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关键词： 沪深300指数；股指期货；收益率；相关关系；Copula函数
摘 要： 沪深300股指期货推出后，其与沪深300指数的关系就引起投资者和研究者的关注。以沪深300指数和沪深300股指期货的日收益率数据为基础，运用Copula函数建立CopulaGARCH(1,1)GED模型对两者进行相关性分析，结果表明：沪深300指数与股指期货收益率序列之间相关程度非常高，而通过比较秩相关系数的拟合情况，二元正态Copula函数更接近实际情况；在平方欧式距离的标准下，二元tCopula模型能够更好地描述沪深300指数与沪深300股指期货日收益率序列的相关结构；两序列的尾部相关程度非常高，表明当股票市场大幅度波动时，沪深300指数与沪深300股指期货的相关程度显著提高。
中图分类号： F830.9
文献标志码： A 文章编号： 1009－4474(2012)05－0014－06
一、 前言 2010年4月16日，我国正式推出以沪深300指数为标的的沪深300股指期货，这标志着我国在金融创新方面又迈出了坚实的一步,给证券市场带来了新的活力。而股指期货与沪深300指数之间的相关关系，很快就成为投资者和研究者关注的重点和热点。相关性分析是多变量分析中的一个重要课题。根据相关理论，多个金融序列之间的相关关系是多变且非常复杂的，高维情况下的相关性分析更是如此。因而，对于多个变量之间的相关研究很难做出全面的分析，早期的多变量相关关系的研究就都存在着一定的局限性且都不完整〔1〕。而Copula函数的提出，为多变量相关关系研究提供了一种新的、更加稳健的、灵活的分析方法，因为Copula函数能够将多个变量各自单独的边缘分布函数与它们共同的联合分布函数有机地联系在一起。
国内已有一些学者运用Copula函数进行多变量的相关性研究。如史道济、姚庆祝运用Copula函数对变量之间的Kendall秩相关系数、Spearman秩相关系数和尾部相关系数这三个主要相关关系指标进行了推导〔2〕。韦艳华、张世英在对上海股票市场中各个板块指数的收益率序列的不同边缘分布模型比较的基础上，建立了CopulaGARCHt模型，并对不同板块之间的条件相关关系进行实证研究，实证结果表明，不同板块指数的收益率序列应建立不同的边缘分布模型，且结合Copula函数，各板块之间有较强的正向相关关系〔3～4〕。李秀敏、史道济构造CopulaGARCHGPD模型研究了深圳、上海两股票市场的相关模式，实证结果显示ClaytonGARCHGPD模型能够更好反映两市场的相关模式，在较高置信水平下，Copula模型得到的结果更为安全〔5〕。魏平、刘海生在AR(4)GARCH(1,1)T边缘分布模型的基础上结合Copula函数，发现tCopula能够更好地刻画沪深股市的相关性〔6〕。刘琼芳、张宗益、运用地产与金融行业的股票收益率数据，引入Copula方法定量研究了两个行业股票之间的相关关系〔7〕。
以上研究文献说明，Copula函数能较好地用于描述多个金融序列之间的相关关系。鉴于国内外还没有文献对股指期货与现货指数收益率序列之间的相关关系及相关结构进行研究，本文即运用Copula函数构建CopulaGARCHGED模型来研究两者的相关关系。
二、基于Copula理论的相关系数 对两个变量之间的相关性进行研究时，最广泛使用的方法就是检验变量之间的变化趋势是否相同。如果随机变量（X，Y）有两个观测值（x1，y1）和（x2，y2），如两个观测值变化的方向是一致的，则(x1-x2)(y1-y2)>0；若观测值是不一致的，则(x1-x2)(y1-y2)<0。
西南交通大学学报（社会科学版） 第13卷第5期
万云波 股指期货与现货指数收益率序列相关性研究1.Kendall秩相关系数τ
Hollander and Wolfe给出了Kendall秩相关系数的定义，文献〔8〕令随机变量（x1，y1）,（x2，y2）为独立同分布的随机向量，则
τ=P［（x1-x2）（y1-y2）>0］-P［（x1-x2）（y1-y2）<0］，
τ是Kendalls τ系数。可以证明，
τ=2P［（x1-x2）（y1-y2）>0］-1。
引入Copula函数，假设随机变量（X，Y）的边缘分布函数的表达式分别为F(x)、G（y），相对应的Copula函数表示为C(U,V)，其中u=F(x),v=G(y),u,v∈［0，1］，则Kendall秩相关系数τ可以由Copula函数表示为，
τ=41010C(u,v)dC(u,v)-1。
2.Spearman秩相关系数ρ
另一类基于一致性的变量相关性测度的指标为Spearman秩相关系数ρs，Lehmann在文献〔10〕中定义了Spearman秩相关系数ρs〔9〕。令（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为独立同分布的随机向量，则
ρ=3{P［（x1-x2）（y1-y3）>0］-P［（x1-x2）（y1-y3）<0］}。
引入Copula函数，假设随机变量（X，Y）的边缘分布函数的表达式分别为F(x)、G（y），相对应它们的Copula函数表示为C(U,V)，其中u=F(x),v=G(y),u,v∈［0,1］,则Spearman秩相关系数ρs可以由Copula函数C(u,v)给出，
ρ=121010uvdC(u,v)-3=121010C(u,v)duv-3。
3.尾部相关系数τ
对金融资产风险的分析，投资者更关心的是金融资产的尾部相关关系，即当一个金融资产价格波动取值较大或者取值较小时，它对另一个金融资产的价格的影响如何。尾部相关关系包括上尾的相关关系和下尾的相关关系，当连续随机向量（X，Y）的边缘分布分别为F(x)和G(y)，则 λ上尾=limu→1-P［Y>G-1(u)|X>F-1(u)］，
λ下尾=limu→0+P［Y 同理，得到相对应的Copula函数表达式为，
λ上尾=limu*→1P［Y>G-1(u*)|X>F-1(u*)］=
limu*→1C＾(1-u*,1-u*)1-u*，
λ下尾=limu*→0P［Y limu*→0C＾(u*,u*)u*。 三、实证分析 （一）数据选择及描述性统计
本文实证数据选取沪深300指数的日收益率数据和以沪深300指数为标的的沪深300股指期货当月连续日收盘数据（以下简称股指期货）为研究对象，研究期间为2010年4月16日至2011年10月21日，共计368个交易日。
用Pt表示第t日的收盘价，用γt=100×(InPt-InPt-1)表示第t日的对数收益率。因为股指期货当月数据在最后3个交易日交易量急剧萎缩，而下个月的期货交易量则迅速放大，当月期货数据不再具有代表性，为了保证股指期货数据的连续性，股指期货当月最后3个交易日的数据用下月连续的数据代替（描述性分析结果如图1和表1所示）。
从图1可以发现，股指期货和现货指数的日收益率主要分布在-2%～2%的区间内，而且具有厚尾的特征。
由表1可知，沪深300指数与股指期货的收益率均值都比较小；标准差比较大，峰度都大于4，表明沪深300指数与股指期货都具有“尖峰厚尾”特征；通过JB统计量假设检验，两市的股票收益率均不服从正态分布；对收益率序列做平稳性ADF检验，沪深300指数与股指期货的收益率序列的ADF统计量分别为-1811和-1887，表明都是平稳时间序列。
（二）边缘分布模型及Copula模型构建
根据两序列的以上统计特征，作者选择能够很好描述金融时间序列偏斜、波动集群、尖峰、厚尾特性的GARCH簇模型来描述两序列的边缘分布模型，分别运用GARCH、GARCHt、GARCHGED拟合样本数据；而根据样本的显著性、AIC、SC准则以及对数似然值进行模型比较，发现GARCH(1,1)GED能够更好地拟合样本数据。因此，本文对沪深300指数及股指期货建立GARCH(1,1)GED模型，其参数如表2所示。
*表示5%水平下显著，**表示在10%水平显著，括号内为均值。
KS统计量及其概率值是根据估计得到的条件边缘分布，对原序列做概率积分变换，再运用KS检验方法，检验变换后的序列是否服从（0,1）均匀分布。表2中的KS统计量表明变换后的序列服从（0,1）均匀分布，因此可以建立CopulaGARCH（1,1）GED模型，模型的表达式为，
st=μst+εst f1=μft+εft
εst=h1/2stζst εft=h1/2ftζst
hst=ωs+αsε2s,t-1+βshs,t-1 hft=ωf+αfε2f,t-1+βfhf,t-1
(ζst,ζft)～Cζt［Φ(ζst),Φ(ζft)］。
其中Cζt(·，·)，为任意的二元Copula函数，Φ（·）为（0,1）均匀分布。
（三）Copula模型及参数估计
1.椭圆Copula函数
椭圆Copula函数来源于椭圆分布函数，因此它秉承了椭圆分布函数的优良性质，是研究金融资产相依结构的基本模型，其中正态Copula函数和tCopula函数是椭圆Copula函数的典型代表。
在GARCH(1，1)边缘分布模型的基础上，进一步求得二元正态Copula函数中的线性相关参数ρ＾的估计值为ρ＾norm=095，得到二元正态Copula分布函数的表达式为，
C＾Ga=φ-1(u＾)-∞φ-1(v＾)-∞12π1-0.952×
exp［-s2-2×095st+t22×(1-0952)］dsdf。
基于二元正态Copula函数得到的Kendall秩相关系数τnorm=07979，Spearman秩相关系数ρnorm=09454。根据计算得到的二元正态Copula函数线性相关系数ρ＾norm和二元tCopula中的线性相关参数ρ＾t以及自由度k＾，可以画出沪深300指数与股指期货之间二元正态和二元tCopula的概率密度函数图（见图2）。
二元tCopula中的线性相关参数ρ＾和自由度k的估计值分别为：ρ＾t=09531，k＾=59，得到二元tCopula分布函数的表达式为,
C＾t=59-1(u＾)-∞59-1(v＾)-∞12π1-016012×
exp［1+s2-2×09531st+t221×(1-095312)］-(59+2)/2dsdf。
基于二元tCopula函数得到的Kendall秩相关系数τt=08043，Spearman秩相关系数ρt=09487。
根据沪深300指数及股指期货的日收益观测数据得到的Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数分别τe=07769、ρe=09244，将Kendall、Spearman秩相关系数进行比较，基于二元正态Copula函数和二元tCopula函数得到的Kendall、Spearman秩相关系数明显优于基于原始数据得到的Kendall、Spearman秩相关系数，其中二元正态Copula函数计算出的秩相关系数更接近实际情况，说明二元正态Copula函数更好地反映了沪深300指数与股指期货日收益之间的秩相关关系。
通过经验Copula函数，可以得到二元正态Copula函数C＾Ga(u,v)和二元tCopula函数C＾t(u,v)与经验Copula函数C＾n(u,v)的平方欧式距离(欧氏距离Euclidean distance也称欧几里德距离，它是一个通常采用的距离定义，是在m维空间中两个点之间的真实距离)， d2Gd=∑n1C＾n(ui,vi)-C＾Ga(ui,vi)2=00171，
d2t=∑n1C＾n(ui,vi)-C＾t(ui,vi)2=00166。
在平方欧式距离的标准下，可以认为二元tCopula函数能够更好地拟合沪深300指数和股指期货日收益的观测数据。
图2 二元正态和二元tCopula概率密度函数分布从图2来看，相比二元正态Copula函数，二元tCopula函数具有更厚的尾部，因此在尾部相关关系的刻画上要强于二元正态Copula函数，由二元tCopula函数计算得到的尾部相关系数为，
λ上尾=λ下尾=2-2tk+1k+11-ρt1+ρt=0633。
其中，k和ρt分别为二元tCopula函数的自由度和线性相关参数。
2.阿基米德Copula
Clayton、Gumble和Frank Copula函数是三类常用的二元阿基米德Copula函数，下文运用这三个函数分析沪深300指数与股指期货之间的关系，参数估计结果如表3所示。
概率密度函数分布从参数估计结果以及概率密度函数图可以发现，Claton、Gumbel Copula函数具有非对称性，能够分别描述序列间上尾和下尾的相关关系，而且尾部比较陡峭且敏感性较强；计算结果显示Claton Copula上尾相关系数0882，Gumbel Copula下尾相关系数为0841，对单一尾部相关关系的刻画要强于tCopula函数的计算结果0633；沪深300指数与沪深300股指期货的尾部相关程度从图3中看来都很陡峭且估计值也比较大，说明当股票市场大幅度波动时，两者间的相关程度显著提高。
四、结论 本文运用Copula函数建立CopulaGARCH(1,1)GED模型研究了沪深300指数日收益率序列与沪深300股指期货日收益率序列之间的相关关系。
通过原始数据可以计算出沪深300指数与股指期货日收益序列之间的线性相关系数为：rp=09451，这说明沪深300指数与股指期货的日收益率序列的相关程度非常高；从秩相关系数角度，二元正态Copula函数的Kendall秩相关系数τnorm=07979，Spearman秩相关系数ρnorm=09454，相比二元tCopula函数，二元正态Copula函数计算出的秩相关系数更接近实际情况，说明了二元正态Copula函数更好地反映了沪深300指数与股指期货日收益之间的秩相关关系，且两收益率序列之间的变化趋势是基本一致的。
从尾部相关的角度，由二元tCopula函数计算得到的尾部相关系数为：λ上尾=λ下尾=0633；Claton Copula和Gumbel Copula函数具有非对称性，分别能够描述序列间上尾和下尾的相关关系，计算结果Claton Copula上尾相关系数为0882，Gumbel Copula下尾相关系数为0841，对单一尾部相关关系的刻画要强于二元tCopula函数的计算结果0633；而当股票市场大幅度波动时，沪深300指数与沪深300股指期货的相关程度会显著提高。
参考文献：
〔1〕 Boyer, B. H., Gibson, M. S.，Loretan, M. Pitfalls in Tests for Changes in Correlation〔J〕. International Finance Discussion Paper，1997，(9)：1-23.
〔2〕史道济，姚庆祝.改进的Copula方法对数据拟合的方法〔J〕.系统工程理论与实践, 2004, (4): 49-55.
〔3〕韦艳华，张世英.金融市场相关性分析〔J〕.系统工程，2004,（4）：7-12.
(下转76页)〔4〕 韦艳华，张世英.金融市场非对称尾部相依结构的研究〔J〕.管理学报, 2005 ,(2):601-605.
〔5〕 李秀敏,史道济.金融市场组合风险的相关性研究〔J〕.系统工程理论与实践, 2007,（2）: 112-117.
〔6〕 魏 平,刘海生. Copula模型在沪深股市相关性研究中的应用〔J〕.数理统计与管理，2010,（9）： 890-898.
〔7〕 刘琼芳，张宗益. 基于Copula房地产与金融行业的股票相关性研究〔J〕.管理工程学报，2011,（1）: 165-169.
〔8〕 Hollander, M., Wolfe, D. A. Nonparametric Statistical Methods〔M〕.New York: John Wiley&Sons Ltd.,1973.
〔9〕 Lehmann, E. L. Some Concepts of Dependence〔J〕.Ann.Math.Statist,1966,(37):1137-1153.
（责任编辑：叶光雄）
摘 要： 沪深300股指期货推出后，其与沪深300指数的关系就引起投资者和研究者的关注。以沪深300指数和沪深300股指期货的日收益率数据为基础，运用Copula函数建立CopulaGARCH(1,1)GED模型对两者进行相关性分析，结果表明：沪深300指数与股指期货收益率序列之间相关程度非常高，而通过比较秩相关系数的拟合情况，二元正态Copula函数更接近实际情况；在平方欧式距离的标准下，二元tCopula模型能够更好地描述沪深300指数与沪深300股指期货日收益率序列的相关结构；两序列的尾部相关程度非常高，表明当股票市场大幅度波动时，沪深300指数与沪深300股指期货的相关程度显著提高。
中图分类号： F830.9
文献标志码： A 文章编号： 1009－4474(2012)05－0014－06
一、 前言 2010年4月16日，我国正式推出以沪深300指数为标的的沪深300股指期货，这标志着我国在金融创新方面又迈出了坚实的一步,给证券市场带来了新的活力。而股指期货与沪深300指数之间的相关关系，很快就成为投资者和研究者关注的重点和热点。相关性分析是多变量分析中的一个重要课题。根据相关理论，多个金融序列之间的相关关系是多变且非常复杂的，高维情况下的相关性分析更是如此。因而，对于多个变量之间的相关研究很难做出全面的分析，早期的多变量相关关系的研究就都存在着一定的局限性且都不完整〔1〕。而Copula函数的提出，为多变量相关关系研究提供了一种新的、更加稳健的、灵活的分析方法，因为Copula函数能够将多个变量各自单独的边缘分布函数与它们共同的联合分布函数有机地联系在一起。
国内已有一些学者运用Copula函数进行多变量的相关性研究。如史道济、姚庆祝运用Copula函数对变量之间的Kendall秩相关系数、Spearman秩相关系数和尾部相关系数这三个主要相关关系指标进行了推导〔2〕。韦艳华、张世英在对上海股票市场中各个板块指数的收益率序列的不同边缘分布模型比较的基础上，建立了CopulaGARCHt模型，并对不同板块之间的条件相关关系进行实证研究，实证结果表明，不同板块指数的收益率序列应建立不同的边缘分布模型，且结合Copula函数，各板块之间有较强的正向相关关系〔3～4〕。李秀敏、史道济构造CopulaGARCHGPD模型研究了深圳、上海两股票市场的相关模式，实证结果显示ClaytonGARCHGPD模型能够更好反映两市场的相关模式，在较高置信水平下，Copula模型得到的结果更为安全〔5〕。魏平、刘海生在AR(4)GARCH(1,1)T边缘分布模型的基础上结合Copula函数，发现tCopula能够更好地刻画沪深股市的相关性〔6〕。刘琼芳、张宗益、运用地产与金融行业的股票收益率数据，引入Copula方法定量研究了两个行业股票之间的相关关系〔7〕。
以上研究文献说明，Copula函数能较好地用于描述多个金融序列之间的相关关系。鉴于国内外还没有文献对股指期货与现货指数收益率序列之间的相关关系及相关结构进行研究，本文即运用Copula函数构建CopulaGARCHGED模型来研究两者的相关关系。
二、基于Copula理论的相关系数 对两个变量之间的相关性进行研究时，最广泛使用的方法就是检验变量之间的变化趋势是否相同。如果随机变量（X，Y）有两个观测值（x1，y1）和（x2，y2），如两个观测值变化的方向是一致的，则(x1-x2)(y1-y2)>0；若观测值是不一致的，则(x1-x2)(y1-y2)<0。
西南交通大学学报（社会科学版） 第13卷第5期
万云波 股指期货与现货指数收益率序列相关性研究1.Kendall秩相关系数τ
Hollander and Wolfe给出了Kendall秩相关系数的定义，文献〔8〕令随机变量（x1，y1）,（x2，y2）为独立同分布的随机向量，则
τ=P［（x1-x2）（y1-y2）>0］-P［（x1-x2）（y1-y2）<0］，
τ是Kendalls τ系数。可以证明，
τ=2P［（x1-x2）（y1-y2）>0］-1。
引入Copula函数，假设随机变量（X，Y）的边缘分布函数的表达式分别为F(x)、G（y），相对应的Copula函数表示为C(U,V)，其中u=F(x),v=G(y),u,v∈［0，1］，则Kendall秩相关系数τ可以由Copula函数表示为，
τ=41010C(u,v)dC(u,v)-1。
2.Spearman秩相关系数ρ
另一类基于一致性的变量相关性测度的指标为Spearman秩相关系数ρs，Lehmann在文献〔10〕中定义了Spearman秩相关系数ρs〔9〕。令（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）为独立同分布的随机向量，则
ρ=3{P［（x1-x2）（y1-y3）>0］-P［（x1-x2）（y1-y3）<0］}。
引入Copula函数，假设随机变量（X，Y）的边缘分布函数的表达式分别为F(x)、G（y），相对应它们的Copula函数表示为C(U,V)，其中u=F(x),v=G(y),u,v∈［0,1］,则Spearman秩相关系数ρs可以由Copula函数C(u,v)给出，
ρ=121010uvdC(u,v)-3=121010C(u,v)duv-3。
3.尾部相关系数τ
对金融资产风险的分析，投资者更关心的是金融资产的尾部相关关系，即当一个金融资产价格波动取值较大或者取值较小时，它对另一个金融资产的价格的影响如何。尾部相关关系包括上尾的相关关系和下尾的相关关系，当连续随机向量（X，Y）的边缘分布分别为F(x)和G(y)，则 λ上尾=limu→1-P［Y>G-1(u)|X>F-1(u)］，
λ下尾=limu→0+P［Y 同理，得到相对应的Copula函数表达式为，
λ上尾=limu*→1P［Y>G-1(u*)|X>F-1(u*)］=
limu*→1C＾(1-u*,1-u*)1-u*，
λ下尾=limu*→0P［Y limu*→0C＾(u*,u*)u*。 三、实证分析 （一）数据选择及描述性统计
本文实证数据选取沪深300指数的日收益率数据和以沪深300指数为标的的沪深300股指期货当月连续日收盘数据（以下简称股指期货）为研究对象，研究期间为2010年4月16日至2011年10月21日，共计368个交易日。
用Pt表示第t日的收盘价，用γt=100×(InPt-InPt-1)表示第t日的对数收益率。因为股指期货当月数据在最后3个交易日交易量急剧萎缩，而下个月的期货交易量则迅速放大，当月期货数据不再具有代表性，为了保证股指期货数据的连续性，股指期货当月最后3个交易日的数据用下月连续的数据代替（描述性分析结果如图1和表1所示）。
从图1可以发现，股指期货和现货指数的日收益率主要分布在-2%～2%的区间内，而且具有厚尾的特征。
由表1可知，沪深300指数与股指期货的收益率均值都比较小；标准差比较大，峰度都大于4，表明沪深300指数与股指期货都具有“尖峰厚尾”特征；通过JB统计量假设检验，两市的股票收益率均不服从正态分布；对收益率序列做平稳性ADF检验，沪深300指数与股指期货的收益率序列的ADF统计量分别为-1811和-1887，表明都是平稳时间序列。
（二）边缘分布模型及Copula模型构建
根据两序列的以上统计特征，作者选择能够很好描述金融时间序列偏斜、波动集群、尖峰、厚尾特性的GARCH簇模型来描述两序列的边缘分布模型，分别运用GARCH、GARCHt、GARCHGED拟合样本数据；而根据样本的显著性、AIC、SC准则以及对数似然值进行模型比较，发现GARCH(1,1)GED能够更好地拟合样本数据。因此，本文对沪深300指数及股指期货建立GARCH(1,1)GED模型，其参数如表2所示。
*表示5%水平下显著，**表示在10%水平显著，括号内为均值。
KS统计量及其概率值是根据估计得到的条件边缘分布，对原序列做概率积分变换，再运用KS检验方法，检验变换后的序列是否服从（0,1）均匀分布。表2中的KS统计量表明变换后的序列服从（0,1）均匀分布，因此可以建立CopulaGARCH（1,1）GED模型，模型的表达式为，
st=μst+εst f1=μft+εft
εst=h1/2stζst εft=h1/2ftζst
hst=ωs+αsε2s,t-1+βshs,t-1 hft=ωf+αfε2f,t-1+βfhf,t-1
(ζst,ζft)～Cζt［Φ(ζst),Φ(ζft)］。
其中Cζt(·，·)，为任意的二元Copula函数，Φ（·）为（0,1）均匀分布。
（三）Copula模型及参数估计
1.椭圆Copula函数
椭圆Copula函数来源于椭圆分布函数，因此它秉承了椭圆分布函数的优良性质，是研究金融资产相依结构的基本模型，其中正态Copula函数和tCopula函数是椭圆Copula函数的典型代表。
在GARCH(1，1)边缘分布模型的基础上，进一步求得二元正态Copula函数中的线性相关参数ρ＾的估计值为ρ＾norm=095，得到二元正态Copula分布函数的表达式为，
C＾Ga=φ-1(u＾)-∞φ-1(v＾)-∞12π1-0.952×
exp［-s2-2×095st+t22×(1-0952)］dsdf。
基于二元正态Copula函数得到的Kendall秩相关系数τnorm=07979，Spearman秩相关系数ρnorm=09454。根据计算得到的二元正态Copula函数线性相关系数ρ＾norm和二元tCopula中的线性相关参数ρ＾t以及自由度k＾，可以画出沪深300指数与股指期货之间二元正态和二元tCopula的概率密度函数图（见图2）。
二元tCopula中的线性相关参数ρ＾和自由度k的估计值分别为：ρ＾t=09531，k＾=59，得到二元tCopula分布函数的表达式为,
C＾t=59-1(u＾)-∞59-1(v＾)-∞12π1-016012×
exp［1+s2-2×09531st+t221×(1-095312)］-(59+2)/2dsdf。
基于二元tCopula函数得到的Kendall秩相关系数τt=08043，Spearman秩相关系数ρt=09487。
根据沪深300指数及股指期货的日收益观测数据得到的Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数分别τe=07769、ρe=09244，将Kendall、Spearman秩相关系数进行比较，基于二元正态Copula函数和二元tCopula函数得到的Kendall、Spearman秩相关系数明显优于基于原始数据得到的Kendall、Spearman秩相关系数，其中二元正态Copula函数计算出的秩相关系数更接近实际情况，说明二元正态Copula函数更好地反映了沪深300指数与股指期货日收益之间的秩相关关系。
通过经验Copula函数，可以得到二元正态Copula函数C＾Ga(u,v)和二元tCopula函数C＾t(u,v)与经验Copula函数C＾n(u,v)的平方欧式距离(欧氏距离Euclidean distance也称欧几里德距离，它是一个通常采用的距离定义，是在m维空间中两个点之间的真实距离)， d2Gd=∑n1C＾n(ui,vi)-C＾Ga(ui,vi)2=00171，
d2t=∑n1C＾n(ui,vi)-C＾t(ui,vi)2=00166。
在平方欧式距离的标准下，可以认为二元tCopula函数能够更好地拟合沪深300指数和股指期货日收益的观测数据。
图2 二元正态和二元tCopula概率密度函数分布从图2来看，相比二元正态Copula函数，二元tCopula函数具有更厚的尾部，因此在尾部相关关系的刻画上要强于二元正态Copula函数，由二元tCopula函数计算得到的尾部相关系数为，
λ上尾=λ下尾=2-2tk+1k+11-ρt1+ρt=0633。
其中，k和ρt分别为二元tCopula函数的自由度和线性相关参数。
2.阿基米德Copula
Clayton、Gumble和Frank Copula函数是三类常用的二元阿基米德Copula函数，下文运用这三个函数分析沪深300指数与股指期货之间的关系，参数估计结果如表3所示。
概率密度函数分布从参数估计结果以及概率密度函数图可以发现，Claton、Gumbel Copula函数具有非对称性，能够分别描述序列间上尾和下尾的相关关系，而且尾部比较陡峭且敏感性较强；计算结果显示Claton Copula上尾相关系数0882，Gumbel Copula下尾相关系数为0841，对单一尾部相关关系的刻画要强于tCopula函数的计算结果0633；沪深300指数与沪深300股指期货的尾部相关程度从图3中看来都很陡峭且估计值也比较大，说明当股票市场大幅度波动时，两者间的相关程度显著提高。
四、结论 本文运用Copula函数建立CopulaGARCH(1,1)GED模型研究了沪深300指数日收益率序列与沪深300股指期货日收益率序列之间的相关关系。
通过原始数据可以计算出沪深300指数与股指期货日收益序列之间的线性相关系数为：rp=09451，这说明沪深300指数与股指期货的日收益率序列的相关程度非常高；从秩相关系数角度，二元正态Copula函数的Kendall秩相关系数τnorm=07979，Spearman秩相关系数ρnorm=09454，相比二元tCopula函数，二元正态Copula函数计算出的秩相关系数更接近实际情况，说明了二元正态Copula函数更好地反映了沪深300指数与股指期货日收益之间的秩相关关系，且两收益率序列之间的变化趋势是基本一致的。
从尾部相关的角度，由二元tCopula函数计算得到的尾部相关系数为：λ上尾=λ下尾=0633；Claton Copula和Gumbel Copula函数具有非对称性，分别能够描述序列间上尾和下尾的相关关系，计算结果Claton Copula上尾相关系数为0882，Gumbel Copula下尾相关系数为0841，对单一尾部相关关系的刻画要强于二元tCopula函数的计算结果0633；而当股票市场大幅度波动时，沪深300指数与沪深300股指期货的相关程度会显著提高。
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（责任编辑：叶光雄）