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新课改后的课堂是学生为主体的课堂，教师经常会在课堂上看到学生侃侃而谈的回答，会遇到学生辩论不休的场面，也会碰到学生鸦雀无声的静思课堂。作为教师，很希望学生的课堂发言能够在自己的预设范围内，尽量不出差错。其实当学生的思维徘徊在预设的周围时，才是学生思维真正展开的时候，教师如果能抓住学生的这些“纠结”之处，深入挖掘一番，或许有不一样的效果。在听“三角形的认识”一课中，笔者对此体会颇深。
【片段一】“搭牢”与“围成”的纠结
判断哪些图形是三角形，学生根据已有的知识经验，很快判断出（1）（4）（6）是三角形，（2）（3）不是三角形，（5）有些人认为是，有些人认为不是。教师在反馈过程中进行了这样的提问：
师：为什么（2）（3）（5）不是？
生：其中的一条线是弯的。（重点：三条线段）
生：没有搭牢。
师：没有搭牢是什么意思？（课件出示：将线延长形成三角形）那这样呢？数学上我们把这样的情况叫作“围成”。（重点：围成）
师：那（5）号图呢？
生：出头了，是直线……
师：你的意思是这三条线段的端点要相连，是这样吗？（课件出示：变成首尾相连的三角形） （重点：首尾相连）
从中可以发现，学生其实对三角形已有初步的认识，知道三角形是一个怎样的图形，只是没法用标准的数学语言来描述。学生的“搭牢”“出头了”是日常生活中的语言描述，这也正是思维展开的起点。对于第（5）个图形，还是有不少学生认为它是一个三角形，因为从图形的表象来看，确实有个三角形出现，这也是学生的“纠结”之处。学生可能会想：这个图形明明已经“搭牢”为什么不是三角形呢？此时如果可以深挖一下，让学生来对比已确定的三角形，比如（5）和（6），让他们想想到底怎样的图形才是三角形，同时可以让他们思考下如何让（5）变成三角形。这样一来，学生不仅容易回答，而且对首尾相连的概念更加深入。三条线段首尾相连就围成了三角形，教师心中必须非常清楚这一点，才能适时地引导和反问学生。将学生的“纠结”转化为学生学习的动态生成资源。
【片段二】“5，9，14”能否围成三角形的纠结
在学生理解了三角形的概念后，教师要求学生进一步学习三角形的三边关系。给出四根小棒：长度分别为5cm、9cm、6cm、14cm，要求任选三根摆一摆，看看能否围成三角形，并且记录在表格内。
表格内是学生填写的四种情况，前三种情况学生通过学具操作都能很直观地进行判断能否围成三角形。而对于第四种情况能否围成三角形学生则很“纠结”。
师：观察这三根小棒，你们在脑海中想象一下，如果用这三根小棒围一个三角形，会出现怎样的状况呢？它能围成一个三角形吗？
生：不能。
师：你觉得还是不能？有没有不同的想法？
生：能。
师：能。现在有两种意见了。我们请他们都上来。先请能的那个试试，看看他的想法和你的一样吗？……来，把你的想法告诉大家。谁来帮帮他？他想说什么？你们觉得是能还是不能？
生：不能。9和5的长和这根蓝色的小棒的长度一样，要是把这两根小棒分开来的话，这两个长度就不一样了。
师：你们听懂了吗？你再大声地说给大家听，好吗？他讲得可好了。他说的是什么啊？
生：黄色小棒和绿色小棒的长度，与蓝色小棒的长度一样。
师：谁听懂了？他说的这句话是什么意思？聪明的孩子都在思考呢。他观察到了这些小棒的……
生：长度。
师：是吧？这是一个关键，你来补充。
生：长度一样，要是两根小棒加起来跟最长的那根小棒长度是一样的话，就不能连接成功。
师：为什么就不能连接成功？你看，果真是一样的，一根是5cm，一根是9cm。
生：因为这样竖起来，中间会有1厘米的差距（如图1）。
师：有多少？
生：1厘米。
师：1厘米在哪儿呢？
生：就是这样做成一个三角形的时候，这个竖起来的时候，会有差距的。
师：哦，如果你把它拱起来的话，这里会有差距，搭不牢了，是这个意思吗？
生：是。
师：你觉得能还是不能？
生：不能。
师：确定？
生：确定。
师：确定，他确定了，现在你们大家觉得能还是……
生：不能。
师：是不能，好，你们请回。这两位同学非常棒，在能和不能之间，咱们通过不断的实验说明了这个情况。让我们再通过课件展示来了解这个过程。当9厘米和5厘米的这两条小棒连在一起的时候，它组成的这条线段正好长……
当学生发现两根短棒无论怎么摆都“碰不牢”，还会有“1厘米”的差距时，其实学生已经在思考三角形的连接方式，必须首尾相连。而围成三角形的本质不就是三条边连接时能形成夹角，如果没有夹角就“围不成”了。
在巡视时，笔者发现，学生能搭成三角形的往往是如图1的情况。乍一眼看，像是围成三角形了，而教师的引导偏偏说不能围成，此时这些同学心中就很矛盾，明明能围成，为什么说不行呢。“纠结”的产生正是对问题深入思考的开始，从操作来看确实是围住了，但是还要考虑到学生的操作是否准确、小棒的粗细是否影响操作、6个端点的连接方式是否符合三角形的定义。有了这些思考，教师就有了方向，可以排解学生的“纠结”，借助实物直观和数据说理，再加上课件操作，让学生从心里接受和理解为什么5cm、9cm、14cm是围不成三角形的，最后在学生脑子中构建起如图2的直观模型。学生从整个学习的过程中不仅在思考三角形的定义，同时也深刻理解了怎样的三条线段能围成三角形，“两边之和大于第三边”的定义也就呼之欲出了。学生的“纠结”是教学资源的有效挖掘点，有助于学生真正掌握知识，提高解题技能。 【片段三】“最短”与“任意”的纠结
通过操作，学生已经深刻体会到“最短两边之和大于第三边”，可是书本上是“任意两边之和大于第三边”，从这点上来说学生是很笃定了，反倒让教师纠结一番。该如何让学生理解“最短”和“任意”呢？
生：我觉得是最短两边大于第三边。
师：你是怎么发现的？能不能用黑板上的数据说明一下？
板书：
5 6>9
6 9>14
5 6<14
5 9=14
师：果然三角形的较短两边之和大于第三边。那书上又是怎么说的呢？打开书本第82页，最下面一段话请同学来念念，和刚才同学们的发现有什么不一样的地方？
师：任意是什么意思？（生说）
师：这组数据说一下（5、6、9）。
师：确实，只要能围成三角形，那这三条边中随便两边之和都会大于第三边。
师：那这组数据呢？（板书：5、6、14）
生：在这组数据中，其中有一组数据小于第三边，所以它不能围成一个三角形。
师：那为什么我们在判断时，只要看较短的两边之和就可以了？（生说）
师：所以，这两句话表达的意思是一样的，为了快速判断，所以我们只要看较短的两边之和是否大于第三边就可以了。
顺着两者看似矛盾的表述，教师因势利导，让学生用枚举法的形式举出任意两边之和与第三边的关系，以5 6>9和5 6<14为例。
① 5 6>9 ② 5 6<14
6 9>5 5 14>6
5 9>6 6 14>5
引导学生观察两组数据，从①能围成三角形中发现任意两边之和都大于第三边；从②不能围成的三角形中发现不是任意两边之和大于第三边的，两最短边之和就小于第三边，所以只要有一组不大于第三边，就无法围成三角形。再让学生结合以上的发现说说“任意”和“最短”之间的关系，此时学生的理解就比较通顺了，最后也能用语言表达出“主要看较短两边之和就可以了”，这不正是教师所需要的结果吗？在之前学生和教师的“纠结”中找到了连接点，并沟通了两者的联系。
【反思】
那如何处理教学中出现的“纠结”问题，并将此转化为课堂的生成资源呢？
一、善于倾听，发现问题
要准确抓住学生的课堂生成，发现和挖掘学生有价值的“纠结”资源，首先要求教师对教材有系统的理解，对上课内容有深入的思考。只有了解了教材体系，知道教学内容的知识起点和知识延伸，才能确定好教学目标，才能在上课时有意识地“倾听”。就像三角形的认识，教师首先要知道三角形概念的本质是什么，它是线段与线段的连接方式，三条线段首尾相连。对教材有了本质的理解，在设计教学时也就有了方向，面对学生的“纠结”也能顺势引导，让学生真正内化理解知识，呈现扎实精彩的课堂。
二、及时追问，处理问题
对学生的学情了解对于课堂教学的展开也起着非常重要的作用。掌握了学生已经具备的知识基础和基本技能，才能有效地将学生的一些“自说语”转化为“数学语言”，如三角形的认识中学生的“搭牢”“碰不了”“较短”“中间有空隙”……都可以感觉出学生是在有准备地学习，教师应该抓住这些真实的教学资源，及时追问，适时引导，将其转换成数学语言，将“纠结”的问题转化为有效的课堂资源，使学生真正学到数学知识。学生的操作经验和组织经验，都是在每一次的数学思维碰撞中不断提升的，积累这些经验为后续的学习打下扎实的基础。
三、经常小结，提升方法
教师对“纠结”问题的处理是课堂应变能力的体现，这样的应变经验需要积累。有了对教材的整体理解把握，对学生的知识基础和基本技能的了解掌握，教师自身也必须具备一定的应变水平。教师在善于发现学生的“纠结”的同时，也要适时灵活地引导挖掘，这是需要教师具有非常扎实的基本功的。课堂灵活的应变处理能力是在平时的教学和学习中不断累积的，因此教师平时要多看看课外书，多听听优秀教师的公开课，多练练自己的语言应变技巧，这样才能上出更加精彩的课，学生和教师会同步收获成功。
一节有思维有价值的数学课，可能会出现“纠结”的状况，无论是学生的纠结还是教师的纠结，都应该适当地进行处理，教师应努力营造“思辨”的数学课堂氛围，让学生从“思辨”中碰撞出智慧的火花，内化学生的知识结构。
（浙江省湖州市爱山小学教育集团 313000）
【片段一】“搭牢”与“围成”的纠结
判断哪些图形是三角形，学生根据已有的知识经验，很快判断出（1）（4）（6）是三角形，（2）（3）不是三角形，（5）有些人认为是，有些人认为不是。教师在反馈过程中进行了这样的提问：
师：为什么（2）（3）（5）不是？
生：其中的一条线是弯的。（重点：三条线段）
生：没有搭牢。
师：没有搭牢是什么意思？（课件出示：将线延长形成三角形）那这样呢？数学上我们把这样的情况叫作“围成”。（重点：围成）
师：那（5）号图呢？
生：出头了，是直线……
师：你的意思是这三条线段的端点要相连，是这样吗？（课件出示：变成首尾相连的三角形） （重点：首尾相连）
从中可以发现，学生其实对三角形已有初步的认识，知道三角形是一个怎样的图形，只是没法用标准的数学语言来描述。学生的“搭牢”“出头了”是日常生活中的语言描述，这也正是思维展开的起点。对于第（5）个图形，还是有不少学生认为它是一个三角形，因为从图形的表象来看，确实有个三角形出现，这也是学生的“纠结”之处。学生可能会想：这个图形明明已经“搭牢”为什么不是三角形呢？此时如果可以深挖一下，让学生来对比已确定的三角形，比如（5）和（6），让他们想想到底怎样的图形才是三角形，同时可以让他们思考下如何让（5）变成三角形。这样一来，学生不仅容易回答，而且对首尾相连的概念更加深入。三条线段首尾相连就围成了三角形，教师心中必须非常清楚这一点，才能适时地引导和反问学生。将学生的“纠结”转化为学生学习的动态生成资源。
【片段二】“5，9，14”能否围成三角形的纠结
在学生理解了三角形的概念后，教师要求学生进一步学习三角形的三边关系。给出四根小棒：长度分别为5cm、9cm、6cm、14cm，要求任选三根摆一摆，看看能否围成三角形，并且记录在表格内。
表格内是学生填写的四种情况，前三种情况学生通过学具操作都能很直观地进行判断能否围成三角形。而对于第四种情况能否围成三角形学生则很“纠结”。
师：观察这三根小棒，你们在脑海中想象一下，如果用这三根小棒围一个三角形，会出现怎样的状况呢？它能围成一个三角形吗？
生：不能。
师：你觉得还是不能？有没有不同的想法？
生：能。
师：能。现在有两种意见了。我们请他们都上来。先请能的那个试试，看看他的想法和你的一样吗？……来，把你的想法告诉大家。谁来帮帮他？他想说什么？你们觉得是能还是不能？
生：不能。9和5的长和这根蓝色的小棒的长度一样，要是把这两根小棒分开来的话，这两个长度就不一样了。
师：你们听懂了吗？你再大声地说给大家听，好吗？他讲得可好了。他说的是什么啊？
生：黄色小棒和绿色小棒的长度，与蓝色小棒的长度一样。
师：谁听懂了？他说的这句话是什么意思？聪明的孩子都在思考呢。他观察到了这些小棒的……
生：长度。
师：是吧？这是一个关键，你来补充。
生：长度一样，要是两根小棒加起来跟最长的那根小棒长度是一样的话，就不能连接成功。
师：为什么就不能连接成功？你看，果真是一样的，一根是5cm，一根是9cm。
生：因为这样竖起来，中间会有1厘米的差距（如图1）。
师：有多少？
生：1厘米。
师：1厘米在哪儿呢？
生：就是这样做成一个三角形的时候，这个竖起来的时候，会有差距的。
师：哦，如果你把它拱起来的话，这里会有差距，搭不牢了，是这个意思吗？
生：是。
师：你觉得能还是不能？
生：不能。
师：确定？
生：确定。
师：确定，他确定了，现在你们大家觉得能还是……
生：不能。
师：是不能，好，你们请回。这两位同学非常棒，在能和不能之间，咱们通过不断的实验说明了这个情况。让我们再通过课件展示来了解这个过程。当9厘米和5厘米的这两条小棒连在一起的时候，它组成的这条线段正好长……
当学生发现两根短棒无论怎么摆都“碰不牢”，还会有“1厘米”的差距时，其实学生已经在思考三角形的连接方式，必须首尾相连。而围成三角形的本质不就是三条边连接时能形成夹角，如果没有夹角就“围不成”了。
在巡视时，笔者发现，学生能搭成三角形的往往是如图1的情况。乍一眼看，像是围成三角形了，而教师的引导偏偏说不能围成，此时这些同学心中就很矛盾，明明能围成，为什么说不行呢。“纠结”的产生正是对问题深入思考的开始，从操作来看确实是围住了，但是还要考虑到学生的操作是否准确、小棒的粗细是否影响操作、6个端点的连接方式是否符合三角形的定义。有了这些思考，教师就有了方向，可以排解学生的“纠结”，借助实物直观和数据说理，再加上课件操作，让学生从心里接受和理解为什么5cm、9cm、14cm是围不成三角形的，最后在学生脑子中构建起如图2的直观模型。学生从整个学习的过程中不仅在思考三角形的定义，同时也深刻理解了怎样的三条线段能围成三角形，“两边之和大于第三边”的定义也就呼之欲出了。学生的“纠结”是教学资源的有效挖掘点，有助于学生真正掌握知识，提高解题技能。 【片段三】“最短”与“任意”的纠结
通过操作，学生已经深刻体会到“最短两边之和大于第三边”，可是书本上是“任意两边之和大于第三边”，从这点上来说学生是很笃定了，反倒让教师纠结一番。该如何让学生理解“最短”和“任意”呢？
生：我觉得是最短两边大于第三边。
师：你是怎么发现的？能不能用黑板上的数据说明一下？
板书：
5 6>9
6 9>14
5 6<14
5 9=14
师：果然三角形的较短两边之和大于第三边。那书上又是怎么说的呢？打开书本第82页，最下面一段话请同学来念念，和刚才同学们的发现有什么不一样的地方？
师：任意是什么意思？（生说）
师：这组数据说一下（5、6、9）。
师：确实，只要能围成三角形，那这三条边中随便两边之和都会大于第三边。
师：那这组数据呢？（板书：5、6、14）
生：在这组数据中，其中有一组数据小于第三边，所以它不能围成一个三角形。
师：那为什么我们在判断时，只要看较短的两边之和就可以了？（生说）
师：所以，这两句话表达的意思是一样的，为了快速判断，所以我们只要看较短的两边之和是否大于第三边就可以了。
顺着两者看似矛盾的表述，教师因势利导，让学生用枚举法的形式举出任意两边之和与第三边的关系，以5 6>9和5 6<14为例。
① 5 6>9 ② 5 6<14
6 9>5 5 14>6
5 9>6 6 14>5
引导学生观察两组数据，从①能围成三角形中发现任意两边之和都大于第三边；从②不能围成的三角形中发现不是任意两边之和大于第三边的，两最短边之和就小于第三边，所以只要有一组不大于第三边，就无法围成三角形。再让学生结合以上的发现说说“任意”和“最短”之间的关系，此时学生的理解就比较通顺了，最后也能用语言表达出“主要看较短两边之和就可以了”，这不正是教师所需要的结果吗？在之前学生和教师的“纠结”中找到了连接点，并沟通了两者的联系。
【反思】
那如何处理教学中出现的“纠结”问题，并将此转化为课堂的生成资源呢？
一、善于倾听，发现问题
要准确抓住学生的课堂生成，发现和挖掘学生有价值的“纠结”资源，首先要求教师对教材有系统的理解，对上课内容有深入的思考。只有了解了教材体系，知道教学内容的知识起点和知识延伸，才能确定好教学目标，才能在上课时有意识地“倾听”。就像三角形的认识，教师首先要知道三角形概念的本质是什么，它是线段与线段的连接方式，三条线段首尾相连。对教材有了本质的理解，在设计教学时也就有了方向，面对学生的“纠结”也能顺势引导，让学生真正内化理解知识，呈现扎实精彩的课堂。
二、及时追问，处理问题
对学生的学情了解对于课堂教学的展开也起着非常重要的作用。掌握了学生已经具备的知识基础和基本技能，才能有效地将学生的一些“自说语”转化为“数学语言”，如三角形的认识中学生的“搭牢”“碰不了”“较短”“中间有空隙”……都可以感觉出学生是在有准备地学习，教师应该抓住这些真实的教学资源，及时追问，适时引导，将其转换成数学语言，将“纠结”的问题转化为有效的课堂资源，使学生真正学到数学知识。学生的操作经验和组织经验，都是在每一次的数学思维碰撞中不断提升的，积累这些经验为后续的学习打下扎实的基础。
三、经常小结，提升方法
教师对“纠结”问题的处理是课堂应变能力的体现，这样的应变经验需要积累。有了对教材的整体理解把握，对学生的知识基础和基本技能的了解掌握，教师自身也必须具备一定的应变水平。教师在善于发现学生的“纠结”的同时，也要适时灵活地引导挖掘，这是需要教师具有非常扎实的基本功的。课堂灵活的应变处理能力是在平时的教学和学习中不断累积的，因此教师平时要多看看课外书，多听听优秀教师的公开课，多练练自己的语言应变技巧，这样才能上出更加精彩的课，学生和教师会同步收获成功。
一节有思维有价值的数学课，可能会出现“纠结”的状况，无论是学生的纠结还是教师的纠结，都应该适当地进行处理，教师应努力营造“思辨”的数学课堂氛围，让学生从“思辨”中碰撞出智慧的火花，内化学生的知识结构。
（浙江省湖州市爱山小学教育集团 313000）