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【摘要】在初中数学阶段，“函数”对学生而言是抽象的，通过经历探索实际问题中的数量关系和变化规律，由常量数学向变量数学过渡，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.
【关键词】函数；有效性；数学思维
一、初中函数教学的重要意义
（一）初中函数在数学课程中的地位
函数是数学最重要的基本概念之一.它揭示了现实世界中数量之间相互依存变化对应的过程，是刻画和研究客观世界变化规律的重要模型.它研究变量，反映一个变化过程，由常量数学到变量数学是数学思维上的一次飞跃.
（二）初中函数的教学建议
1.立足函数概念核心，强化概念形成的生成过程
初中阶段的函数概念是从运动变化的观点引入，紧扣“变量”来描述函数，主要明确两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的.
2.加强研究函数一般方法的指导
研究函数概念可以从五方面逐步渗透：① 概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）；② 概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性）；③ 概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）；④ 概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色）；⑤ 概念的巩固和应用[以实例（正反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断].
因此，在教学过程中可以进行问题导向，用类比的方法研究几个函数概念（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数），同时加强研究方法的引导，对于学生理解相关概念可以起到事半功倍的效果.
3.渗透函数思想，用函数观点上串下联知识体系
由于函数具有多样性的表现和变化性的过程等特点，所以结合函数观点可以开拓研究方程和不等式的思路.这对理解他们的本质内涵和解决有关问题都是有益的，还可以使学生重新组合已有的认知结构，优化知识系统从而进一步加深对函数的认识.
二、苏科版八（上）第六章第一课时“函数（1）”的教学案例探究
（一）教材分析
在此之前，学生已经初步学习了变量之间的关系，这个基础为过渡到本节的学习起着铺垫作用.本节课内容主要是进一步认识常量、变量，理解函数的概念，是认识函数的开始，为接下来学习一次函数和其他学科用图像或者表格等内容打好基础.
（二）学情分析
为了更深刻地认识千变万化的世界，人们归纳总结出一个重要的数学工具——函数，用它描述变化中的数量关系.函数在现实生活中应用广泛，学习掌握它很有必要.从本节课开始学习内容都是综合运用函数知识来解决问题，因此，这个学习过程有难度.所以笔者认为要设计一些问题进行铺垫，降低难度，引导学生先易后难逐步深化，让基础薄弱一些的学生也能有所收获.
（三）“6.1函数（1）”具体教学设计
【教学目标】
1.知识与能力
（1）通过简单实例，了解常量与变量的意义；
（2）通过实例让学生多角度认识和理解函数的意义，感受函数的多种表示形式；
（3）能说出一些函数的实例，并能判断两个变量间的关系是否是函数关系.
2.过程与方法
经历具体实例的抽象过程，进一步发展学生的抽象思维能力.
3.情感、态度与价值观
學生从现实生活的体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，形成主动学习的意识.
【教学重点】函数概念的建立，判断两个变量间的关系是否是函数关系.
【教学难点】函数概念中常量、变量的理解及其对应关系探索.
【教学过程】
1.问题情境与思考
情境一：汽车加油视频
问题1：同学们，有没有看过在加油站给汽车加油的过程？请同学们观看给汽车加油的视频.
问题2：这个加油过程中共涉及几个量？
生：金额、油量、单价.
问题3：给汽车加油的过程中，对于这几个量，你有什么发现？
生：单价不变，金额和油量在不断变化.
引出常量、变量的概念：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量；可以取不同数值的量叫作变量.
【设计意图】从生活实例出发结合加油视频，展现几个量的变化情况，设计明确的问题导向引发学生的不断思考，激发学生的兴趣，加深学生对这几个量的认识.通过这个问题情境，一方面，引出常量与变量概念，另一方面，有意识渗透“在某一变化过程中”这个建立函数概念的前提条件，为分析变量之间的一种对应关系做准备.
问题4：在给汽车加油的过程中，有哪些变量？
生：金额和油量.
问题5：观察一下：这两个变量是如何变化的？
生：单价不变，油量变多，金额也变多了.
问题6：你能用一段话来描述这两个变量之间的关系吗？
总结出两个变量之间的关系：油量在变化、金额也在变化；油量确定时，金额有唯一值与它对应.
【设计意图】通过明确的多个问题引导学生认识和理解加油过程中两个变量之间的一定关系.问题4让学生认识到我们研究的两个对象是某一变化过程中两个变量；通过小组讨论问题5引导学生理解两个变量之间的关系；问题6引导学生用自己的话来总结描述两个变量之间的关系，三个问题的环环相扣给学生研究变量间的对应关系有了一个初步的感受和体验.
情境二：苏州某日气温变化图
问题1：在苏州某日气温变化图中，有哪两个变量？
生：时间和气温. 问题2：请描述在气温变化过程中，时间和气温这两个变量之间的关系.
生：时间在变化、气温也在变化；时间确定时，气温有唯一值与它对应.
【设计意图】通过观察气温变化图，再一次明确变化过程中的两个变量，并能仿照加油过程两个变量的变化过程自己准确描述天气变化过程中两个变量之间的对应关系，同时启发学生感受图像能清晰地刻画两个变量之间的关系，为后续函数三种表现形式的学习打下基础.
情境三：观察水库的水位变化与水库蓄水量变化图
问题1：在水库蓄水量变化过程中，有哪两个变量？
生：水位和蓄水量.
问题2：请描述在水库蓄水量变化过程中，水位和蓄水量这两个变量之间的关系.
生：水位在变化、蓄水量也在变化；水位确定时，蓄水量有唯一值与它对应.
问题3：表格中未出现125 h/m的水位，那它有对应的蓄水量吗？
生：有.
问题4：对应的蓄水量唯一吗？
生：唯一.
【设计意图】通过观察水库蓄水量变化过程，认识蓄水量变化过程中的两个变量，并描述这一变化过程中两个变量之间的关系，理解和感受变化过程中两个变量之间的对应关系，同时引导学生感受表格清晰地揭示了两个变量之间的关系，为后续函数三种表现形式的学习打下基础.显然，学生表述的时候越来越整齐，也越来越自信.
情境四：搭小鱼的游戏
问题1：在搭小鱼的游戏过程中，有哪两个变量？
生：小鱼的条数和火柴根数.
问题2：请描述在搭小鱼的游戏过程中，小鱼的条数和火柴根数这两个变量之间的关系.
生：小鱼条数在变化、火柴根数也在变化；小鱼条数确定时，火柴根数有唯一值与它对应.
【设计意图】通过观察搭小鱼的游戏过程，认识小鱼的条数和火柴根数这两个变量，并描述这一变化过程中两个变量之间的关系，理解和感受变化过程中两个变量之间的对应关系，同时引导学生感受函数表达式清晰地刻画了两个变量之间的关系，为后续函数三种表现形式的学习打下基础.
2.建立数学模型
问题1：对于四个生活情境，你发现有哪些共同点？
生：在变化过程中都有两个变量，这两个变量之间有对应的关系.
问题2：那么同一情境中的两个变量之间有什么联系？
生：一个变量在变化、另一个变量也随之在变化；当一个变量确定时，另一个变量有唯一值与它对应.
问题3：谁能说一说函数的概念？
引入函数概念：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
问题4：我们对函数的概念有了一定的认识，谁能说一说在我们的生活中有关函数的例子？
生：比如，买香蕉……
【设计意图】本节课基于四个生活情境，笔者通过问题导向引导学生不断充分感受和理解一个变化过程中有两个变量之间的对应关系，逐步让学生在理解的基础上归纳出函数的概念.在实际教学中，学生的回答往往不准确甚至错误百出，经过不断地纠正，最终能形成最准确的表述.学生只有经历了函数概念的生成过程，有了一定的学习经验和体会，这样的学习才会真正发生，才能激发出学习的潜力.笔者对于本节课采用的教学方法是实例引入、自主探究方式，根据学生的理解能力和生理特征，一方面，运用直观形象的实例引起学生的兴趣，使他们的注意力能始终集中在课堂中，另一方面，笔者通过问题串的形式创造条件和机会，让学生小组交流合作，最大限度发挥学生的主动性，锻炼学生基本数学素养.
1.反馈运用
（1）用一根长2 m的铁丝围成一个长方形.
① 当长方形的宽为0.1 m时，长为多少？
② 当长方形的宽为0.2 m时，长为多少？
③ 当长方形的宽为a cm时，长为多少？
④ 长方形的长是宽的函数吗？为什么？
（2）下表中的y是x的函数吗？为什么？
x12345
y±1±2±3±4±5
【设计意图】这两题主要巩固学生对函数概念的理解.对学生来说判断两个量之间是否具有函数关系需要把握三点：一个变化过程、两个变量、一种对应关系.
4.课堂小结
通过本节课的学习，你的收获是什么？你的疑惑是什么？
【設计意图】在独立思考和合作交流中引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法方面的收获，在总结的同时让学生体验收获知识的快乐.
5.教学反思
新课程标准中强调了概念教学的形成过程应由学生感悟自主生成，这就必然要求教师在教学过程中体现数学概念生成的合理性，在学习过程中突出学生的主体地位，引导学生在活动中感悟数学思想，不断积累内化数学活动经验.笔者选择的四个问题情境都来源于生活，方便学生抽象出常量和变量的概念，有的情境以表格形式展现，有的情境以图像形式展现，有的情境得出表达式，并且四个情境的整个变化过程中只有两个变量，通过两个变量的对应关系，学生逐步归纳本节课的重点函数的概念.整堂课下来笔者设计的每一个环节都体现了突出学生主体地位的意识，进而帮助学生学会用函数的思想认识事物运动变化的过程.同时，教师在整个教学过程中注意问题的导向性，及时纠错，及时提炼与总结，在很大程度上发挥了学生的主观能动性，有助于培养学生的思考能力和问题意识.然而，在教学过程中也有一些设计得不够合理的地方，如：
（1）所提到的水位变化过程，情境的创设不够直观，给学生形象感知函数的变化关系增加了难度.
（2）汽车加油情境中对于两个变量（油量和金额）之间的对应关系，学生一开始无法表述清楚甚至于准确，笔者应该再增加小组讨论的时间，让每名学生都有自己的想法并且表达出来，只有通过不断的磨合纠正，学生才能真正理解为什么应该这样表述“油量在变化、金额也在变化；油量确定时，金额有唯一值与它对应”，尤其是为什么能想到关键词“确定”“唯一”，最后慢慢过渡到函数概念的关键词“每一个值”“唯一”.
（3）在火柴棒搭小鱼的情境中里面渗透已经学过的用字母表示数的知识点，但是学生花费的时间偏长.随后学生揭示出函数的概念，笔者要求学生再举一些生活中的例子，可以把水波纹的问题插入这个环节，加深对概念的理解，使得教学环节更加紧凑丰满.
（4）在反馈运用环节中，第一个练习学生能够通过算式或者函数表达式提出了2个变量之间的相互制约关系，然而对于概念中的“唯一确定”，学生理解得不彻底.对于练习2正是为了弥补这个思维漏洞，通过表格的形式让学生感知当x确定时，y却有两个值与它相对应，这里和“唯一”有了矛盾，那么此时它是函数关系吗？笔者应该在这个问题上停一停，多让学生对此问题进行分析，从而帮助学生加深对概念中“唯一确定”的理解.显然正面引导与反面警示相结合，必能事半功倍，起到画龙点睛的作用.
【参考文献】
[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
【关键词】函数；有效性；数学思维
一、初中函数教学的重要意义
（一）初中函数在数学课程中的地位
函数是数学最重要的基本概念之一.它揭示了现实世界中数量之间相互依存变化对应的过程，是刻画和研究客观世界变化规律的重要模型.它研究变量，反映一个变化过程，由常量数学到变量数学是数学思维上的一次飞跃.
（二）初中函数的教学建议
1.立足函数概念核心，强化概念形成的生成过程
初中阶段的函数概念是从运动变化的观点引入，紧扣“变量”来描述函数，主要明确两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的.
2.加强研究函数一般方法的指导
研究函数概念可以从五方面逐步渗透：① 概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）；② 概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性）；③ 概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）；④ 概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色）；⑤ 概念的巩固和应用[以实例（正反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断].
因此，在教学过程中可以进行问题导向，用类比的方法研究几个函数概念（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数），同时加强研究方法的引导，对于学生理解相关概念可以起到事半功倍的效果.
3.渗透函数思想，用函数观点上串下联知识体系
由于函数具有多样性的表现和变化性的过程等特点，所以结合函数观点可以开拓研究方程和不等式的思路.这对理解他们的本质内涵和解决有关问题都是有益的，还可以使学生重新组合已有的认知结构，优化知识系统从而进一步加深对函数的认识.
二、苏科版八（上）第六章第一课时“函数（1）”的教学案例探究
（一）教材分析
在此之前，学生已经初步学习了变量之间的关系，这个基础为过渡到本节的学习起着铺垫作用.本节课内容主要是进一步认识常量、变量，理解函数的概念，是认识函数的开始，为接下来学习一次函数和其他学科用图像或者表格等内容打好基础.
（二）学情分析
为了更深刻地认识千变万化的世界，人们归纳总结出一个重要的数学工具——函数，用它描述变化中的数量关系.函数在现实生活中应用广泛，学习掌握它很有必要.从本节课开始学习内容都是综合运用函数知识来解决问题，因此，这个学习过程有难度.所以笔者认为要设计一些问题进行铺垫，降低难度，引导学生先易后难逐步深化，让基础薄弱一些的学生也能有所收获.
（三）“6.1函数（1）”具体教学设计
【教学目标】
1.知识与能力
（1）通过简单实例，了解常量与变量的意义；
（2）通过实例让学生多角度认识和理解函数的意义，感受函数的多种表示形式；
（3）能说出一些函数的实例，并能判断两个变量间的关系是否是函数关系.
2.过程与方法
经历具体实例的抽象过程，进一步发展学生的抽象思维能力.
3.情感、态度与价值观
學生从现实生活的体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，形成主动学习的意识.
【教学重点】函数概念的建立，判断两个变量间的关系是否是函数关系.
【教学难点】函数概念中常量、变量的理解及其对应关系探索.
【教学过程】
1.问题情境与思考
情境一：汽车加油视频
问题1：同学们，有没有看过在加油站给汽车加油的过程？请同学们观看给汽车加油的视频.
问题2：这个加油过程中共涉及几个量？
生：金额、油量、单价.
问题3：给汽车加油的过程中，对于这几个量，你有什么发现？
生：单价不变，金额和油量在不断变化.
引出常量、变量的概念：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量；可以取不同数值的量叫作变量.
【设计意图】从生活实例出发结合加油视频，展现几个量的变化情况，设计明确的问题导向引发学生的不断思考，激发学生的兴趣，加深学生对这几个量的认识.通过这个问题情境，一方面，引出常量与变量概念，另一方面，有意识渗透“在某一变化过程中”这个建立函数概念的前提条件，为分析变量之间的一种对应关系做准备.
问题4：在给汽车加油的过程中，有哪些变量？
生：金额和油量.
问题5：观察一下：这两个变量是如何变化的？
生：单价不变，油量变多，金额也变多了.
问题6：你能用一段话来描述这两个变量之间的关系吗？
总结出两个变量之间的关系：油量在变化、金额也在变化；油量确定时，金额有唯一值与它对应.
【设计意图】通过明确的多个问题引导学生认识和理解加油过程中两个变量之间的一定关系.问题4让学生认识到我们研究的两个对象是某一变化过程中两个变量；通过小组讨论问题5引导学生理解两个变量之间的关系；问题6引导学生用自己的话来总结描述两个变量之间的关系，三个问题的环环相扣给学生研究变量间的对应关系有了一个初步的感受和体验.
情境二：苏州某日气温变化图
问题1：在苏州某日气温变化图中，有哪两个变量？
生：时间和气温. 问题2：请描述在气温变化过程中，时间和气温这两个变量之间的关系.
生：时间在变化、气温也在变化；时间确定时，气温有唯一值与它对应.
【设计意图】通过观察气温变化图，再一次明确变化过程中的两个变量，并能仿照加油过程两个变量的变化过程自己准确描述天气变化过程中两个变量之间的对应关系，同时启发学生感受图像能清晰地刻画两个变量之间的关系，为后续函数三种表现形式的学习打下基础.
情境三：观察水库的水位变化与水库蓄水量变化图
问题1：在水库蓄水量变化过程中，有哪两个变量？
生：水位和蓄水量.
问题2：请描述在水库蓄水量变化过程中，水位和蓄水量这两个变量之间的关系.
生：水位在变化、蓄水量也在变化；水位确定时，蓄水量有唯一值与它对应.
问题3：表格中未出现125 h/m的水位，那它有对应的蓄水量吗？
生：有.
问题4：对应的蓄水量唯一吗？
生：唯一.
【设计意图】通过观察水库蓄水量变化过程，认识蓄水量变化过程中的两个变量，并描述这一变化过程中两个变量之间的关系，理解和感受变化过程中两个变量之间的对应关系，同时引导学生感受表格清晰地揭示了两个变量之间的关系，为后续函数三种表现形式的学习打下基础.显然，学生表述的时候越来越整齐，也越来越自信.
情境四：搭小鱼的游戏
问题1：在搭小鱼的游戏过程中，有哪两个变量？
生：小鱼的条数和火柴根数.
问题2：请描述在搭小鱼的游戏过程中，小鱼的条数和火柴根数这两个变量之间的关系.
生：小鱼条数在变化、火柴根数也在变化；小鱼条数确定时，火柴根数有唯一值与它对应.
【设计意图】通过观察搭小鱼的游戏过程，认识小鱼的条数和火柴根数这两个变量，并描述这一变化过程中两个变量之间的关系，理解和感受变化过程中两个变量之间的对应关系，同时引导学生感受函数表达式清晰地刻画了两个变量之间的关系，为后续函数三种表现形式的学习打下基础.
2.建立数学模型
问题1：对于四个生活情境，你发现有哪些共同点？
生：在变化过程中都有两个变量，这两个变量之间有对应的关系.
问题2：那么同一情境中的两个变量之间有什么联系？
生：一个变量在变化、另一个变量也随之在变化；当一个变量确定时，另一个变量有唯一值与它对应.
问题3：谁能说一说函数的概念？
引入函数概念：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
问题4：我们对函数的概念有了一定的认识，谁能说一说在我们的生活中有关函数的例子？
生：比如，买香蕉……
【设计意图】本节课基于四个生活情境，笔者通过问题导向引导学生不断充分感受和理解一个变化过程中有两个变量之间的对应关系，逐步让学生在理解的基础上归纳出函数的概念.在实际教学中，学生的回答往往不准确甚至错误百出，经过不断地纠正，最终能形成最准确的表述.学生只有经历了函数概念的生成过程，有了一定的学习经验和体会，这样的学习才会真正发生，才能激发出学习的潜力.笔者对于本节课采用的教学方法是实例引入、自主探究方式，根据学生的理解能力和生理特征，一方面，运用直观形象的实例引起学生的兴趣，使他们的注意力能始终集中在课堂中，另一方面，笔者通过问题串的形式创造条件和机会，让学生小组交流合作，最大限度发挥学生的主动性，锻炼学生基本数学素养.
1.反馈运用
（1）用一根长2 m的铁丝围成一个长方形.
① 当长方形的宽为0.1 m时，长为多少？
② 当长方形的宽为0.2 m时，长为多少？
③ 当长方形的宽为a cm时，长为多少？
④ 长方形的长是宽的函数吗？为什么？
（2）下表中的y是x的函数吗？为什么？
x12345
y±1±2±3±4±5
【设计意图】这两题主要巩固学生对函数概念的理解.对学生来说判断两个量之间是否具有函数关系需要把握三点：一个变化过程、两个变量、一种对应关系.
4.课堂小结
通过本节课的学习，你的收获是什么？你的疑惑是什么？
【設计意图】在独立思考和合作交流中引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法方面的收获，在总结的同时让学生体验收获知识的快乐.
5.教学反思
新课程标准中强调了概念教学的形成过程应由学生感悟自主生成，这就必然要求教师在教学过程中体现数学概念生成的合理性，在学习过程中突出学生的主体地位，引导学生在活动中感悟数学思想，不断积累内化数学活动经验.笔者选择的四个问题情境都来源于生活，方便学生抽象出常量和变量的概念，有的情境以表格形式展现，有的情境以图像形式展现，有的情境得出表达式，并且四个情境的整个变化过程中只有两个变量，通过两个变量的对应关系，学生逐步归纳本节课的重点函数的概念.整堂课下来笔者设计的每一个环节都体现了突出学生主体地位的意识，进而帮助学生学会用函数的思想认识事物运动变化的过程.同时，教师在整个教学过程中注意问题的导向性，及时纠错，及时提炼与总结，在很大程度上发挥了学生的主观能动性，有助于培养学生的思考能力和问题意识.然而，在教学过程中也有一些设计得不够合理的地方，如：
（1）所提到的水位变化过程，情境的创设不够直观，给学生形象感知函数的变化关系增加了难度.
（2）汽车加油情境中对于两个变量（油量和金额）之间的对应关系，学生一开始无法表述清楚甚至于准确，笔者应该再增加小组讨论的时间，让每名学生都有自己的想法并且表达出来，只有通过不断的磨合纠正，学生才能真正理解为什么应该这样表述“油量在变化、金额也在变化；油量确定时，金额有唯一值与它对应”，尤其是为什么能想到关键词“确定”“唯一”，最后慢慢过渡到函数概念的关键词“每一个值”“唯一”.
（3）在火柴棒搭小鱼的情境中里面渗透已经学过的用字母表示数的知识点，但是学生花费的时间偏长.随后学生揭示出函数的概念，笔者要求学生再举一些生活中的例子，可以把水波纹的问题插入这个环节，加深对概念的理解，使得教学环节更加紧凑丰满.
（4）在反馈运用环节中，第一个练习学生能够通过算式或者函数表达式提出了2个变量之间的相互制约关系，然而对于概念中的“唯一确定”，学生理解得不彻底.对于练习2正是为了弥补这个思维漏洞，通过表格的形式让学生感知当x确定时，y却有两个值与它相对应，这里和“唯一”有了矛盾，那么此时它是函数关系吗？笔者应该在这个问题上停一停，多让学生对此问题进行分析，从而帮助学生加深对概念中“唯一确定”的理解.显然正面引导与反面警示相结合，必能事半功倍，起到画龙点睛的作用.
【参考文献】
[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.