
本文在解读《标准2011版》对渗透模型思想的要求基础上，结合“反比例函数概念”，从深度教学的视角提供初中数学模型思想的渗透路径，以便更好地促进学生深度学习，深入掌握模型思想的本质和意义.
1.创设情境，感受模型思想
深度教学需联系知识产生的背景和学生经验，挖掘知识内在的意蕴与学生个体世界的关联，实现知识的假定性意义向个体性意义的深化.有些数学模型的背后蕴含着现实原型情境，在深度教学中渗透模型思想可联系日常实际，引导学生在生活中发现数学模型，体会数学模型在日常生活中普遍存在，初步感受模型思想的价值.当然，有些数学模型可能无法运用现实情境进行展现，这可通过创设问题情境，将其与学生的认知经验联系起来，让学生从心中理解新的数学模型来源于已有知识和经验，感受知识不断生成和发展的过程.
在“反比例函数概念”的教学中，可提供以下情境引发学生的情感共鸣，激发学生探究的兴趣.
情境1：学校正在进行环境美化建设，需搭建一个面积为60 m2的矩形花坛，花坛的长度y（m）与宽度x（m）之间的关系可以表示为.受到场地的限制，花坛的长只能为12 m，则宽度是m.
情境2：某同学家住广州，他打算在暑假期间坐高铁去北京旅游，通过查询可知京广高铁全程2294千米，高铁的平均速度v与平均时间t的关系可以表示为.前2天，他买了高铁票后发现坐车时长为2.5小时，则高铁的平均速度是千米/时.
以上情境的设计，将学生的已有认知经验和日常生活密切相连.并且，学生可以初步感知运用模型解决实际问题的价值，体验到成功的喜悦，进一步激发学习的兴趣. 2.问题引领，形成模型思想
深度教学强调学生的主体地位、教师的主导作用，间接突显了“问题引领”的重要性.在渗透模型思想的过程中，教师应在深入理解教学知识以及背后蕴含的数学模型和模型思想的基础上，提炼核心问题，并延伸问题链，通过问题引导学生不断地认识、建构、理解相应的数学模型，在思维深化的过程中进一步提炼出不同数学模型对应的一般建构方法，逐渐形成模型思想.
教师提炼“反比例函数概念”教学的核心问题，以核心问题为中心形成问题链（如下），引导学生深入探究模型的建构和应用的过程.
核心问题：在具体情境中提炼反比例函数模型y=kx（k≠0），体会模型的实际意义.
问题链：①创设情境问题，进行提问.
②这些表达式有什么共同之处？一般式怎样表示？有多少种表示形式？
③类比学过的知识，有没有需要注意的地方？
④为什么比例系数k不为0，且是常数？
⑤为什么称为反比例函数？
⑥能否联系日常生活，举出两个反比例函数的例子？如何解答？
⑦如何发现反比例函数模型？对我们有什么启发？
⑧通过建构反比例函数模型进行解答，对日常生活有何意义？
根据1个核心问题，形成8个主要问题组成的问题链.其中问题①②③④⑤是引导学生根据具体情境建构和提炼反比例函数模型，深入理解建构的过程和模型的内在本质.问题⑥⑦⑧则是有意识地引导学生发现现实世界中存在的数学问题，通过建构模型进行解决，并且反思建构过程，总结建构方法，体会数学模型的应用价值，为形成模型思想奠定基础.
3.整体把控，落实模型思想
深度教学是引导学生想得更全面、更合理、更清晰，促进思维的深化，教会学生从整体上把握知识是重要的一环.教师在落实模型思想时，需要给予学生整体把控的环境，让学生感受各知识点间的关联，甚至给予认知冲突的观点，让学生在比较、冲突、联系的过程中形成自己的判断，从而深入认识模型思想的内在本质，优化学习思维.
在“反比例函数概念”的例题环节中，教师可以运用以下题目：
例1 下列函数分别是什么函数？为什么？求出k值.
①y=2x; ②y=x4; ③y=-8x 1; ④y=4x-1;
⑤y=-25x 1;⑥y=3x2 9;
⑦xy=1; ⑧y=ax; ⑨y=x10.
例2 为预防疫情，广州某小学对教室进行消毒.喷雾消散时，室内每立方米空气中的喷雾含量y（mg）与时间x（min）成正比例，喷雾消散完后，y与x成反比例，现测得喷雾8 min消散完毕，此时室内每立方米空气中的喷雾含量为6 mg：
（1）室內空气中喷雾的含量小于1.5 mg/m3时学生方可进教室，从消毒开始，至少经过min后，学生才能回到教室.
（2）室内空气中喷雾的含量不低于2 mg/m3且持续时间不低于15 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
学生在脑海里刚形成反比例函数模型，对其没有整体的把握，教师以例1为启发点，给予学生思考、辩论的环境，让学生在新模型和旧模型的比较中，深入理解各函数模型的本质.其次，在例1的基础上引出例2，培养学生辨别各种模型，正确运用对应模型解决实际问题，落实函数模型思想的形成.
4.重视反思，深化模型思想
郭元祥提出学习意义感建立在自我意识、自我反思和自我觉醒的基础之上.在一定程度上，深度教学是一种反思性教学.教师应注重鼓励学生敢于表达观点并多问“什么”“为什么”，引导学生学会总结的同时反思建构过程、反思收获，甚至反思自己与知识的关系等，逐渐养成反思意识，真正获得自我意义感、自我效能感，从而自觉地深入理解数学模型构建和应用的意义，深化模型思想.
在“反比例函数概念”的教学结束环节，可给出以下提问：
提问1：反比例函数有哪几种表达式？需要注意什么？为什么？
提问2：我们是如何发现反比例函数模型的？对我们有什么启发？
提问3：反比例函数模型与之前所学的函数模型有何异同？适用于什么情况？
通过以上提问，引导学生总结和反思整个学习过程，并在比较、联系的过程中，进一步理解反比例函数模型的建构和应用过程，深化模型思想的渗透.
本文在研究深度教学与数学模型思想的理论基础上，从深度教学的视角设计了初中模型思想的渗透路径，希望为一线初中数学教师提供操作性启示.此外，深度教学作为新型教学理念，为数学思想的培养提供了强有力的措施，也对教师提出了更高的要求.因此，教师想要在课堂上做到深度教学，自身必须要立足于专业发展，养成深度学习、深入研究的意识和习惯，在观念、思想、行动方面得以革新，真正促进学生掌握数学思想，达到立德树人的目的.
【关键词】深度教学;初中数学模型思想;渗透路径;反比例函数概念
模型思想作为数学基本思想之一，在关键词中被单独提出，足以证明其重要的价值.如今，模型思想得到了一线教师的重视，但大多数教师关于模型思想的渗透仍流于表层.为保证数学模型思想的渗透，教师需要深度地“教”，深度地“引导”.近年来，深度教学得到了学术界的关注，理论和实践研究证明其有利于提高教学质量和促进学生数学核心素养的发展.通过梳理文献可知，从深度教学的视角对初中数学模型思想的渗透路径的研究并不多，具有研究空间和价值.因此，在研究深度教学与数学模型思想的理论基础上，从深度教学视角提供初中数学模型思想渗透的路径，希望为一线数学教师提供操作性参考.
一、深度教学与数学模型思想
（一）深度教学内涵
随着课程的改革，深度教学在教育界逐步得到应用和发展，郭云祥认为深度教学不是追求知识的难度和深度，而是丰富教学层次，实现教学的丰富价值.李松林提出深度教学是深入学科本质的反思式教学，是促进持续建构的阶梯式教学，是建构深层意义的理解式教学.郑毓信认为深度教学必须超越具体知识和技能深入思维的层面，真正促进学生学会学习，成为学习的主人.换言之，深度教学能够克服表层教学的缺陷，引导学生理解知识内在结构，感受知识的意义和思想价值，促进思维和能力的发展.
基于此，本文认为数学学科的深度教学是从学生主体出发，注重数学内容的横纵联系、与生活的密切关联，并且重视问题引领的对话式交流，从反思的视角深入思考，真正引导学生通过数学学会思维.
（二）数学模型思想内涵
《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准2011版》）提出模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.有学者认为数学模型思想是把问题原型进行抽象、概况、假设，运用适当的数学工具得到一个完全形式化和符号化的模型，从而指导相关数学问题的研究和解决的一种演绎思想.总体而言，数学模型思想是一种内化的观念和意识，指导着数学模型的建立和应用，是顺利完成数学建模和运用模型解决问题的关键，也是帮助学生理解数学与外部世界的重要途径，具有很强的应用价值和育人价值.
（三）深度教学与数学模型思想的内在关联
数学模型思想的获得是深度教学的主要目标之一.深度教学是引导学生深入知识内核的过程，更是传播数学文化和落实学生数学素养的过程.后者的实现离不开数学思想的影响.数学模型思想作为数学基本思想之一，它的形成和发展是深度教学的基本体现.
深度教学是渗透数学模型思想的主要途径.数学模型思想的建构、认知、获得过程需要深度教学来实现，才更有机会保证学生由表面化的习得走向意义感和效能感的获得，在模型思想的指导下构建模型解决問题.
二、在深度教学视角下渗透数学模型思想
（一）《标准2011版》对渗透数学模型思想的要求
《标准2011版》明确提出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：①从现实生活或具体情境中抽象出数学问题;②用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律;③求出结果并讨论结果的意义.”从中可知，数学模型的建立和应用是形成数学模型思想的重点.
学生经历“具体——抽象——具体”的思维发展，进而形成模型思想，体会其内在价值.因此，教师在渗透模型思想的过程中要基于学生的认知过程进行深加工，通过深度教学促进学生自觉地在模型思想的指导下发现、提出、分析、解决问题，培养和发展学生的应用意识和创新能力.
（二）数学模型思想深度渗透的路径
本文在解读《标准2011版》对渗透模型思想的要求基础上，结合“反比例函数概念”，从深度教学的视角提供初中数学模型思想的渗透路径，以便更好地促进学生深度学习，深入掌握模型思想的本质和意义.
1.创设情境，感受模型思想
深度教学需联系知识产生的背景和学生经验，挖掘知识内在的意蕴与学生个体世界的关联，实现知识的假定性意义向个体性意义的深化.有些数学模型的背后蕴含着现实原型情境，在深度教学中渗透模型思想可联系日常实际，引导学生在生活中发现数学模型，体会数学模型在日常生活中普遍存在，初步感受模型思想的价值.当然，有些数学模型可能无法运用现实情境进行展现，这可通过创设问题情境，将其与学生的认知经验联系起来，让学生从心中理解新的数学模型来源于已有知识和经验，感受知识不断生成和发展的过程.
在“反比例函数概念”的教学中，可提供以下情境引发学生的情感共鸣，激发学生探究的兴趣.
情境1：学校正在进行环境美化建设，需搭建一个面积为60 m2的矩形花坛，花坛的长度y（m）与宽度x（m）之间的关系可以表示为.受到场地的限制，花坛的长只能为12 m，则宽度是m.
情境2：某同学家住广州，他打算在暑假期间坐高铁去北京旅游，通过查询可知京广高铁全程2294千米，高铁的平均速度v与平均时间t的关系可以表示为.前2天，他买了高铁票后发现坐车时长为2.5小时，则高铁的平均速度是千米/时.
以上情境的设计，将学生的已有认知经验和日常生活密切相连.并且，学生可以初步感知运用模型解决实际问题的价值，体验到成功的喜悦，进一步激发学习的兴趣. 2.问题引领，形成模型思想
深度教学强调学生的主体地位、教师的主导作用，间接突显了“问题引领”的重要性.在渗透模型思想的过程中，教师应在深入理解教学知识以及背后蕴含的数学模型和模型思想的基础上，提炼核心问题，并延伸问题链，通过问题引导学生不断地认识、建构、理解相应的数学模型，在思维深化的过程中进一步提炼出不同数学模型对应的一般建构方法，逐渐形成模型思想.
教师提炼“反比例函数概念”教学的核心问题，以核心问题为中心形成问题链（如下），引导学生深入探究模型的建构和应用的过程.
核心问题：在具体情境中提炼反比例函数模型y=kx（k≠0），体会模型的实际意义.
问题链：①创设情境问题，进行提问.
②这些表达式有什么共同之处？一般式怎样表示？有多少种表示形式？
③类比学过的知识，有没有需要注意的地方？
④为什么比例系数k不为0，且是常数？
⑤为什么称为反比例函数？
⑥能否联系日常生活，举出两个反比例函数的例子？如何解答？
⑦如何发现反比例函数模型？对我们有什么启发？
⑧通过建构反比例函数模型进行解答，对日常生活有何意义？
根据1个核心问题，形成8个主要问题组成的问题链.其中问题①②③④⑤是引导学生根据具体情境建构和提炼反比例函数模型，深入理解建构的过程和模型的内在本质.问题⑥⑦⑧则是有意识地引导学生发现现实世界中存在的数学问题，通过建构模型进行解决，并且反思建构过程，总结建构方法，体会数学模型的应用价值，为形成模型思想奠定基础.
3.整体把控，落实模型思想
深度教学是引导学生想得更全面、更合理、更清晰，促进思维的深化，教会学生从整体上把握知识是重要的一环.教师在落实模型思想时，需要给予学生整体把控的环境，让学生感受各知识点间的关联，甚至给予认知冲突的观点，让学生在比较、冲突、联系的过程中形成自己的判断，从而深入认识模型思想的内在本质，优化学习思维.
在“反比例函数概念”的例题环节中，教师可以运用以下题目：
例1 下列函数分别是什么函数？为什么？求出k值.
①y=2x; ②y=x4; ③y=-8x 1; ④y=4x-1;
⑤y=-25x 1;⑥y=3x2 9;
⑦xy=1; ⑧y=ax; ⑨y=x10.
例2 为预防疫情，广州某小学对教室进行消毒.喷雾消散时，室内每立方米空气中的喷雾含量y（mg）与时间x（min）成正比例，喷雾消散完后，y与x成反比例，现测得喷雾8 min消散完毕，此时室内每立方米空气中的喷雾含量为6 mg：
（1）室內空气中喷雾的含量小于1.5 mg/m3时学生方可进教室，从消毒开始，至少经过min后，学生才能回到教室.
（2）室内空气中喷雾的含量不低于2 mg/m3且持续时间不低于15 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
学生在脑海里刚形成反比例函数模型，对其没有整体的把握，教师以例1为启发点，给予学生思考、辩论的环境，让学生在新模型和旧模型的比较中，深入理解各函数模型的本质.其次，在例1的基础上引出例2，培养学生辨别各种模型，正确运用对应模型解决实际问题，落实函数模型思想的形成.
4.重视反思，深化模型思想
郭元祥提出学习意义感建立在自我意识、自我反思和自我觉醒的基础之上.在一定程度上，深度教学是一种反思性教学.教师应注重鼓励学生敢于表达观点并多问“什么”“为什么”，引导学生学会总结的同时反思建构过程、反思收获，甚至反思自己与知识的关系等，逐渐养成反思意识，真正获得自我意义感、自我效能感，从而自觉地深入理解数学模型构建和应用的意义，深化模型思想.
在“反比例函数概念”的教学结束环节，可给出以下提问：
提问1：反比例函数有哪几种表达式？需要注意什么？为什么？
提问2：我们是如何发现反比例函数模型的？对我们有什么启发？
提问3：反比例函数模型与之前所学的函数模型有何异同？适用于什么情况？
通过以上提问，引导学生总结和反思整个学习过程，并在比较、联系的过程中，进一步理解反比例函数模型的建构和应用过程，深化模型思想的渗透.
本文在研究深度教学与数学模型思想的理论基础上，从深度教学的视角设计了初中模型思想的渗透路径，希望为一线初中数学教师提供操作性启示.此外，深度教学作为新型教学理念，为数学思想的培养提供了强有力的措施，也对教师提出了更高的要求.因此，教师想要在课堂上做到深度教学，自身必须要立足于专业发展，养成深度学习、深入研究的意识和习惯，在观念、思想、行动方面得以革新，真正促进学生掌握数学思想，达到立德树人的目的.