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摘 要:“现代技术的使用将会深刻影响数学教学内容、方法和目标的改变”。随着近几年微课的发展,课堂早已不是“三尺讲台 一块黑板 一支粉笔”,如今课堂有更丰富的内容、形式。几何概型是高一学生学完概率的古典概型后的又一概率模型,是对古典概型内容的进一步拓展,是等可能事件的概念从有限向无限的延伸,借助微课通过类比、启发、猜想、探究得到几何概型的定义、计算公式。作者借助最近研究的微课课题写了教学随笔。
关键词: 几何槪型 无限 等可能 事件
一、教学目标
(一)新课引入:观看微课视频。
1.学生观看微课视频3分钟,主要内容:甲、乙两人玩转盘游戏。旋转转盘,当转盘停止时,指针可以指向转盘上的任意位置。规定当转盘停止时指针指向B区域,乙胜;否则甲胜。求乙胜的概率。(转盘被六等分)
同学A:0.5,因为总的基本事件有6个,每个基本事件发生的概率都是等可能的,又因为B区域有3个,当指针指向B时乙胜,这是古典概型,所以乙胜的概率为0.5。
同学B:不对,这题不是古典概型。我认为应该用圆弧比表示概率,答案是0.5。
同学B:我认为不是古典概型,但也不同意B的做法,我是用面积比表示所求概率,答案也是0.5。
老师:这个问题中的基本事件是什么?
学生:基本事件是转盘停止时指针的位置。
老师:基本事件个数怎样?
学生:它有无限个。
老师:基本事件等可能吗?
学生:等可能。
老师:如何求解?
[设计意图]通过观看微课视频,引起学生认知上的冲突,进而引出新的思考、新的问题。
2.学生观看微课视频2分钟,主要内容:古典概型的定义、特点、公式。
老师:古典概型中,事件A的概率只要数清A所含的基本事件的个数与全部基本事件的个数,它们的比值就是这个事件的概率。上面的问题还能用个数比求事件的概率吗?基本事件能数得出来吗?
学生:不能。
老师:类比古典概型的特点及其概率公式,能否找到一个合适的方法研究上面的问题。
[设计意图]通过观看微课视频,复习旧知,起到承上启下的作用。
(二)类比启发:数学的眼光观察。
学生思考2分钟,小组讨论交流。
学生:全部基本事件构造成一个圆,把“乙胜”这个事件的基本事件构造成3个扇形,然后用它们的面积之比求概率,答案应该是0.5。
老师:很好,请坐。还是古典概型的思想,不同的是我们构造成了扇形与圆。利用它们的面积之比求概率。若把圆B区域移动,如右图,乙胜的概率是多少?
学生:还是0.5。
老师:如果改为正方形呢?
学生:0.5。
老师:以上现象说明什么?有什么共同特点?
学生:“乙胜”的概率与B区域的位置无关;只与B区域的面积所占的比例有关。
老师:很好。我们的想法是:虽然基本事件的个数为无限个,无法一一数出来。但我们可以把事件A的基本事件和全部基本事件分别构造成两个可以度量的几何图形。然后用它们的几何度量之比求概率。
思考1:有一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么事件A:剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少?你是怎样计算的?(利用幻灯片展示)
老师:这个问题中的基本事件是什么?
学生:剪刀可以剪到的任意位置。
老师:个数怎样?是不是等可能的?
学生:无限个,等可能。
老师:如何求解?
学生:我觉得可以把全部基本事件构造成长度为3m的绳子的这条线段,把事件A的基本事件构造成这条线段上从1m到2m之间的线段,那么事件A的概率就可以用这两条线段的长度之比计算。结果应该是。
老师:很好。我们的想法是虽然基本事件的个数为无限个,无法一一数清。但我们可以把事件A的基本事件和全部基本事件分别构造成两个可以度量的几何图形。然后用它们的几何度量之比求概率。
[设计意图]抽象出几何概型的另一种几何度量——长度。
思考2:一只海豚在一个长40m,宽30m,深20m的水池中自由游弋,求它距离池底与池壁均不小于5m的概率。(利用幻灯片展示)
老师:这个问题中的基本事件是什么?
学生:海豚在水池中的位置。
老师:个数怎样?是不是等可能的?
学生:无限个,等可能。
老师:如何求解?
学生:把海豚任意位置抽象为一个点,这样全部基本事件可构造成一个长为40m,宽为30m,高为20m的长方体。而把事件A的基本事件构造成一个长为30m,宽为20m,高为15m的长方体。用它们的体积之比求概率。
老师:思想一样,这里构造成了立体图形,用体积之比求概率。
[设计意图]抽象出几何概型的另一种几何度量——体积。
通过以上三个例子的研究发现它们的共同点:
(1)基本事件的个数是无限的;(2)每个基本事件发生的可能性相等;(3)都可用几何图形的几何测度求概率。
具有以上特点的概率模型就是我们今天要研究的主要内容。因为这种概率模型需要借助几何图形求解,所以我们称之为“几何概型”。 [设计意图]从数学学科这个整体来看,数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难学,解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律,在可能情况下尽量做到从直观入手,从具体开始,逐步抽象。通过师生互动探究,使概念的生成自然,容易被接受。
(三)探究归纳:明确基本概念。
几何概型的概念:
(1)无限性:基本事件的个数都是无限个;
(2)等可能:每个基本事件发生的可能性都相等;
(3)成比例:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例。
古典概型和几何概型之间有怎样的区别与联系呢?
学生:它们的共同之处在于:①等可能性;②公式都是比的形式。
它们的不同点在于:古典概型中基本事件的个数是有限个;而几何概型中基本事件的个数是无限个。
老师:学习几何概型之后,我们判断以下概率问题属于哪种概率模型?(利用幻灯片展示)
判断下列概率问题的基本事件是什么,属于哪种概率模型
1.抛掷两颗骰子,求出现两个“6点”的概率。
2.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2m的概率。
老师:今后当我们遇到概率问题时,首先要像这样判断这属于哪种概率模型,然后用相应概率公式求解。请看一道例题:(利用幻灯片展示)
(四)应用举例:巩固基本概念。
例1:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。
学生思考、讨论,教师适当引导。
[设计意图]心理学认为:概念一旦形成,就必须及时加以巩固,通过例1加深学生对几何概型理解及公式的应用。
(五)归纳总结:加深基本概念。
老师:通过本堂课学习你收获了什么?
学生:1.几何概型及特点,计算公式。2.研究概率时,先研究是古典概型还是几何概型。接下来利用概率公式求解。
[设计意图]知识性内容的总结,可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质。
四、课后反思
(一)良好的开篇是成功的一半。
本课是一节概念课,如何循序渐进地引入新课,由易到难地提出问题,使概念生成水到渠成,刚开始借助的微课视频主要目的是:引导学生来到教师预设的方向,使学生关注这个问题与古典概型的区别,进而引发认识上的冲突。由于本节引入精彩独特,让学生在感兴趣的人物对话情境中进入本节学习,从而激发了学生的学习兴趣。
(二)授之以鱼,不如授之以渔。
笔者曾思考了多种方式教学,最终以“教是为了不教”,“授之以鱼,不如授之以渔”为主导思想,课堂上以教师为主导,学生为主体,发挥学生主观能动性,以多种相似问题情境研究相同问题,根据已有古典概型的知识类比、猜想、归纳总结、得到概念等教学过程。由于前面做了较多铺垫,得到几何概型概念后学生自然得到了几何概型的计算公式,并进行了几何概型与古典概型的区别联系。学习知识的同时,又培养了主动学习能力,如何学,怎么学。我想通过本节学习学生一定会印象深刻。
参考文献:
[1]耿熹.几何概型“等可能性”的教学思考.福建省第三届基础教育优秀论文汇编.
[2]李青林,刘运新.注重概念形成过程,彰显课堂灵魂魅力——微课“离散型随机变量的均值与方差的定义”的教学随笔[J].数学通讯(下半月),2016(1):15-17.
本文系2014年度福州市教育信息技术研究立项课题“基于微课的高中数学教学研究”(编号:FZDJ2014B10)的阶段研究成果。
关键词: 几何槪型 无限 等可能 事件
一、教学目标
(一)新课引入:观看微课视频。
1.学生观看微课视频3分钟,主要内容:甲、乙两人玩转盘游戏。旋转转盘,当转盘停止时,指针可以指向转盘上的任意位置。规定当转盘停止时指针指向B区域,乙胜;否则甲胜。求乙胜的概率。(转盘被六等分)
同学A:0.5,因为总的基本事件有6个,每个基本事件发生的概率都是等可能的,又因为B区域有3个,当指针指向B时乙胜,这是古典概型,所以乙胜的概率为0.5。
同学B:不对,这题不是古典概型。我认为应该用圆弧比表示概率,答案是0.5。
同学B:我认为不是古典概型,但也不同意B的做法,我是用面积比表示所求概率,答案也是0.5。
老师:这个问题中的基本事件是什么?
学生:基本事件是转盘停止时指针的位置。
老师:基本事件个数怎样?
学生:它有无限个。
老师:基本事件等可能吗?
学生:等可能。
老师:如何求解?
[设计意图]通过观看微课视频,引起学生认知上的冲突,进而引出新的思考、新的问题。
2.学生观看微课视频2分钟,主要内容:古典概型的定义、特点、公式。
老师:古典概型中,事件A的概率只要数清A所含的基本事件的个数与全部基本事件的个数,它们的比值就是这个事件的概率。上面的问题还能用个数比求事件的概率吗?基本事件能数得出来吗?
学生:不能。
老师:类比古典概型的特点及其概率公式,能否找到一个合适的方法研究上面的问题。
[设计意图]通过观看微课视频,复习旧知,起到承上启下的作用。
(二)类比启发:数学的眼光观察。
学生思考2分钟,小组讨论交流。
学生:全部基本事件构造成一个圆,把“乙胜”这个事件的基本事件构造成3个扇形,然后用它们的面积之比求概率,答案应该是0.5。
老师:很好,请坐。还是古典概型的思想,不同的是我们构造成了扇形与圆。利用它们的面积之比求概率。若把圆B区域移动,如右图,乙胜的概率是多少?
学生:还是0.5。
老师:如果改为正方形呢?
学生:0.5。
老师:以上现象说明什么?有什么共同特点?
学生:“乙胜”的概率与B区域的位置无关;只与B区域的面积所占的比例有关。
老师:很好。我们的想法是:虽然基本事件的个数为无限个,无法一一数出来。但我们可以把事件A的基本事件和全部基本事件分别构造成两个可以度量的几何图形。然后用它们的几何度量之比求概率。
思考1:有一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么事件A:剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少?你是怎样计算的?(利用幻灯片展示)
老师:这个问题中的基本事件是什么?
学生:剪刀可以剪到的任意位置。
老师:个数怎样?是不是等可能的?
学生:无限个,等可能。
老师:如何求解?
学生:我觉得可以把全部基本事件构造成长度为3m的绳子的这条线段,把事件A的基本事件构造成这条线段上从1m到2m之间的线段,那么事件A的概率就可以用这两条线段的长度之比计算。结果应该是。
老师:很好。我们的想法是虽然基本事件的个数为无限个,无法一一数清。但我们可以把事件A的基本事件和全部基本事件分别构造成两个可以度量的几何图形。然后用它们的几何度量之比求概率。
[设计意图]抽象出几何概型的另一种几何度量——长度。
思考2:一只海豚在一个长40m,宽30m,深20m的水池中自由游弋,求它距离池底与池壁均不小于5m的概率。(利用幻灯片展示)
老师:这个问题中的基本事件是什么?
学生:海豚在水池中的位置。
老师:个数怎样?是不是等可能的?
学生:无限个,等可能。
老师:如何求解?
学生:把海豚任意位置抽象为一个点,这样全部基本事件可构造成一个长为40m,宽为30m,高为20m的长方体。而把事件A的基本事件构造成一个长为30m,宽为20m,高为15m的长方体。用它们的体积之比求概率。
老师:思想一样,这里构造成了立体图形,用体积之比求概率。
[设计意图]抽象出几何概型的另一种几何度量——体积。
通过以上三个例子的研究发现它们的共同点:
(1)基本事件的个数是无限的;(2)每个基本事件发生的可能性相等;(3)都可用几何图形的几何测度求概率。
具有以上特点的概率模型就是我们今天要研究的主要内容。因为这种概率模型需要借助几何图形求解,所以我们称之为“几何概型”。 [设计意图]从数学学科这个整体来看,数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难学,解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律,在可能情况下尽量做到从直观入手,从具体开始,逐步抽象。通过师生互动探究,使概念的生成自然,容易被接受。
(三)探究归纳:明确基本概念。
几何概型的概念:
(1)无限性:基本事件的个数都是无限个;
(2)等可能:每个基本事件发生的可能性都相等;
(3)成比例:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例。
古典概型和几何概型之间有怎样的区别与联系呢?
学生:它们的共同之处在于:①等可能性;②公式都是比的形式。
它们的不同点在于:古典概型中基本事件的个数是有限个;而几何概型中基本事件的个数是无限个。
老师:学习几何概型之后,我们判断以下概率问题属于哪种概率模型?(利用幻灯片展示)
判断下列概率问题的基本事件是什么,属于哪种概率模型
1.抛掷两颗骰子,求出现两个“6点”的概率。
2.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2m的概率。
老师:今后当我们遇到概率问题时,首先要像这样判断这属于哪种概率模型,然后用相应概率公式求解。请看一道例题:(利用幻灯片展示)
(四)应用举例:巩固基本概念。
例1:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。
学生思考、讨论,教师适当引导。
[设计意图]心理学认为:概念一旦形成,就必须及时加以巩固,通过例1加深学生对几何概型理解及公式的应用。
(五)归纳总结:加深基本概念。
老师:通过本堂课学习你收获了什么?
学生:1.几何概型及特点,计算公式。2.研究概率时,先研究是古典概型还是几何概型。接下来利用概率公式求解。
[设计意图]知识性内容的总结,可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质。
四、课后反思
(一)良好的开篇是成功的一半。
本课是一节概念课,如何循序渐进地引入新课,由易到难地提出问题,使概念生成水到渠成,刚开始借助的微课视频主要目的是:引导学生来到教师预设的方向,使学生关注这个问题与古典概型的区别,进而引发认识上的冲突。由于本节引入精彩独特,让学生在感兴趣的人物对话情境中进入本节学习,从而激发了学生的学习兴趣。
(二)授之以鱼,不如授之以渔。
笔者曾思考了多种方式教学,最终以“教是为了不教”,“授之以鱼,不如授之以渔”为主导思想,课堂上以教师为主导,学生为主体,发挥学生主观能动性,以多种相似问题情境研究相同问题,根据已有古典概型的知识类比、猜想、归纳总结、得到概念等教学过程。由于前面做了较多铺垫,得到几何概型概念后学生自然得到了几何概型的计算公式,并进行了几何概型与古典概型的区别联系。学习知识的同时,又培养了主动学习能力,如何学,怎么学。我想通过本节学习学生一定会印象深刻。
参考文献:
[1]耿熹.几何概型“等可能性”的教学思考.福建省第三届基础教育优秀论文汇编.
[2]李青林,刘运新.注重概念形成过程,彰显课堂灵魂魅力——微课“离散型随机变量的均值与方差的定义”的教学随笔[J].数学通讯(下半月),2016(1):15-17.
本文系2014年度福州市教育信息技术研究立项课题“基于微课的高中数学教学研究”(编号:FZDJ2014B10)的阶段研究成果。